Dinámica topológica

En matemáticas , la dinámica topológica es una rama de la teoría de sistemas dinámicos en la que se estudian las propiedades cualitativas y asintóticas de los sistemas dinámicos desde el punto de vista de la topología general .

El objeto central de estudio en dinámica topológica es un sistema dinámico topológico , es decir, un espacio topológico , junto con una transformación continua , un flujo continuo o, más generalmente, un semigrupo de transformaciones continuas de ese espacio. Los orígenes de la dinámica topológica se encuentran en el estudio de las propiedades asintóticas de las trayectorias de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas , en particular, el comportamiento de los conjuntos límite y diversas manifestaciones de la "repetitividad" del movimiento, como trayectorias periódicas, recurrencia y minimalidad, estabilidad y puntos no errantes . George Birkhoff es considerado el fundador del campo. Un teorema de estructura para flujos distales mínimos, demostrado por Hillel Furstenberg a principios de la década de 1960, inspiró gran parte del trabajo sobre la clasificación de flujos mínimos. Mucha investigación en las décadas de 1970 y 1980 se dedicó a la dinámica topológica de mapas unidimensionales, en particular, automapas lineales por partes del intervalo y del círculo.

A diferencia de la teoría de sistemas dinámicos suaves, donde el objeto principal de estudio es una variedad suave con un difeomorfismo o un flujo suave, los espacios de fase considerados en dinámica topológica son espacios métricos generales (generalmente, compactos ). Esto requiere el desarrollo de técnicas completamente diferentes, pero permite un grado adicional de flexibilidad incluso en el contexto suave, ya que los subconjuntos invariantes de una variedad suelen ser muy complejos topológicamente (cf. ciclo límite , atractor extraño ); además, los espacios de desplazamiento que surgen a través de representaciones simbólicas pueden considerarse en igualdad de condiciones con acciones más geométricas. La dinámica topológica tiene conexiones íntimas con la teoría ergódica de sistemas dinámicos, y muchos conceptos fundamentales de esta última tienen análogos topológicos (cf. entropía de Kolmogorov-Sinai y entropía topológica ).

• Teorema de Poincaré-Bendixson
• Dinámica simbólica
• conjugación topológica

• DV Anosov (2001) [1994], "Dinámica topológica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Joseph Auslander (ed.). "Dinámica topológica" . Scholarpedia .
• Robert Ellis, Lecciones sobre dinámica topológica . WA Benjamin, Inc., Nueva York, 1969.
• Walter Gottschalk , Gustav Hedlund , Dinámica topológica . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana, vol. 36. Sociedad Matemática Americana, Providence, RI, 1955.
• J. de Vries, Elementos de dinámica topológica . Matemáticas y sus aplicaciones, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN 0-7923-2287-8
• Ethan Akin, La topología general de los sistemas dinámicos , Librería de la AMS, 2010, ISBN 978-0-8218-4932-3
• J. de Vries, Sistemas dinámicos topológicos: Una introducción a la dinámica de las aplicaciones continuas , De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlín, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
• Jian Li y Xiang Dong Ye, Desarrollo reciente de la teoría del caos en la dinámica topológica , Acta Mathematica Sinica, Serie en inglés, 2016, Volumen 32, Número 1, págs.  83–114.