Ventilador normal

En matemáticas , específicamente en geometría convexa , el abanico normal de un politopo convexo P es un abanico poliédrico dual a P. Los abanicos normales tienen aplicaciones en combinatoria poliédrica , programación lineal , geometría tropical , geometría tórica y otras áreas de las matemáticas.

Dado un politopo convexo P en R ⁿ , el abanico normal N _P de P es un abanico poliédrico en el espacio dual , ( R ⁿ )* cuyos conos consisten en el cono normal C _F a cada cara F de P ,

${\displaystyle N_{P}=\{C_{F}\}_{F\in \operatorname {face} (P)}.}$

Cada cono normal C _F se define como el conjunto de funcionales lineales w tales que el conjunto de puntos x en P que maximizan w ( x ) contiene F ,

${\displaystyle C_{F}=\{w\in (\mathbb {R} ^{n})^{*}\mid F\subseteq \operatorname {argmax} _{x\in P}w(x)\}.}$

• N _P es un abanico completo , lo que significa que la unión de sus conos es todo el espacio, ( R ⁿ )*.
• Si F es una cara de P de dimensión d , entonces su cono normal C _F tiene dimensión n – d . Los conos normales a los vértices de P son de dimensión completa. Si P tiene dimensión completa, los conos normales a las facetas de P son los rayos de N _P y el cono normal a P mismo es C _P = {0}, el cono cero.
• El segmento afín de la cara F de P es ortogonal al segmento lineal de su cono normal, C _F .
• La correspondencia entre las caras de P y los conos de N _P invierte la inclusión, lo que significa que para las caras F y G de P ,

${\displaystyle F\subseteq G\quad \Leftrightarrow \quad C_{F}\supseteq C_{G}.}$

• Dado que N _P es un abanico, la intersección de cualesquiera dos de sus conos también es un cono en N _P . Para las caras F y G de P ,

${\displaystyle C_{F}\cap C_{G}=C_{H}}$

donde H es la cara más pequeña de P que contiene tanto a F como a G.

• Si se considera el politopo P como la región factible de un programa lineal , el abanico normal de P particiona el espacio de funciones objetivo en función del conjunto de soluciones del programa lineal definido por cada una. El programa lineal cuyo objetivo es maximizar la función objetivo lineal w tiene un conjunto de soluciones F si y solo si w está en el interior relativo del cono C _F.
• Si el politopo P tiene el origen en su interior , entonces el abanico normal de P se puede construir a partir del dual polar de P tomando el cono sobre cada cara del politopo dual, P °.
• Para f un polinomio en n variables con coeficientes en C , la hipersuperficie tropical de f está soportada en un subventilador del abanico normal del politopo de Newton P de f . En particular, la hipersuperficie tropical está soportada en los conos en N _P de dimensión menor que n .