variograma

Un variograma es la representación gráfica de la dependencia espacial entre pares de puntos de datos, comúnmente utilizada en geoestadística y estadística espacial . El término a veces se usa como sinónimo de semivariograma , pero este último también es utilizado por algunos autores para referirse a la mitad de un variograma, por lo que debe evitarse. ^{[ 1 ]} Asimismo, el término semivarianza puede ser engañoso, ya que los valores mostrados en un variograma son varianzas completas de observaciones en una separación espacial (retardo) dada. ^{[ 1 ]}

El variograma es la función clave en geoestadística, ya que se utiliza para ajustar un modelo de correlación espacio -temporal del fenómeno observado. Se distingue, por lo tanto, entre el variograma experimental , que es una visualización de una posible correlación espacio-temporal, y el modelo de variograma , que se utiliza posteriormente para definir los pesos de la función de kriging . Cabe destacar que el variograma experimental es una estimación empírica de la covarianza de un proceso gaussiano . Por consiguiente, puede no ser definido positivo y, por lo tanto, no ser directamente utilizable en kriging sin restricciones ni procesamiento adicional. Esto explica por qué solo se utiliza un número limitado de modelos de variograma: los más comunes son el lineal, el esférico, el gaussiano y el exponencial.

Por ejemplo, en la minería de oro , un variograma indica cuánto variará el porcentaje de oro entre dos muestras tomadas en la zona minera, dependiendo de la distancia entre ellas. Las muestras tomadas a mayor distancia entre sí presentarán mayor variación que las tomadas cerca unas de otras.

El semivariograma${\displaystyle \gamma (h)}$Matheron (1963) lo definió por primera vez como la mitad de la diferencia cuadrática promedio entre una función y una copia trasladada de la función separadas a una distancia${\displaystyle h}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Formalmente

${\displaystyle \gamma (h)={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\left[f(M+h)-f(M)\right]^{2}dM,}$

dónde${\displaystyle M}$es un punto en el campo geométrico${\displaystyle V}$, y${\displaystyle f(M)}$es el valor en ese punto. La integral triple se realiza sobre 3 dimensiones.${\displaystyle h}$es la distancia de separación (por ejemplo, en metros o kilómetros) de interés. Por ejemplo, el valor${\displaystyle f(M)}$podría representar el contenido de hierro en el suelo, en alguna ubicación${\displaystyle M}$(con coordenadas geográficas de latitud, longitud y elevación) sobre alguna región${\displaystyle V}$con elemento de volumen${\displaystyle dV}$Para obtener el semivariograma para un dado${\displaystyle \gamma (h)}$Se tomarían muestras de todos los pares de puntos a esa distancia exacta. En la práctica, es imposible tomar muestras en todas partes, por lo que se utiliza el variograma empírico .

El variograma es el doble del semivariograma y puede definirse, de manera diferente, como la varianza de la diferencia entre los valores de campo en dos ubicaciones (${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$, observe el cambio de notación de${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbf {s} }$y${\displaystyle f}$a${\displaystyle Z}$) a través de realizaciones del campo (Cressie 1993):

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})={\text{var}}\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)=E\left[((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))-E[Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})])^{2}\right].}$

Si el campo aleatorio espacial tiene media constante${\displaystyle \mu }$Esto es equivalente a la esperanza del incremento al cuadrado de los valores entre ubicaciones.${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$y${\displaystyle s_{2}}$(Wackernagel 2003) (donde${\displaystyle \mathbf {s} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {s} _{2}}$son puntos en el espacio y posiblemente en el tiempo):

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left(Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right)^{2}\right].}$

En el caso de un proceso estacionario , el variograma y el semivariograma pueden representarse como una función${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma (0,0+h)}$de la diferencia${\displaystyle h=\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}}$Entre ubicaciones únicamente, según la siguiente relación (Cressie 1993):

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{s}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}).}$

Si además el proceso es isotrópico , entonces el variograma y el semivariograma pueden representarse mediante una función.${\displaystyle \gamma _{i}(h):=\gamma _{s}(he_{1})}$de la distancia ${\displaystyle h=\|\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1}\|}$solamente (Cressie 1993):

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=\gamma _{i}(h).}$

Los índices${\displaystyle i}$o${\displaystyle s}$Por lo general, no se escriben. Los términos se utilizan para las tres formas de la función. Además, el término "variograma" se utiliza a veces para denotar el semivariograma y el símbolo${\displaystyle \gamma }$a veces se utiliza para el variograma, lo que genera cierta confusión. ^{[ 4 ]}

Según (Cressie 1993, Chiles y Delfiner 1999, Wackernagel 2003), el variograma teórico tiene las siguientes propiedades:

• El semivariograma es no negativo.${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})\geq 0}$, puesto que es la esperanza de un cuadrado.
• El semivariograma${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})=\gamma _{i}(0)=E\left((Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1}))^{2}\right)=0}$a distancia 0 siempre es 0, ya que${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{1})=0}$.
• Una función es un semivariograma si y solo si es una función definida negativa condicional, es decir, para todos los pesos${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{N}}$sujeto a${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}w_{i}=0}$y ubicaciones${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{N}}$Contiene:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}\gamma (\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j})w_{j}\leq 0,}$

lo cual corresponde al hecho de que la varianza${\displaystyle \operatorname {var} (X)}$de${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$viene dado por el negativo de esta suma doble y debe ser no negativo.

• Si existe la función de covarianza C de un proceso estacionario, está relacionada con el variograma mediante

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{1})+C(\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{2})-2C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Si existen la varianza V y la función de correlación c de un proceso estacionario, están relacionadas con el semivariograma mediante

${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V(1-c(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2}))}$

• Por el contrario, la función de covarianza C de un proceso estacionario se puede obtener a partir del semivariograma y la varianza como

${\displaystyle C(\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=V-\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})}$

• Si un campo aleatorio estacionario no tiene dependencia espacial (es decir,${\displaystyle C(h)=0}$si${\displaystyle h\not =0}$), el semivariograma es la constante${\displaystyle \operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$En todas partes excepto en el origen, donde es cero.
• El semivariograma es una función simétrica ,${\displaystyle \gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{2}\right]=\gamma (\mathbf {s} _{2},\mathbf {s} _{1})}$.
• En consecuencia, el semivariograma isotrópico es una función par.${\displaystyle \gamma _{s}(h)=\gamma _{s}(-h)}$.
• Si el campo aleatorio es estacionario y ergódico , el${\displaystyle \lim _{h\to \infty }\gamma _{s}(h)=\operatorname {var} (Z(\mathbf {s} ))}$corresponde a la varianza del campo. El límite del semivariograma con distancia creciente también se denomina su meseta .
• En consecuencia, el semivariograma podría no ser continuo únicamente en el origen. La altura del salto en el origen se conoce a veces como efecto pepita .

Generalmente, se necesita un variograma empírico para los datos medidos, porque la información de la muestra${\displaystyle Z}$No está disponible para todas las ubicaciones. La información de la muestra, por ejemplo, podría ser la concentración de hierro en muestras de suelo o la intensidad de píxeles en una cámara. Cada pieza de información de la muestra tiene coordenadas.${\displaystyle \mathbf {s} =(x,y)}$para un espacio muestral 2D donde${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son coordenadas geográficas. En el caso del hierro en el suelo, el espacio de muestra podría ser tridimensional. Si también hay variabilidad temporal (por ejemplo, contenido de fósforo en un lago), entonces${\displaystyle \mathbf {s} }$podría ser un vector de 4 dimensiones${\displaystyle (x,y,z,t)}$. En el caso de que las dimensiones tengan unidades diferentes (por ejemplo, distancia y tiempo), entonces se aplica un factor de escala.${\displaystyle B}$se puede aplicar a cada uno para obtener una distancia euclidiana modificada . ^{[ 5 ]}

Las observaciones de muestra se indican${\displaystyle Z(\mathbf {s} _{i})=z_{i}}$Se pueden realizar observaciones en${\displaystyle M}$total de ubicaciones diferentes (el tamaño de la muestra ). Esto proporcionaría un conjunto de observaciones${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{M}}$en ubicaciones${\displaystyle \mathbf {s} _{1},\ldots ,\mathbf {s} _{M}}$Generalmente, los gráficos muestran los valores del semivariograma en función de la distancia de separación.${\displaystyle h_{k}}$para varios pasos${\displaystyle k=1,\ldots }$. En el caso del semivariograma empírico, intervalo de distancia de separación${\displaystyle h_{k}\pm \delta }$se utiliza en lugar de distancias exactas, y por lo general se asumen condiciones isotrópicas (es decir, que${\displaystyle \gamma }$es solo una función de${\displaystyle h}$y no depende de otras variables como la posición central). Entonces, el semivariograma empírico${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h\pm \delta )}$se puede calcular para cada contenedor :

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(h_{k}\pm \delta ):={\frac {1}{2N_{k}}}\sum _{(i,j)\in S_{k}}|z_{i}-z_{j}|^{2}}$

O dicho de otro modo, cada par de puntos separados por${\displaystyle h_{k}}$(más o menos cierto rango de tolerancia del ancho del contenedor)${\displaystyle \delta }$) se encuentran. Estos forman el conjunto de puntos

${\displaystyle S_{k}=S(h_{k}\pm \delta )\equiv \{(\mathbf {s} _{i},\mathbf {s} _{j}):h_{k}-\delta <|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}|<h_{k}+\delta ;i,j=1,\ldots ,M\}}$

El número de estos puntos en este contenedor es${\displaystyle N_{k}=|S_{k}|}$(el tamaño del conjunto ). Luego, para cada par de puntos${\displaystyle i,j}$, se halla el cuadrado de la diferencia en la observación (por ejemplo, contenido de muestra de suelo o intensidad de píxel)${\displaystyle |z_{i}-z_{j}|^{2}}$). Estas diferencias al cuadrado se suman y se normalizan por el número natural.${\displaystyle N_{k}}$. Por definición, el resultado se divide por 2 para el semivariograma en esta separación.

Para la velocidad de cálculo, solo se necesitan los pares únicos de puntos. Por ejemplo, para 2 pares de observaciones [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$] tomado de lugares con separación${\displaystyle h\pm \delta }$solo [${\displaystyle (z_{a},z_{b}),(z_{c},z_{d})}$] deben tenerse en cuenta, ya que los pares [${\displaystyle (z_{b},z_{a}),(z_{d},z_{c})}$] no proporciona ninguna información adicional.

El variograma empírico no se puede calcular en cada distancia de retardo.${\displaystyle h}$y debido a la variación en la estimación no se garantiza que sea un variograma válido, como se definió anteriormente. Sin embargo, algunos métodos geoestadísticos , como el kriging, requieren semivariogramas válidos. En geoestadística aplicada, los variogramas empíricos se aproximan a menudo mediante una función modelo que garantiza su validez. Algunos modelos importantes son: ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• El modelo de variograma exponencial

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)(1-\exp(-h/(ra)))+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma esférico

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(\left({\frac {3h}{2r}}-{\frac {h^{3}}{2r^{3}}}\right)1_{(0,r)}(h)+1_{[r,\infty )}(h)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

• El modelo de variograma gaussiano

  ${\displaystyle \gamma (h)=(s-n)\left(1-\exp \left(-{\frac {h^{2}}{r^{2}a}}\right)\right)+n1_{(0,\infty )}(h).}$

El parámetro${\displaystyle a}$tiene valores diferentes en diferentes referencias, debido a la ambigüedad en la definición del rango (por ejemplo${\displaystyle a=1/3}$). ^{[ 8 ]} La función indicadora${\displaystyle 1_{A}(h)}$es 1 si${\displaystyle h\in A}$y 0 en caso contrario.

El variograma empírico se utiliza en geoestadística como una primera estimación del modelo de variograma necesario para la interpolación espacial mediante kriging .

• Se utilizaron variogramas empíricos para la variabilidad espaciotemporal del dióxido de carbono promediado en columna para determinar los criterios de coincidencia para las mediciones satelitales y terrestres. ^{[ 5 ]}
• Se calcularon variogramas empíricos para la densidad de un material heterogéneo (Gilsocarbono). ^{[ 9 ]}
• Los variogramas empíricos se calculan a partir de observaciones de movimientos sísmicos fuertes durante terremotos . ^{[ 10 ]} Estos modelos se utilizan para evaluaciones de riesgo sísmico y pérdidas de infraestructuras distribuidas espacialmente. ^{[ 11 ]}

El término al cuadrado en el variograma, por ejemplo${\displaystyle (Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2}))^{2}}$, puede ser reemplazado con diferentes potencias: Un madograma se define con la diferencia absoluta ,${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|}$y un rodograma se define con la raíz cuadrada de la diferencia absoluta,${\displaystyle |Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})|^{0.5}}$Se dice que los estimadores basados ​​en estas potencias más bajas son más resistentes a los valores atípicos . Se pueden generalizar como un "variograma de orden α ".

${\displaystyle 2\gamma (\mathbf {s} _{1},\mathbf {s} _{2})=E\left[\left|Z(\mathbf {s} _{1})-Z(\mathbf {s} _{2})\right|^{\alpha }\right]}$,

en el que un variograma es de orden 2, un madograma es un variograma de orden 1 y un rodograma es un variograma de orden 0,5. ^{[ 12 ]}

Cuando se utiliza un variograma para describir la correlación de diferentes variables, se denomina variograma cruzado . Los variogramas cruzados se utilizan en el cokriging . Si la variable es binaria o representa clases de valores, se habla de variogramas indicadores . Los variogramas indicadores se utilizan en el kriging indicador .

• Cressie, N., 1993, Estadística para datos espaciales, Wiley Interscience.
• Chiles, JP, P. Delfiner, 1999, Geoestadística, Modelado de la incertidumbre espacial, Wiley-Interscience.
• Wackernagel, H., 2003, Geoestadística multivariada, Springer.
• Burrough, PA y McDonnell, RA, 1998, Principios de los sistemas de información geográfica.
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• Glass, HJ, 2003, Método para evaluar la calidad del variograma, The Journal of The South African Institute of Mining and Metallurgy .

• AI-GEOSTATS: un recurso educativo sobre geoestadística y estadística espacial.
• Geoestadística: Conferencia de Rudolf Dutter en la Universidad Técnica de Viena. Archivada el 15 de diciembre de 2007 en la Wayback Machine.