Cardinalidad

La cardinalidad es una propiedad inherente de los conjuntos que define su tamaño, es decir, aproximadamente, el número de objetos individuales que contienen. ^{[ 1 ]} Fundamentalmente, sin embargo, difiere de los conceptos de número o conteo, ya que las cardinalidades de dos conjuntos se pueden comparar sin hacer referencia a su número de elementos, ni siquiera definir el número. Por ejemplo, en la imagen anterior , un conjunto de manzanas se compara con un conjunto de naranjas, de modo que cada fruta se usa exactamente una vez, lo que demuestra que estos dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, incluso si no se sabe cuántas hay de cada uno. ^{[ 2 ]} Así, la cardinalidad se mide estableciendo una correspondencia uno a uno entre los conjuntos : a cada objeto de un conjunto se le puede asignar un "par" específico en el otro, y ningún objeto de ninguno de los conjuntos queda sin pareja. Si es posible, se dice que los conjuntos tienen la misma cardinalidad , y si no, se dice que un conjunto es estrictamente mayor o estrictamente menor que el otro. ^{[ 3 ]}

Los conceptos básicos de cardinalidad se desarrollan en términos de conjuntos y funciones , que son más abstractos que sus contrapartes fuera de las matemáticas. De manera informal, un conjunto puede entenderse como cualquier colección de objetos, generalmente representados con llaves . Por ejemplo ,${\displaystyle S=\{1,2,3\}}$⁠ especifica un conjunto, llamado ⁠${\displaystyle S}$⁠ , que contiene los números 1, 2 y 3. El símbolo ⁠${\displaystyle \in }$⁠ representa la pertenencia a un conjunto, por ejemplo ⁠${\displaystyle 1\in S}$⁠ dice "1 es un miembro del conjunto ⁠${\displaystyle S}$⁠ " lo cual es cierto por definición de ⁠${\displaystyle S}$Arriba . Aquí${\displaystyle S}$es finito , pero esono es un requisito en general. El único requisito para un conjunto es que esté bien definido. Es decir, para cualquier objeto ,${\displaystyle x}$⁠ , uno puede determinar si ⁠${\displaystyle x}$pertenece a ese conjunto${\displaystyle (x\in S)}$, o​${\displaystyle x}$No pertenece a ese conjunto .${\displaystyle (x\notin S)}$Un ejemplo de conjunto infinito es el conjunto de todos los números naturales .${\displaystyle \{1,2,3,\cdots \}}$⁠ . ^{[ 4 ] [ a ]}

Una función , o correspondencia, asigna a cada miembro de un conjunto un miembro único de otro, a menudo representado con un diagrama de flechas. Por ejemplo, la tabla adjunta muestra varias funciones que asignan conjuntos de números naturales a conjuntos de letras. Si una función no asigna dos miembros al mismo lugar, se llama inyectiva . Si una función cubre todos los miembros del conjunto de salida, se llama sobreyectiva . Si una función es tanto inyectiva como sobreyectiva, se llama biyectiva o correspondencia uno a uno. Las funciones no se limitan a aquellas para las que se puede dibujar un diagrama de flechas, siempre que la función esté bien definida. Es decir, para cada entrada posible, la salida está definida. Por ejemplo, se puede definir una función ⁠${\displaystyle f}$⁠ sobre los números naturales multiplicándolos por dos: ⁠${\displaystyle f(1)=2,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(2)=4,\;}$⁠ ⁠${\displaystyle f(3)=6,\dots \,}$⁠ ⁠${\displaystyle f(n)=2n\dots }$[ ^{6 ]​}

El término cardinalidad tiene su origen en el latín posclásico cardo ("bisagra"), que se refería a algo central o fundamental, tanto literal como metafóricamente. Este término pasó al latín medieval y luego al inglés, donde cardinal llegó a describir cosas consideradas, en cierto sentido, fundamentales, como los pecados cardinales , los puntos cardinales y (en lingüística) los números cardinales . ^{[ 7 ] [ 8 ]} Estos últimos se referían a los números utilizados para contar (p. ej., uno , dos , tres ), ^{[ 9 ]} en contraposición a los números ordinales , que expresan orden (p. ej., primero, segundo, tercero ), ^{[ 10 ]} y los números nominales utilizados para etiquetar sin significado (p. ej., números de camiseta y números de serie ). ^{[ 11 ]}

En matemáticas, la noción de cardinalidad fue introducida por primera vez por el matemático alemán Georg Cantor a finales del siglo XIX, quien utilizó el término Mächtigkeit , que puede traducirse como "magnitud" o "potencia", aunque Cantor atribuyó el término a una obra de Jakob Steiner sobre geometría proyectiva . ^{[ 12 ]} Alrededor de 1930, los términos cardinalidad y número cardinal fueron adoptados del sentido gramatical, y las traducciones posteriores utilizarían estos términos. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ b ]}

Una relación intuitiva entre dos conjuntos del mismo tamaño es que sus objetos pueden emparejarse uno a uno. Es decir, si a cada objeto de un conjunto se le puede asignar un par específico en el otro, y ningún objeto de ninguno de los conjuntos queda sin emparejar, entonces hay el mismo número de objetos en cada conjunto. Un emparejamiento uno a uno entre dos conjuntos define una función biyectiva entre ellos al asignar cada objeto a su par. De manera similar, una biyección entre dos conjuntos define un emparejamiento de sus elementos al emparejar cada objeto con el que se le asigna. Por lo tanto, estas nociones de "emparejamiento" y "biyección" son, al menos intuitivamente, equivalentes. ^{[ 17 ]} Así, se da la siguiente definición:

Se dice que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad o son equinumerosos si sus miembros pueden emparejarse uno a uno. Es decir, si existe una función biyectiva entre ellos. Esto se suele escribir como${\displaystyle A\sim B}$, o​${\displaystyle A\approx B}$⁠ . ^{[ 20 ]} Alternativamente, se puede decir que estos conjuntos son equivalentes , similares , equipotentes o equipolentes . ^{[ 26 ]} Por ejemplo, el conjunto ⁠${\displaystyle E=\{0,2,4,6,{\text{...}}\}}$El conjunto de números pares tiene la misma cardinalidad que el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,{\text{...}}\}}$de números naturales , ya que la función${\displaystyle f(n)=2n}$es una biyección de${\displaystyle \mathbb {N} }$a​​${\displaystyle E}$⁠ . ^{[ 27 ]}

La propiedad para conjuntos finitos de que "el todo es mayor que la parte" ya no es cierta para conjuntos infinitos, y la existencia de sobreyecciones o inyecciones que no funcionan no prueba que no exista una biyección. Por ejemplo, la función ⁠${\displaystyle g}$de​​${\displaystyle \mathbb {N} }$a​​${\displaystyle E}$⁠ , definido multiplicando por 4, ⁠${\displaystyle g(n)=4n}$⁠ , es inyectiva, pero no sobreyectiva (ya que 2, por ejemplo, no se mapea a). Además, la función ⁠${\displaystyle h}$de​​${\displaystyle \mathbb {N} }$a​​${\displaystyle E}$⁠ , definido redondeando hacia abajo al número par más cercano, ⁠${\displaystyle h(n)=2\operatorname {floor} (n/2)}$⁠ (cf. función piso ), es sobreyectiva, pero no inyectiva, (ya que 0 y 1, por ejemplo, se mapean ambos a 0). Ni ⁠${\displaystyle g}$ni​​${\displaystyle h}$puede desafiar​${\displaystyle E\sim \mathbb {N} }$⁠ , que se estableció por la existencia de ⁠${\displaystyle f}$⁠ . ^{[ 28 ]}

Equivalencia

Un resultado fundamental en el desarrollo de una teoría de la cardinalidad es que la equinumerosidad forma una relación de equivalencia , es decir, una relación que satisface las mismas tres propiedades básicas que la igualdad: reflexividad , simetría y transitividad . ^{[ 29 ] [ c ]}

Reflexividad, la propiedad de que cada conjunto tiene la misma cardinalidad que sí mismo .${\displaystyle (A\sim A)}$⁠ , se deduce de la función identidad : para cualquier conjunto ⁠${\displaystyle A}$⁠ , la función que mapea cada elemento a sí mismo es una biyección de ⁠${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle A}$⁠ . Simetría, la propiedad que, si ⁠${\displaystyle A}$⁠ tiene la misma cardinalidad que ⁠${\displaystyle B}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim B)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle B}$⁠ tiene la misma cardinalidad que ⁠${\displaystyle A}$⁠ ⁠${\displaystyle (B\sim A)}$⁠ , se cumple porque cualquier biyección ⁠${\displaystyle f:A\to B}$tiene una función inversa${\displaystyle f^{-1}:B\to A}$⁠ , que también es biyectiva. Transitividad, la propiedad de que si ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$tienen la misma cardinalidad${\displaystyle (A\sim B)}$y​​${\displaystyle B}$y​​${\displaystyle C}$tienen la misma cardinalidad${\displaystyle (B\sim C)}$⁠ entonces hazlo también ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle C}$⁠ ⁠${\displaystyle (A\sim C)}$⁠ , se deduce de la composición de funciones : biyecciones dadas ⁠${\displaystyle f:A\to B}$y​​${\displaystyle g:B\to C}$, su composición${\displaystyle g\circ f}$es una biyección de${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle C}$( ver imagen). ^{[ 29 ]}

Dado que la equinumerosidad satisface las tres propiedades, se trata de una relación de equivalencia. Esto significa que agrupa conjuntos en clases de equivalencia —grupos de conjuntos que son todos equinumerosos entre sí— donde cada grupo define un tamaño posible para un conjunto. Esto motiva la noción de números cardinales , que son representantes que indican el "tamaño" de cada grupo, desarrollada en la sección siguiente . ^{[ 31 ]}

Un conjunto${\displaystyle A}$no es mayor que un conjunto${\displaystyle B}$⁠ si se puede mapear en ⁠${\displaystyle B}$⁠ sin superposición. Es decir, la cardinalidad de ⁠${\displaystyle A}$es menor o igual que la cardinalidad de${\displaystyle B}$⁠ si existe una función inyectiva de ⁠${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle B}$⁠ , o equivalentemente, ^{[ d ]} si hay una sobreyección de ⁠${\displaystyle B}$a​​${\displaystyle A}$⁠ (o ⁠${\displaystyle A}$está vacío ) . Esto está escrito${\displaystyle A\preceq B}$, o​${\displaystyle A\lesssim B}$⁠ . ^{[ 35 ]} y se lee como " ⁠${\displaystyle A}$no es mayor que${\displaystyle B}$, " o "${\displaystyle A}$está dominado por​${\displaystyle B}$⁠ ." ^{[ 36 ]} Si ⁠${\displaystyle A\preceq B}$⁠ , pero no hay inyección desde ⁠${\displaystyle B}$a​​${\displaystyle A}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle A}$Se dice que es estrictamente más pequeño que${\displaystyle B}$⁠ , escrito sin subrayado como ⁠${\displaystyle A\prec B}$⁠ . ^{[ 37 ]} Por ejemplo, si ⁠${\displaystyle A}$Tiene cuatro elementos y${\displaystyle B}$Si tiene cinco, entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas .${\displaystyle A\preceq A}$,​​${\displaystyle A\preceq B}$y​​${\displaystyle A\prec B}$⁠ .

Las propiedades básicas de una desigualdad son la reflexividad (para cualquier ⁠${\displaystyle a}$,​​${\displaystyle a\leq a}$⁠ ), transitividad (si ⁠${\displaystyle a\leq b}$y​​${\displaystyle b\leq c}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle a\leq c}$) y antisimetría ( si${\displaystyle a\leq b}$y​​${\displaystyle b\leq a}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle a=b}$) . Desigualdad cardinal${\displaystyle (\preceq )}$La definición anterior es reflexiva, ya que la función identidad es inyectiva, y transitiva por composición de funciones. ^{[ 38 ]} La antisimetría —el hecho de que, dadas inyecciones en ambas direcciones, se pueda encontrar una biyección— no es trivial y constituye el contenido del llamado teorema de Schröder-Bernstein . ^{[ 39 ]} Una de estas demostraciones se puede resumir de la siguiente manera, con la ayuda de la ilustración adjunta:

Dado que se administran inyecciones en ambas direcciones ( ⁠${\displaystyle f:A\to B}$y​​${\displaystyle g:B\to A}$) , tomar conjunto${\displaystyle A}$y "colorea" cada punto de azul. Luego toma la imagen del conjunto .${\displaystyle B}$en​​${\displaystyle A}$Después de la inyección , es decir, el conjunto de puntos sobre los que se proyecta la inyección , coloréelos de rojo. Luego, tome la imagen de${\displaystyle A}$⁠ en esta imagen de ⁠${\displaystyle B}$⁠ , y vuelve a colorear esos puntos de azul. Al alternar recursivamente las imágenes de estos conjuntos, se obtiene una "coloración" del conjunto original (véase la ilustración). Para cada punto, o bien se detiene en algún paso finito —y por lo tanto queda definitivamente coloreado de azul o rojo— o bien continúa cambiando indefinidamente. De los puntos en ⁠${\displaystyle A}$⁠ que están definitivamente coloreados de azul, mapéelos en la siguiente imagen recursiva (es decir, aplicando ⁠${\displaystyle f}$entonces​​${\displaystyle g}$⁠ ), dejando todos los demás puntos en su lugar. Esto transforma el conjunto ⁠${\displaystyle A}$⁠ exactamente la imagen de ⁠${\displaystyle B}$⁠ . Tomando esta transformación, seguida de la inversa de ⁠${\displaystyle g}$⁠ , da una biyección desde ⁠${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle B}$( ya que${\displaystyle g}$( es inyectiva y sobreyectiva en su imagen, su inversa es biyectiva). ^{[ 32 ]}

Otra propiedad de la desigualdad cardinal es la totalidad , que dice que cualesquiera dos conjuntos son comparables. Es decir, para cualquier${\displaystyle a}$y​​${\displaystyle b}$⁠ , ya sea ⁠${\displaystyle a\leq b}$o​​${\displaystyle b\leq a}$Una demostración completa de esto requiere conceptos introducidos más adelante; sin embargo , el argumento se puede resumir brevemente de la siguiente manera. Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un único número ordinal , llamado tipo de orden del conjunto. Por el teorema del buen ordenamiento , todo conjunto puede ser bien ordenado. Entonces, al comparar sus tipos de orden, se puede demostrar que${\displaystyle A\preceq B}$o​​${\displaystyle B\preceq A}$Este hecho es equivalente al axioma de elección . ^{[ 40 ]}

Un conjunto se denomina numerable si es finito o tiene una biyección con el conjunto de los números naturales .${\displaystyle (\mathbb {N} )}$⁠ , en cuyo caso se denomina infinito numerable . El término numerable también se utiliza a veces para conjuntos infinitos numerables. ^{[ 41 ]} Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales pares es numerable y, por lo tanto, tiene la misma cardinalidad que el conjunto completo de los números naturales, aunque sea un subconjunto propio . De manera similar, el conjunto de los números cuadrados es numerable, lo que se consideró paradójico durante cientos de años antes de la teoría de conjuntos moderna (cf. §  Teoría de conjuntos precantoriana ). Sin embargo, varios otros ejemplos se han considerado históricamente sorprendentes o inicialmente poco intuitivos desde el surgimiento de la teoría de conjuntos. ^{[ 42 ]}

Dos imágenes de una representación visual de una función de ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$a​​${\displaystyle \mathbb {Q} }$A la izquierda , una versión para los números racionales positivos. A la derecha, una espiral para todos los pares de enteros .${\displaystyle (p,q)}$para cada fracción${\displaystyle p/q}$⁠ .

Los números racionales${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$Son aquellos que pueden expresarse como cociente o fracción .${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$de dos enteros . Se puede demostrar que los números racionales son contables considerando el conjunto de fracciones como el conjunto de todos los pares ordenados de enteros, que se puede visualizar como el conjunto de todos los puntos enteros en una cuadrícula. Entonces , se puede describir una función intuitiva dibujando una línea en un patrón repetitivo, o espiral, que eventualmente pasa por cada punto de la cuadrícula. Por ejemplo, pasando por cada diagonal de la cuadrícula para fracciones positivas, o a través de una espiral reticular para todos los pares de enteros. ^{[ 43 ]} Estos cubren en exceso los racionales, ya que, por ejemplo, las fracciones${\displaystyle \textstyle {\frac {2}{4}},\,{\frac {3}{6}},\,{\frac {4}{8}},\,\dots }$⁠ todos se asignan a ⁠${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$⁠ , ya que el método de cuadrícula trata a todos estos como pares ordenados distintos. Por lo tanto, esta función muestra ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert \leq \vert \mathbb {N} \vert }$no​​${\displaystyle \vert \mathbb {Q} \vert =\vert \mathbb {N} \vert }$Esto se puede corregir " omitiendo" estos números en la cuadrícula, utilizando el teorema de Schröder-Bernstein, o diseñando una función que lo haga de forma natural, por ejemplo, utilizando el árbol de Calkin-Wilf . ^{[ 44 ]}

Un número se llama algebraico si es una solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros . Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es una solución a${\displaystyle x^{2}-2=0}$y el número racional${\displaystyle p/q}$⁠ es la solución a ⁠${\displaystyle qx-p=0}$Por el contrario, un número que no puede ser raíz de ningún polinomio se denomina trascendental . Dos ejemplos son el número de Euler ( e ) y pi ( π ) . En general, demostrar que un número es trascendental se considera muy difícil, y solo se conocen unas pocas clases de números trascendentales. Sin embargo, se puede demostrar que el conjunto de los números algebraicos es numerable ordenando los polinomios lexicográficamente (por ejemplo, véase el primer artículo de Cantor sobre teoría de conjuntos, §  Las demostraciones ). Dado que el conjunto de los números algebraicos es numerable, mientras que el de los números reales es incontable (como se muestra en la siguiente subsección ), los números trascendentales deben constituir la gran mayoría de los números reales, aunque individualmente sean mucho más difíciles de identificar. Es decir, casi todos los números reales son trascendentales. ^{[ 45 ]}

El hotel de Hilbert

La paradoja del Gran Hotel de Hilbert es un experimento mental popular ideado por el matemático alemán David Hilbert para ilustrar una propiedad contraintuitiva de los conjuntos infinitos numerables, que les permite tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio de sí mismos. El escenario comienza imaginando un hotel con un número infinito de habitaciones, una por cada número natural, todas ocupadas. Pero entonces llega un nuevo huésped pidiendo una habitación. El hotel lo acomoda trasladando al ocupante de la habitación 1 a la habitación 2, al ocupante de la habitación 2 a la habitación 3, a la habitación 3 a la habitación 4, y en general, de la habitación n a la habitación n+1. Entonces, cada huésped sigue teniendo una habitación, pero la habitación 1 queda libre para el nuevo huésped. ^{[ 46 ]}

A continuación, el escenario continúa imaginando un autobús infinitamente largo de nuevos huéspedes que buscan una habitación. El hotel los acomoda trasladando a la persona de la habitación 1 a la habitación 2, de la habitación 2 a la habitación 4 y, en general, de la habitación n a la habitación 2n. De esta forma, todas las habitaciones pares están ocupadas, pero todas las habitaciones impares están vacías, dejando espacio para el autobús infinito de nuevos huéspedes. El escenario continúa asumiendo que un número infinito de estos autobuses infinitos llegan al hotel y demostrando que el hotel aún puede alojarlos. Finalmente, llega un autobús infinito con un asiento para cada número real , y el hotel ya no puede alojarlos. ^{[ 46 ]}

Un conjunto se denomina incontable si no es contable; es decir, es infinito y estrictamente mayor que el conjunto de los números naturales. El primer ejemplo habitual de esto es el conjunto de los números reales .${\displaystyle (\mathbb {R} )}$⁠ , que puede entenderse como el conjunto de todos los números en la recta numérica . Un método para demostrar que los números reales son incontables se denomina argumento diagonal de Cantor , atribuido a Cantor por su demostración de 1891, ^{[ 47 ]} aunque su método difiere de la presentación más común. ^{[ 48 ]}

Comienza asumiendo, por contradicción , que existe una correspondencia biunívoca entre los números naturales y el conjunto de números reales entre 0 y 1 (el intervalo ⁠${\displaystyle [0,1]}$) . Luego, toma la representación decimal de cada número real, por ejemplo ,${\displaystyle 0.5772...}$con un cero inicial seguido de cualquier secuencia de dígitos. El número 1 está incluido en este conjunto ya que 1 = 0.999... Considerando estos números reales en una lista, siempre es posible crear un nuevo número tal que el primer dígito del nuevo número sea diferente del primero en la lista, el segundo dígito sea diferente del segundo, y así sucesivamente. El nuevo número también debe tener una representación decimal única, es decir, no puede terminar en nueves o ceros repetidos. Por ejemplo, si el dígito no es 2, el dígito del nuevo número será 2, y si era 2, será 3. ^{[ 49 ]} Entonces, este nuevo número será diferente de cada uno de los números en la lista por al menos un dígito, y por lo tanto no debe estar en la lista. Esto muestra que los números reales no pueden ponerse en una correspondencia uno a uno con los naturales, y por lo tanto deben ser estrictamente mayores. ^{[ 50 ]}

Otro ejemplo clásico de un conjunto no numerable, establecido mediante un razonamiento relacionado, es el conjunto potencia de los números naturales, denotado ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ . Este es el conjunto de todos los subconjuntos de ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ , incluyendo el conjunto vacío y ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ mismo. El método está mucho más cerca del argumento diagonal original de Cantor. De nuevo, supongamos por contradicción que existe una correspondencia biunívoca .${\displaystyle f}$entre​​${\displaystyle \mathbb {N} }$y​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ , de modo que cada subconjunto de ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$Se asigna a algún número natural. Estos subconjuntos se colocan luego en una lista, en el orden definido por${\displaystyle f}$( ver imagen). Ahora, se puede definir un subconjunto .${\displaystyle T}$de​​${\displaystyle \mathbb {N} }$⁠ que no está en la lista tomando la negación de la "diagonal" de esta lista de la siguiente manera: ^{[ 51 ]}

Si​${\displaystyle 1\in f(1)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle 1\notin T}$⁠ , es decir, si 1 está en el primer subconjunto de la lista, entonces 1 no está en el subconjunto ⁠${\displaystyle T}$⁠ . Además, si ⁠${\displaystyle 2\notin f(2)}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle 2\in T}$⁠ , es decir, si el número 2 no está en el segundo subconjunto de la lista, entonces 2 está en el subconjunto ⁠${\displaystyle T}$⁠ . Entonces, en general, para cada número natural ⁠${\displaystyle n}$,​​${\displaystyle n\in T}$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle n\notin f(n)}$⁠ , significado ⁠${\displaystyle n}$⁠ se coloca en el subconjunto ⁠${\displaystyle T}$⁠ solo si el enésimo subconjunto de la lista no contiene el número ⁠${\displaystyle n}$⁠ . Luego, para cada número natural ⁠${\displaystyle n}$,​​${\displaystyle T\neq f(n)}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle T}$⁠ no es el enésimo subconjunto de la lista, para cualquier número ⁠${\displaystyle n}$⁠ , y por lo tanto no puede aparecer en ninguna parte de la lista definida por ⁠${\displaystyle f}$⁠ . Dado que ⁠${\displaystyle f}$⁠ fue elegido arbitrariamente, esto demuestra que cada función de ⁠${\displaystyle \mathbb {N} }$a​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ debe faltarle al menos un elemento, por lo tanto no puede existir tal biyección, y así ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ no debe ser contable. ^{[ 51 ]}

Estos dos conjuntos ,${\displaystyle \mathbb {R} }$y​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$Se puede demostrar que tienen la misma cardinalidad (por ejemplo, asignando a cada subconjunto una expansión decimal), denominada cardinalidad del continuo . ^{[ 52 ]}

El teorema de Cantor generaliza el segundo teorema anterior, demostrando que todo conjunto es estrictamente menor que su conjunto potencia. En líneas generales, la demostración es la siguiente: Dado un conjunto ⁠${\displaystyle A}$⁠ , supongamos por contradicción que existe una biyección ⁠${\displaystyle f}$de​​${\displaystyle A}$a​​${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$⁠ . Entonces, el subconjunto ⁠${\displaystyle T\subseteq A}$dado tomando la negación de la "diagonal", formalmente ,${\displaystyle T=\{a\in A:a\notin f(a)\}}$⁠ , no puede estar en la lista. Por lo tanto, a cada función le falta al menos un elemento, y por lo tanto ⁠${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$⁠ . Además, puesto que ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$⁠ es en sí mismo un conjunto, el argumento puede repetirse para demostrar ⁠${\displaystyle \vert A\vert <\vert {\mathcal {P}}(A)\vert <\vert {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(A))\vert }$Tomar​​${\displaystyle A=\mathbb {N} }$⁠ , esto demuestra que ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))}$⁠ es incluso más grande que ⁠${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$⁠ , que ya se demostró que es incontable. Repetir este argumento muestra que hay infinitos "tamaños" de infinito. ^{[ 53 ]}

Dado un conocimiento básico de los números naturales , se dice que un conjunto tiene cardinalidad .${\displaystyle n}$⁠ si se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto ⁠${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$⁠ , análogo a contar sus elementos. ^{[ 66 ]} Por ejemplo, el conjunto ⁠${\displaystyle S=\{A,B,C,D\}}$tiene una correspondencia natural con el conjunto${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$⁠ , y por lo tanto se dice que tiene cardinalidad 4. Otras terminologías incluyen "Su cardinalidad es 4" o "Su número cardinal es 4". En contextos formales, los números naturales pueden entenderse como una construcción de objetos que satisfacen los axiomas de Peano : una lista de propiedades, de modo que cualquier sistema que satisfaga estas propiedades es, en cierto sentido , igual que los números naturales. ^{[ 67 ]}

Demostrar que existe tal correspondencia no siempre es trivial. La combinatoria es el área de las matemáticas que se ocupa principalmente del conteo , tanto como medio como fin para obtener resultados, y de ciertas propiedades de las estructuras finitas. ^{[ 68 ]} La noción de cardinalidad de conjuntos finitos está estrechamente ligada a muchos principios combinatorios básicos y proporciona una base conjuntista para recuperarlos. Se puede demostrar por inducción sobre los posibles tamaños de los conjuntos que la cardinalidad finita se corresponde de forma única con los números naturales (cf. Conjunto finito §  Unicidad de la cardinalidad ). ^{[ 69 ]} Esto está relacionado con otros conceptos, verificando el principio de Hume y la base de las pruebas biyectivas , y es equivalente a una formulación del principio del palomar , según el cual un conjunto finito no puede ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto propio de sí mismo. ^{[ 70 ]}

El principio de adición afirma que, dados conjuntos disjuntos ,${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$,​​${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$⁠ , lo que intuitivamente significa que la suma de las partes es igual al todo. ^{[ 71 ]} El principio de multiplicación afirma que dados dos conjuntos ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$,​​${\displaystyle \vert A\times B\vert =\vert A\vert \cdot \vert B\vert }$⁠ , lo que intuitivamente significa que hay ⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert }$formas de emparejar objetos de estos conjuntos. ^{[ 72 ]} Ambos se pueden demostrar mediante una prueba biyectiva , junto con inducción. ^{[ 73 ]} El resultado más general es el principio de inclusión-exclusión , que define cómo contar el número de elementos en conjuntos superpuestos. ^{[ 74 ]}

Naturalmente, un conjunto se define como finito si está vacío o puede ponerse en correspondencia con el conjunto ⁠${\displaystyle \{1,\,2,\,\dots ,\,n\}}$, para algún número natural${\displaystyle n}$[ ^{66 ]} Sin embargo ,existen otras definiciones de "finito" que no dependen de una definición de "número". Por ejemplo, un conjunto se denomina Dedekind-finito si no puede ponerse en correspondencia biunívoca con un subconjunto propio de ^sí mismo, aunque esta definición requiere que el axioma de elección sea equivalente a la definición original. ^{[ 75 ]}

Los números aleph son una secuencia de números cardinales que representan los tamaños de conjuntos infinitos , denotados con una letra aleph .${\displaystyle \aleph }$⁠ , la primera letra del alfabeto hebreo . ^{[ 76 ]} El primer número aleph es ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ , llamado "aleph-cero", "aleph - cero" o "aleph-nulo", que representa la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales :${\displaystyle \aleph _{0}=\vert \mathbb {N} \vert =\vert \{0,1,2,3,\cdots \}\vert }$⁠ . Entonces, ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠ representa la siguiente cardinalidad más grande, luego ⁠${\displaystyle \aleph _{2}}$⁠ , y así sucesivamente. ^{[ 77 ]} La forma más común de formalizar esto en la teoría de conjuntos es a través de los ordinales de Von Neumann , conocidos como asignación cardinal de Von Neumann . ^{[ 78 ]}

Los números ordinales generalizan la noción de orden a conjuntos infinitos. Por ejemplo, el 2 viene después del 1, denotado como ⁠${\displaystyle 1<2}$⁠ , y 3 viene después de ambos, denotado ⁠${\displaystyle 1<2<3}$⁠ . Luego, se define un nuevo número, ⁠${\displaystyle \omega }$⁠ , que viene después de cada número natural, denotado ⁠${\displaystyle 1<2<3<\cdots <\omega }$Además​​${\displaystyle \omega <\omega +1<\dots <\omega +\omega =\omega \cdot 2}$⁠ , y así sucesivamente. ^{[ 79 ]} De manera más formal, estos números ordinales se pueden definir de la siguiente manera:

⁠${\displaystyle 0:=\{\}}$⁠ , el conjunto vacío , ⁠${\displaystyle 1:=\{0\}}$,​​${\displaystyle 2:=\{0,1\}}$,​​${\displaystyle 3:=\{0,1,2\}}$⁠ , y así sucesivamente. Entonces se puede definir ⁠${\displaystyle m<n{\text{, if }}\,m\in n}$⁠ , por ejemplo, ⁠${\displaystyle 2\in \{0,1,2\}=3}$⁠ , por lo tanto ⁠${\displaystyle 2<3}$⁠ . Definición ⁠${\displaystyle \omega$ :=\{0,1,2,3,\cdots \}} ⁠ da ⁠${\displaystyle \omega }$La propiedad deseada de ser el ordinal más pequeño mayor que todos los números ordinales finitos. Además ,${\displaystyle \omega +1:=\{0,1,\cdots ,\omega \}}$⁠ , y así sucesivamente. ^{[ 80 ]}

Desde​${\displaystyle \omega \sim \mathbb {N} }$⁠ por correspondencia natural, se puede definir ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$como el conjunto de todos los ordinales finitos. Es decir ,${\displaystyle \aleph _{0}:=\omega }$⁠ . Entonces, ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠ es el conjunto de todos los ordinales contables (todos los ordinales ⁠${\displaystyle \alpha }$con cardinalidad​${\displaystyle \vert \alpha \vert \leq \aleph _{0}}$) , el primer ordinal no contable . Dado que un conjunto no puede contenerse a sí mismo ,${\displaystyle \aleph _{1}}$Debe tener una cardinalidad estrictamente mayor :${\displaystyle \aleph _{0}<\aleph _{1}}$⁠ . ^{[ 81 ]} Además, ⁠${\displaystyle \aleph _{2}}$⁠ es el conjunto de todos los ordinales con cardinalidad menor o igual a ⁠${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠ , y en general el cardenal sucesor ⁠${\displaystyle \kappa ^{+}}$⁠ es el conjunto de todos los ordinales con cardinalidad hasta ⁠${\displaystyle \kappa }$Dicho de otra manera para los cardinales infinitos ,${\displaystyle \kappa ^{+}}$es el número de posibles buenos ordenamientos en${\displaystyle \kappa }$⁠ hasta isomorfismo de orden . ^{[ 82 ]} Demostrar que tal conjunto siempre existe se conoce como el teorema de Hartogs, en el que el ordinal más pequeño no menor o igual que un conjunto ⁠${\displaystyle \kappa }$Se denomina número de Hartogs de${\displaystyle \kappa }$⁠ . ^{[ 83 ]} Entonces, ⁠${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$para un ordinal límite${\displaystyle \lambda }$es la unión de todos los aleph menores. ^{[ 84 ]}

La importancia de los números ordinales aquí radica en generalizar la noción de conteo a conjuntos infinitos. Al contar, uno asigna implícitamente un orden a su conjunto de objetos, pero no importa qué orden se asigne, el resultado final del conteo siempre es el mismo, lo que demuestra la conexión entre los números cardinales y ordinales. ^{[ 85 ]} Además, por el teorema del buen ordenamiento , no puede existir ningún conjunto con cardinalidad entre ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$y​​${\displaystyle \aleph _{1}}$⁠ , y todo conjunto infinito tiene alguna cardinalidad que corresponde de forma única a algún aleph ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$, para algún ordinal${\displaystyle \alpha }$⁠ . ^{[ 86 ]} Esto permite utilizar una definición constructiva de la función de cardinalidad, asignando a cada conjunto su aleph equinumérico. ^{[ 87 ]}

La aritmética básica se puede realizar con números cardinales de una manera muy natural, extendiendo los teoremas para principios combinatorios finitos mencionados anteriormente. El principio intuitivo de que si${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$Si son disjuntos, entonces la suma de estos conjuntos es simplemente tomar su unión , escrita como${\displaystyle \vert A\cup B\vert =\vert A\vert +\vert B\vert }$⁠ . ^{[ 88 ]} Por lo tanto, si ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ son infinitos, la suma cardinal se define como ⁠${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert$ :=\vert A\sqcup B\ vert } donde${\displaystyle \sqcup }$⁠ denota unión disjunta . De manera similar, la multiplicación de dos conjuntos es intuitivamente el número de maneras de emparejar sus elementos (como en el principio de multiplicación ), por lo tanto, la multiplicación cardinal se define como ⁠${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert$ :=\vert A\times B\vert } ⁠ , donde ⁠${\displaystyle \times }$⁠ denota el producto cartesiano . ^{[ 89 ]} Se puede demostrar que estas definiciones satisfacen las propiedades básicas de la aritmética estándar: ^{[ 90 ]}

• Asociatividad :​${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\sqcup C\vert =\vert A\sqcup B\vert +\vert C\vert }$y​​${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\times C\vert =\vert A\times B\vert \cdot \vert C\vert }$⁠
• Conmutatividad :​${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\vert B\vert +\vert A\vert }$y​​${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\vert =\vert B\vert \cdot \vert A\vert }$⁠
• Distributividad :​${\displaystyle \vert A\vert \cdot \vert B\sqcup C\vert =\vert A\times B\vert +\vert A\times C\vert }$⁠

Aunque muchas propiedades de la aritmética finita se mantienen para la aritmética infinita, como se muestra arriba y en la tabla siguiente, las desigualdades estrictas (como el teorema de Kőnig ) son raras. Por ejemplo, en aritmética finita, para cualquier número distinto de cero ⁠${\displaystyle n}$,​​${\displaystyle n+n>n}$⁠ . Sin embargo, dado que ambos conjuntos de números pares ⁠${\displaystyle (E)}$y conjunto de números impares${\displaystyle (F)}$⁠ tienen cardinalidad ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ , muestra ⁠${\displaystyle \vert E\sqcup F\vert =\vert \mathbb {N} \vert }$⁠ así ⁠${\displaystyle \aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}}$⁠ . De hecho, para cualquier cardinal infinito, ⁠${\displaystyle \kappa +\kappa =\kappa \cdot \kappa =\kappa }$De esta manera, se considera que la suma y la multiplicación de cardinalidad infinita se comportan de manera notablemente buena (al menos bajo el Axioma de Elección ). ^{[ 91 ]}

Exponenciación cardinal${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }}$⁠ se define mediante la exponenciación de conjuntos , el conjunto de todas las funciones ⁠${\displaystyle f:B\mapsto A}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle \vert A\vert ^{\vert B\vert }:=\vert A^{B}\vert }$lo cual extiende naturalmente el rol de "multiplicación repetida" a conjuntos infinitos. ^{[ 92 ]} Para conjuntos finitos, se puede demostrar que esto coincide con la exponenciación estándar de números naturales , pero incluye como corolario que cero elevado a la potencia de cero es uno .${\displaystyle (0^{0}=1)}$⁠ puesto que hay exactamente una función del conjunto vacío a sí mismo: la función vacía . ^{[ 93 ]} Se puede utilizar un argumento combinatorio para demostrar ⁠${\displaystyle 2^{\vert A\vert }=\vert {\mathcal {P}}(A)\vert }$⁠ , considerando la función indicadora de cada subconjunto. En general, la exponenciación cardinal no se comporta tan bien como la suma y la multiplicación. Por ejemplo, aunque se puede demostrar que la expresión ⁠${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$⁠ efectivamente corresponde a algún aleph, pero es imposible demostrar, a partir de las teorías de conjuntos estándar, a qué aleph corresponde. ^{[ 94 ]}

El conjunto de todos los números cardinales se refiere a un conjunto hipotético que contiene todos los números cardinales. Tal conjunto no puede existir, lo cual se ha considerado paradójico y está relacionado con la paradoja de Burali-Forti . Utilizando la definición de números cardinales como representantes de sus cardinalidades, comienza asumiendo que existe algún conjunto .${\displaystyle S:=\{X\,\vert X{\text{ is a cardinal number}}\}}$⁠ . Entonces, si hay algún cardinal más grande ⁠${\displaystyle \kappa \in S}$⁠ , entonces el conjunto potencia ⁠${\displaystyle 2^{\kappa }}$es estrictamente mayor y, por lo tanto, no está en${\displaystyle S}$⁠ . Por el contrario, si no hay un elemento mayor, entonces la unión ⁠${\displaystyle \bigcup S}$⁠ contiene los elementos de todos los elementos de ⁠${\displaystyle S}$⁠ , y por lo tanto es mayor o igual que cada elemento. Dado que no hay un elemento más grande en ⁠${\displaystyle S}$, para cualquier elemento${\displaystyle x\in S}$⁠ , hay otro elemento ⁠${\displaystyle y\in S}$de tal manera que${\displaystyle \vert x\vert <\vert y\vert }$y​​${\displaystyle \vert y\vert \leq {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$⁠ . Por lo tanto, para cualquier ⁠${\displaystyle x\in S}$,​​${\displaystyle \vert x\vert <{\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }}$⁠ , y así ⁠${\displaystyle {\Bigl \vert }\bigcup S{\Bigr \vert }\notin S}$Por lo tanto, la colección de todos los números cardinales es demasiado grande para formar un conjunto y es una clase propia . ^{[ 108 ]} Georg Cantor denotó la colección de todos los números cardinales ת ( tav , la última letra del alfabeto hebreo ) y la consideró una «multiplicidad inconsistente». ^{[ 107 ]}

El Axioma de Elección (AC) es un principio fundamental en los fundamentos de las matemáticas que ha generado mucha controversia a lo largo de su historia. De manera informal, establece que, dada cualquier colección de conjuntos no vacíos, es posible construir un nuevo conjunto eligiendo un elemento de cada conjunto, incluso si la colección es infinita. La controversia en torno al AC se centró principalmente en la naturaleza de cómo se eligen estos elementos. Mientras que la mayoría de los axiomas parecen describir qué son los conjuntos o permiten construir conjuntos explícitos, el AC no indica qué conjunto se ha construido, sino simplemente que existe tal función de elección, dejando implícito el conjunto construido. Para los matemáticos modernos, apenas resulta controvertido. Sin embargo, debido a su singular controversia histórica, a menudo recibe un trato especial que no se da a otros axiomas, por lo que las demostraciones básicas que lo utilizan deberían mencionarlo. ^{[ 121 ]}

El axioma de elección está muy relacionado con la naturaleza de la cardinalidad. AC impone una estructura estricta sobre lo que puede ser la cardinalidad y lo que significa compararla con conjuntos. Suponiendo que AC sea falso, la cardinalidad tiene una estructura mucho más intrincada y se resiste al tipo de orden lineal que ofrece AC. Por ejemplo, la desigualdad cardinal no trata la inyección y la sobreyección de forma equivalente. Específicamente, existen conjuntos tales que existe una sobreyección de ⁠${\displaystyle A}$⁠ sobre ⁠${\displaystyle B}$⁠ , pero no hay inyección desde ⁠${\displaystyle B}$en​​${\displaystyle A}$Por lo tanto , la inyección es una noción estrictamente más fuerte, ya que, dada una inyección, siempre es posible encontrar una sobreyección en la dirección opuesta. De manera similar, aunque la desigualdad cardinal mantiene un orden parcial, existen conjuntos incomparables bajo la desigualdad cardinal, es decir, la ley de tricotomía no se cumple, y hay conjuntos tales que ninguno de${\displaystyle A<B}$,​​${\displaystyle A\sim B}$,​​${\displaystyle A>B}$⁠ sostener. Ambos (tricotomía y que la sobreyección implica inyección) son equivalentes a AC. ^{[ 122 ]}

Debido a que la tricotomía no se cumple y la secuencia aleph tiene un orden natural bien definido, existen conjuntos cuya cardinalidad no corresponde a ningún aleph. Por lo tanto, la función de cardinalidad ⁠${\displaystyle A\mapsto \vert A\vert }$⁠ se vuelve algo más difícil de definir. De hecho, una función de cardinalidad que asigna a cada conjunto un "representante" único de esa cardinalidad , es decir, que satisface el principio de Hume y la idempotencia ( ⁠${\displaystyle \vert \vert S\vert \vert =\vert S\vert }$o​​${\displaystyle \vert S\vert \sim S}$⁠ ) ​​— es imposible sin AC. ^{[ 123 ]} Las teorías de conjuntos sin AC abordan esto adoptando la llamadadefinición de Frege - Russell - Scott , introducida por Dana Scott , que recuerda a los números cardinales de Frege - Russell . Bajo esta definición, se considera que el "Conjunto de todos los conjuntos" es equinumérico con ⁠${\displaystyle A}$⁠ , pero aplica el truco de Scott para regularizar estas clases. Específicamente, reduce esta clase solo a aquellos conjuntos de rango mínimo ; es decir, aquellos conjuntos que aparecen primero en la jerarquía de von Neumann . Dado que la jerarquía de von Neumann está bien ordenada, existe un rango mínimo, y como todos estos conjuntos comparten ese rango, su colección está acotada en la jerarquía y, por lo tanto, constituye un conjunto en lugar de una clase propia. ^{[ 124 ]}

La aritmética cardinal es mucho más compleja, perdiendo muchas de sus identidades más simples. La identidad${\displaystyle \vert A\vert +\vert B\vert =\operatorname {max} (\vert A\vert ,\vert B\vert )}$⁠ requiere una noción bien definida de "máximo" que requiere que todos los conjuntos sean comparables y, por lo tanto, no se cumple. De manera similar, la proposición que${\displaystyle A\times A\sim B\times B\implies A\sim B}$(la función que eleva al cuadrado los cardinales es inyectiva), e incluso la afirmación de que el producto arbitrario de números cardinales distintos de cero siempre es distinto de cero —llamado axioma multiplicativo por Bertrand Russell— son ambos equivalentes a AC. ^{[ 125 ]} Además, aunque la Hipótesis del Continuo Generalizado (HCG, que${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$por cada​${\displaystyle \alpha }$⁠ ) ​​es independiente de ZFC, se puede demostrar que ZF+GCH es suficiente para derivar AC, y por lo tanto, si AC es falso, se deduce que GCH no se cumple. ^{[ 126 ]}

Algunas teorías de conjuntos incluyen clases , que son colecciones de conjuntos, lo que permite a las teorías analizar cualquier colección de conjuntos sin incurrir en problemas de autorreferencia (por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos ). Una clase se denomina clase propia cuando, al menos intuitivamente, es "demasiado grande" para formar un conjunto. Por ejemplo, el universo de todos los conjuntos , la clase de todos los números cardinales y la clase de todos los números ordinales son clases propias. Entre estas teorías de conjuntos se encuentran la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK). Cantor denominó originalmente al tamaño de estos conjuntos "demasiado grandes" " infinito absoluto ", separándolo de lo transfinito. A este último lo caracterizó por su "inconsistencia", que causaba paradojas, y asoció el concepto con Dios . ^{[ 127 ]}

En cierto sentido, se pueden asignar cardinalidades a las clases propias. El primero en distinguir formalmente entre conjuntos y clases fue John von Neumann , quien formalizó la noción de "demasiado grande para formar conjuntos". Más precisamente, definió una clase como "demasiado grande" (una clase propia) si y solo si era equinumerosa con todo el universo de conjuntos (cf. Axioma de limitación de tamaño ; utilizado como axioma en la teoría de conjuntos MK y derivable como teorema en NBG). Por lo tanto, todas las clases propias tienen el mismo "tamaño". El axioma tiene varias implicaciones, principalmente relacionadas con los principios de limitación de tamaño de la teoría de conjuntos temprana. Implica el axioma de especificación , el axioma de reemplazo , el axioma de unión y el axioma de elección global . ^{[ 128 ]}

Los axiomas de cardinales grandes afirman la existencia de números cardinales que, como su nombre indica, son muy grandes , tan grandes que no se puede demostrar su existencia dentro de ZFC. Por ejemplo, un cardinal inaccesible es, aproximadamente, un cardinal al que no se puede acceder desde abajo utilizando operaciones básicas de teoría de conjuntos como uniones, límites y conjuntos potencia (más formalmente, un cardinal regular , límite mayor que ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$⁠ ). Los cardinales grandes se entienden en términos de la jerarquía de Von Neumann , denotada ⁠${\displaystyle V_{\alpha }}$( para algún ordinal )${\displaystyle \alpha }$⁠ ), que puede entenderse como los conjuntos que se pueden obtener del conjunto vacío, seguido de la aplicación recursiva del conjunto potencia ⁠${\displaystyle \alpha }$veces . Específicamente ,${\displaystyle V_{0}=\varnothing }$,​​${\displaystyle V_{\alpha +1}={\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$y​​${\displaystyle V_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }V_{\alpha }}$para un ordinal límite${\displaystyle \lambda }$⁠ . ^{[ 129 ]}

Existen muchas propiedades conocidas que definen cardinales grandes , que aparentemente se presentan en una jerarquía lineal, en términos de fuerza de consistencia. Como analogía, en ZFC sin el Axioma del Infinito solo se puede probar la existencia de conjuntos finitos. Por lo tanto${\displaystyle V_{\omega }(={\mathcal {P}}(\varnothing )\cup {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\cup \cdots )}$⁠ , cuya existencia es demostrable en ZFC usual, puede servir como modelo de ZFC – Infinito, y por lo tanto, si ZFC es consistente, ZFC – Infinito es consistente. ^{[ 130 ]} Análogamente, ZFC + "Existe un cardinal inaccesible" implica la consistencia de ZFC, ya que si ⁠${\displaystyle \kappa }$es inaccesible ,${\displaystyle V_{\kappa }}$⁠ puede servir como modelo de ZFC (cf. universo de Grothendieck ). Axiomas de cardinales grandes cada vez más fuertes afirman la existencia de cardinales cada vez mayores, cada uno de los cuales prueba la consistencia de los sistemas más débiles. ^{[ 131 ]}

Los cardinales grandes están a la vanguardia de la investigación en teoría de conjuntos por razones tanto prácticas como filosóficas. En un sentido práctico, a menudo sucede que las conjeturas no probadas o indemostrables pueden resolverse mediante axiomas de cardinales grandes suficientemente fuertes. Por ejemplo, la existencia de un cardinal medible es inconsistente con el axioma de constructibilidad de Gödel . De manera similar, la existencia de un cardinal de Reinhardt es inconsistente con el axioma de elección, lo que lo convierte en un axioma de cardinal grande mucho más controvertido. En un sentido filosófico, según una visión platónica entre teóricos de conjuntos como W. Hugh Woodin , estos axiomas simplemente extienden el sistema para incluir conjuntos que se "supone" que deben considerarse. Es decir, existe un universo fundamental de conjuntos , al cual estos axiomas otorgan un mayor acceso. ^{[ 132 ]} Por esta razón, los axiomas de cardinales grandes generalmente se prefieren en comparación con otros posibles axiomas de la teoría de conjuntos. Esta visión es controvertida dentro de una filosofía rival, a veces llamada pluralismo , ^{[ 133 ]} que postula que la teoría de conjuntos debe entenderse como un multiverso de teorías de conjuntos, pero no como un modelo "absoluto" o "verdadero". ^{[ 134 ]}

El axioma de determinación (AD) afirma que ciertos tipos de juegos matemáticos sobre los números naturales están determinados ; es decir, un jugador siempre tendrá una estrategia ganadora garantizada. ^{[ 135 ]} El primer estudio serio de las consecuencias del AD comenzó durante la década de 1960 en la teoría descriptiva de conjuntos —que , a grandes rasgos, estudia los conjuntos definibles de los números reales— después de que se observara que conduce a propiedades reguladoras muy interesantes de los números reales. ^{[ 136 ]} Sin embargo, se demostró que este axioma es inconsistente con el AC y, por lo tanto, nunca se tomó como un axioma fundamental de la teoría de conjuntos. ^{[ 137 ]}

AD está estrechamente relacionado con la cardinalidad de los números reales, lo que le da una estructura diferente a la que se tiene bajo AC. Bajo AD, los números reales no pueden estar bien ordenados, lo que significa que${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ no corresponde a ningún aleph. A pesar de esto, AD impone una estructura rígida a los números reales, conocida como la propiedad del conjunto perfecto , lo que implica que todo conjunto de números reales es contable o tiene una cardinalidad exactamente igual a ⁠.${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$⁠ , igual a toda la recta real. De manera similar, también implica que todos los conjuntos de números reales son medibles según Lebesgue , eliminando la existencia de conjuntos cuyo tamaño no sea cero, pero a los que no se les pueda asignar una longitud. La existencia de tales conjuntos no medibles permite la paradoja de Banach-Tarski , demostrando que se puede cortar una esfera en un número finito de piezas, reorganizarlas suavemente y terminar con dos esferas sólidas, lo cual se vuelve imposible bajo AD. ^{[ 138 ]}

Por otro lado, debido a las restricciones sobre qué conjuntos pueden existir, implica que se pueden particionar los números reales en estrictamente más grupos que números reales. Específicamente, se puede encontrar una inyección para demostrar que${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert \leq \vert \mathbb {R} /\mathbb {Q} \vert }$⁠ (clases de equivalencia de números reales, tales que ⁠${\displaystyle x\sim y}$⁠ si y solo si${\displaystyle x-y\in \mathbb {Q} }$⁠ ). Sin embargo, si una inyección ⁠${\displaystyle F:\mathbb {R} /\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$Si existiera, entonces habría un orden lineal en${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$( dado por${\displaystyle a\leq b}$si​​${\displaystyle F(a)\leq F(b)}$⁠ ). Esto permite construir un conjunto al que no se le puede asignar una medida, lo que contradice AD. Por lo tanto, no podría existir tal inyección y, por consiguiente , ⁠${\displaystyle \vert \mathbb {R} \vert <\vert \mathbb {R} /\mathbb {Q} \vert }$⁠ . ^{[ 139 ]}

Sin embargo, su relación con los cardinales grandes y la hipótesis del continuo sigue siendo de gran interés entre teóricos de conjuntos como Donald A. Martin , John R. Steel y W. Hugh Woodin , al menos en parte porque AD es equiconsistente con el axioma de los cardinales grandes que establece que existen infinitos cardinales de Woodin . ^{[ 140 ]}

Desde el siglo VI a. C., los escritos de filósofos griegos , como Anaximandro , trataron sobre conjuntos u objetos infinitos; sin embargo, estos objetos generalmente se consideraban paradójicos e imperfectos (cf. las paradojas de Zenón ). Aristóteles distinguió entre las nociones de infinito actual y potencial , argumentando que los matemáticos griegos comprendían la diferencia y que «no necesitaban el infinito [actual] ni lo utilizaban». La noción griega de número ( αριθμός , arithmos ) se utilizaba exclusivamente para un número definido de objetos definidos (es decir, números finitos). ^{[ 143 ]} Esto se codificó en los Elementos de Euclides , donde la quinta noción común establecía «El todo es mayor que la parte», conocida como el principio euclidiano . Este principio fue la filosofía dominante en matemáticas hasta el siglo XIX. ^{[ 144 ]}

Hacia el siglo IV a. C., las matemáticas jainistas fueron las primeras en abordar los diferentes tamaños del infinito. Definieron tres clases principales de números: enumerables (números finitos), no enumerables ( asamkhyata , aproximadamente, infinito numerable ) e infinitos ( ananta , aproximadamente, el continuo ). Luego, establecieron cinco clases de números infinitos: infinitos en una dirección, infinitos en ambas direcciones, infinitos en área, infinitos en todas partes e infinitos perpetuamente. ^{[ 145 ]}

Uno de los primeros usos explícitos de una correspondencia biunívoca se registra en la Mecánica de Aristóteles ( c. 350 a. C. ), conocida como la paradoja de la rueda de Aristóteles . La paradoja se puede describir brevemente de la siguiente manera: Una rueda se representa como dos círculos concéntricos . El círculo exterior, más grande, es tangente a una línea horizontal (por ejemplo, un camino sobre el que rueda), mientras que el círculo interior, más pequeño, está rígidamente unido al mayor. Suponiendo que el círculo mayor rueda a lo largo de la línea sin deslizarse (o patinar) durante una revolución completa, las distancias recorridas por ambos círculos son las mismas: la circunferencia del círculo mayor. Además, las líneas trazadas por el punto más bajo de cada uno tienen la misma longitud. ^{[ 146 ]} Dado que la rueda menor no omite ningún punto, y ningún punto de la rueda menor se utiliza más de una vez, existe una correspondencia biunívoca entre los dos círculos. ^{[ 147 ]}

Retrato de Galileo Galilei , c. 1640 (izquierda). Retrato de Bernard Bolzano, 1781-1848 (derecha).

Galileo Galilei presentó lo que más tarde se denominó la paradoja de Galileo en su libro Dos nuevas ciencias (1638), ^{[ 148 ]} donde presentó una aparente paradoja en secuencias infinitas de números. Era la siguiente: para cada cuadrado perfecto ⁠${\displaystyle (n^{2})}$1 , 4, 9, 16, y así sucesivamente, existe una única raíz cuadrada .${\displaystyle \textstyle ({\sqrt {n^{2}}}=n)}$1 , 2, 3, 4, y así sucesivamente. Por lo tanto, hay tantos cuadrados perfectos como raíces cuadradas. Sin embargo, todo número es una raíz cuadrada, ya que se puede elevar al cuadrado , pero no todo número es un cuadrado perfecto. Además, la proporción de cuadrados perfectos disminuye a medida que aumenta el valor, y finalmente es menor que cualquier fracción dada. Galileo negó que esto fuera fundamentalmente contradictorio; sin embargo, concluyó que esto significaba que no podíamos comparar los tamaños de conjuntos infinitos, perdiendo así la oportunidad de descubrir la cardinalidad. ^{[ 149 ]}

En Tratado de la naturaleza humana (1739), David Hume dijo: «Cuando dos números se combinan de tal manera que uno siempre tiene una unidad que corresponde a cada unidad del otro, los declaramos iguales» , ^{[ 150 ]} ahora llamado principio de Hume , que fue ampliamente utilizado por Gottlob Frege más tarde durante el auge de la teoría de conjuntos. ^{[ 151 ]}

Las paradojas del infinito ( Paradoxien des Unendlichen , 1851) de Bernard Bolzano se consideran a menudo el primer intento sistemático de introducir el concepto de conjuntos en el análisis matemático . En esta obra, Bolzano defendió la noción de infinito actual y presentó una formulación temprana de lo que más tarde se reconocería como correspondencia biunívoca entre conjuntos infinitos. Discutió ejemplos como el emparejamiento entre los intervalos .${\displaystyle [0,5]}$y​​${\displaystyle [0,12]}$por la relación${\displaystyle 5y=12x}$y retomó la paradoja de Galileo. Sin embargo, él también se resistió a afirmar que estos conjuntos fueran, en ese sentido, del mismo tamaño. Si bien Paradojas del infinito anticipó varias ideas centrales para la teoría de conjuntos posterior, la obra tuvo poca influencia en las matemáticas contemporáneas, en parte debido a su publicación póstuma y su limitada circulación. ^{[ 152 ]}