Congruencia (relatividad general)

Consideremos la congruencia temporal generada por un campo vectorial unitario temporal X, que podemos considerar como un operador diferencial parcial lineal de primer orden . Entonces, las componentes de nuestro campo vectorial son ahora funciones escalares dadas en notación tensorial escribiendo${\displaystyle {\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}}$donde f es una función suave arbitraria. El vector de aceleración es la derivada covariante.${\displaystyle \nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}}$; podemos escribir sus componentes en notación tensorial como:

${\displaystyle {\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}}$

A continuación, utilizando${\displaystyle {X_{b}}{X^{b}}=-1}$, observe que la ecuación:

${\displaystyle \left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0}$

significa que el término entre paréntesis a la izquierda es la parte transversal de${\displaystyle {X^{a}}_{;b}}$Esta relación de ortogonalidad se cumple únicamente cuando X es un vector unitario de tipo temporal de una variedad lorentziana . No se cumple en un contexto más general. Escribir:

${\displaystyle h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}}$

para el tensor de proyección que proyecta tensores en sus partes transversales; por ejemplo, la parte transversal de un vector es la parte ortogonal a${\displaystyle {\vec {X}}}$Este tensor puede considerarse como el tensor métrico de la hipersuperficie cuyos vectores tangentes son ortogonales a X. Por lo tanto, hemos demostrado que:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}}$

A continuación, descomponemos esto en sus partes simétricas y antisimétricas:

${\displaystyle {\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}}$

Aquí:

${\displaystyle \theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}}$

${\displaystyle \omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}}$

se conocen respectivamente como tensor de expansión y tensor de vorticidad .

Debido a que estos tensores residen en los elementos del hiperplano espacial ortogonales a${\displaystyle {\vec {X}}}$, podemos pensar en ellos como tensores tridimensionales de segundo rango. Esto se puede expresar de forma más rigurosa utilizando la noción de derivada de Fermi . Por lo tanto, podemos descomponer el tensor de expansión en su parte sin traza más una parte de traza . Escribiendo la traza como${\displaystyle \theta }$, tenemos:

${\displaystyle \theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}}$

Debido a que el tensor de vorticidad es antisimétrico, sus componentes diagonales se anulan, por lo que automáticamente carece de traza (y podemos reemplazarlo con un vector tridimensional , aunque no lo haremos). Por lo tanto, ahora tenemos:

${\displaystyle X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Esta es la descomposición cinemática deseada . En el caso de una congruencia geodésica de tipo temporal , el último término se anula idénticamente.

El escalar de expansión, tensor de cizallamiento (${\displaystyle \sigma _{ab}}$), y el tensor de vorticidad de una congruencia geodésica de tipo temporal tienen el siguiente significado intuitivo:

1. El escalar de expansión representa la tasa fraccional a la que cambia el volumen de una pequeña nube inicialmente esférica de partículas de prueba con respecto al tiempo propio de la partícula en el centro de la nube,
2. El tensor de cizallamiento representa cualquier tendencia de la esfera inicial a deformarse hasta adquirir una forma elipsoidal.
3. El tensor de vorticidad representa cualquier tendencia de la esfera inicial a rotar; la vorticidad desaparece si y solo si las líneas de universo en la congruencia son ortogonales en todas partes a las hipersuperficies espaciales en alguna foliación del espaciotiempo, en cuyo caso, para un diagrama de coordenadas adecuado, cada hipercorte puede considerarse como una superficie de "tiempo constante".

Consulte las citas y los enlaces a continuación para obtener una justificación de estas afirmaciones.

Mediante la identidad de Ricci (que se usa a menudo como definición del tensor de Riemann ), podemos escribir:

${\displaystyle X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}}$

Al sustituir la descomposición cinemática en el lado izquierdo, podemos establecer relaciones entre el tensor de curvatura y el comportamiento cinemático de las congruencias de tipo temporal (geodésicas o no). Estas relaciones pueden utilizarse de dos maneras, ambas muy importantes:

1. Podemos (en principio) determinar experimentalmente el tensor de curvatura de un espaciotiempo a partir de observaciones detalladas del comportamiento cinemático de cualquier congruencia temporal (geodésica o no),
2. Podemos obtener ecuaciones de evolución para las partes de la descomposición cinemática ( escalar de expansión , tensor de corte y tensor de vorticidad ) que exhiben acoplamiento de curvatura directo .

En el famoso eslogan de John Archibald Wheeler :

El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.

Ahora vemos cómo cuantificar con precisión la primera parte de esta afirmación; la ecuación de campo de Einstein cuantifica la segunda parte.

En particular, según la descomposición de Bel del tensor de Riemann, tomada con respecto a nuestro campo vectorial unitario de tipo temporal, el tensor electrogravitacional (o tensor de mareas ) se define por:

${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$

La identidad de Ricci ahora proporciona:

${\displaystyle \left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Sustituyendo la descomposición cinemática podemos obtener finalmente:

${\displaystyle {\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}}$

Aquí, los puntos sobre las coordenadas indican la diferenciación con respecto al tiempo propio , contada a lo largo de nuestra congruencia temporal (es decir, tomamos la derivada covariante con respecto al campo vectorial X). Esto puede considerarse una descripción de cómo se puede determinar el tensor de marea a partir de observaciones de una única congruencia temporal.

En esta sección, abordamos el problema de obtener ecuaciones de evolución (también llamadas ecuaciones de propagación o fórmulas de propagación ).

Será conveniente escribir el vector de aceleración como${\displaystyle {\dot {X}}^{a}=W^{a}}$y también para establecer:

${\displaystyle J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}}$

Ahora, a partir de la identidad de Ricci para el tensor de mareas, tenemos:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}}$

Pero:

${\displaystyle \left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}}$

Así que tenemos:

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}}$

Al introducir la definición de${\displaystyle J_{ab}}$y tomando respectivamente la parte diagonal, la parte simétrica sin traza y la parte antisimétrica de esta ecuación, obtenemos las ecuaciones de evolución deseadas para el escalar de expansión, el tensor de corte y el tensor de vorticidad.

Consideremos primero el caso más sencillo en el que el vector de aceleración se anula. Entonces (observando que el tensor de proyección puede utilizarse para reducir los índices de cantidades puramente espaciales), tenemos:

${\displaystyle J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

o

${\displaystyle {\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}}$

Mediante álgebra lineal elemental, se verifica fácilmente que si${\displaystyle \Sigma ,\Omega }$son respectivamente operadores lineales tridimensionales simétricos y antisimétricos, entonces${\displaystyle \Sigma ^{2}+\Omega ^{2}}$es simétrico mientras${\displaystyle \Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma }$es antisimétrico, por lo que al disminuir un índice, las combinaciones correspondientes entre paréntesis arriba son simétricas y antisimétricas respectivamente. Por lo tanto, al tomar la traza se obtiene la ecuación de Raychaudhuri (para geodésicas de tipo temporal):

${\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}$

Tomando la parte simétrica sin traza se obtiene:

${\displaystyle {\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}}$

y tomando la parte antisimétrica se obtiene:

${\displaystyle {\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)}$

Aquí:

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}}$

son invariantes cuadráticos que nunca son negativos, de modo que${\displaystyle \sigma ,\omega }$son invariantes reales bien definidos. La traza del tensor de marea también se puede escribir:

${\displaystyle {E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}}$

A veces se le llama escalar de Raychaudhuri ; huelga decir que se desvanece idénticamente en el caso de una solución de vacío .

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