Matriz cero

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz cero o matriz nula es una matriz cuyas entradas son todas cero . También sirve como identidad aditiva del grupo aditivo de${\displaystyle m\times n}$matrices, y se denota por el símbolo${\displaystyle O}$o${\displaystyle 0}$seguido de subíndices que corresponden a la dimensión de la matriz según lo requiera el contexto. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Algunos ejemplos de matrices nulas son

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\ }$

El conjunto de${\displaystyle m\times n}$Las matrices con entradas en un anillo K forman un anillo.${\displaystyle K_{m,n}}$La matriz cero${\displaystyle 0_{K_{m,n}}\,}$en${\displaystyle K_{m,n}\,}$es la matriz con todas las entradas iguales a${\displaystyle 0_{K}\,}$, dónde${\displaystyle 0_{K}}$es la identidad aditiva en K.

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en${\displaystyle K_{m,n}\,}$. ^{[ 4 ]} Es decir, para todos${\displaystyle A\in K_{m,n}\,}$Satisface la ecuación

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}$

Existe exactamente una matriz nula de cualquier dimensión m × n (con entradas de un anillo dado), por lo que, cuando el contexto es claro, se suele hacer referencia a la matriz nula. En general, el elemento nulo de un anillo es único y se suele denotar con 0 sin ningún subíndice que indique el anillo padre. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices nulas sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero . ^{[ 5 ]} Es idempotente , lo que significa que cuando se multiplica por sí misma, el resultado es ella misma.

La matriz cero es la única matriz cuyo rango es 0.

En la regresión por mínimos cuadrados ordinarios , si existe un ajuste perfecto a los datos, la matriz anuladora es la matriz cero.

• Matriz identidad , la identidad multiplicativa para matrices
• Matriz de unos , una matriz donde todos los elementos son uno.
• Matriz nilpotente
• Matriz de una sola entrada , una matriz donde todos los elementos excepto uno son cero.