teoría de números

La teoría elemental de números aborda los temas de la teoría de números mediante métodos básicos de la aritmética. ^{[ 4 ]} Sus principales temas de estudio son la divisibilidad , la factorización y la primalidad , así como las congruencias en la aritmética modular. ^{[ 71 ] [ 12 ]} Otros temas de la teoría elemental de números incluyen ecuaciones diofánticas , fracciones continuas , particiones enteras y aproximaciones diofánticas . ^{[ 72 ]}

La aritmética es el estudio de las operaciones numéricas e investiga cómo se combinan y transforman los números utilizando las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación , división , potenciación , extracción de raíces y logaritmos . La multiplicación, por ejemplo, es una operación que combina dos números, denominados factores, para formar un solo número, llamado producto , como por ejemplo:${\displaystyle 2\times 3=6}$. ^{[ 73 ]}

La divisibilidad es una propiedad entre dos enteros distintos de cero relacionada con la división. Un entero${\displaystyle a}$Se dice que es divisible por un número entero distinto de cero.${\displaystyle b}$si${\displaystyle a}$es un múltiplo de${\displaystyle b}$; es decir, si existe un número entero${\displaystyle q}$de tal manera que${\displaystyle a=bq}$. Una formulación equivalente es que${\displaystyle b}$divide${\displaystyle a}$y se denota mediante una barra vertical, que en este caso es${\displaystyle b|a}$Por el contrario, si este no fuera el caso, entonces${\displaystyle a}$no se dividiría equitativamente por${\displaystyle b}$, lo que resulta en un resto. El lema de la división de Euclides afirma que${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Generalmente se puede escribir como${\displaystyle a=bq+r}$donde el resto${\displaystyle r}$representa la cantidad restante positiva más pequeña. La teoría elemental de números estudia las reglas de divisibilidad para identificar rápidamente si un entero dado es divisible por un divisor fijo. Por ejemplo, se sabe que cualquier entero es divisible por 3 si la suma de sus dígitos decimales es divisible por 3. ^{[ 74 ] [ 9 ] [ 75 ]}

Un divisor común de varios enteros distintos de cero es un entero que los divide a todos. El máximo común divisor (mcd) es el mayor de dichos divisores. Se dice que dos enteros son coprimos o primos relativos entre sí si su máximo común divisor, y simultáneamente su único divisor, es igual a cero.${\displaystyle 1}$El algoritmo euclidiano calcula el máximo común divisor de dos números enteros .${\displaystyle a,b}$Mediante la aplicación repetida del lema de la división y el desplazamiento del divisor y el resto después de cada paso. El algoritmo puede extenderse para resolver un caso especial de ecuaciones diofánticas lineales.${\displaystyle ax+by=1}$Una ecuación diofántica tiene varias incógnitas y coeficientes enteros. Otro tipo de ecuación diofántica se describe en el teorema de Pitágoras .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$, cuyas soluciones se denominan ternas pitagóricas si todas son números enteros. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Otro tipo de expresión es la fracción continua , que escribe una suma de un número entero y una fracción cuyo denominador es otra suma de este tipo. ^{[ 76 ]}

La teoría elemental de números estudia las propiedades de divisibilidad de los enteros, como la paridad (números pares e impares), los números primos y los números perfectos . Las funciones importantes de la teoría de números incluyen la función de conteo de divisores , la función sumatoria de divisores y sus modificaciones, y la función totiente de Euler . Un número primo es un entero mayor que${\displaystyle 1}$cuyos únicos divisores positivos son${\displaystyle 1}$y el número primo mismo. Un entero positivo mayor que${\displaystyle 1}$Un número que no es primo se llama número compuesto . El teorema de Euclides demuestra que hay infinitos números primos que componen el conjunto.${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\cdots \}}$La criba de Eratóstenes fue ideada como un algoritmo eficiente para identificar todos los números primos hasta un número natural dado, eliminando todos los números compuestos. ^{[ 77 ]}

La factorización es un método para expresar un número como un producto . Específicamente en teoría de números, la factorización entera es la descomposición de un entero en un producto de enteros. El proceso de aplicar repetidamente este procedimiento hasta que todos los factores sean primos se conoce como factorización prima . Una propiedad fundamental de los primos se muestra en el lema de Euclides . Es consecuencia del lema que si un primo divide un producto de enteros, entonces ese primo divide al menos a uno de los factores del producto. El teorema de factorización única es el teorema fundamental de la aritmética que se relaciona con la factorización prima. El teorema establece que todo entero mayor que${\displaystyle 1}$se puede factorizar en un producto de números primos y esta factorización es única hasta el orden de los factores. Por ejemplo,${\displaystyle 120}$se expresa de forma única como${\displaystyle 2\times 2\times 2\times 3\times 5}$o simplemente${\displaystyle 2^{3}\times 3\times 5}$. ^{[ 78 ] [ 9 ]}

La aritmética modular trabaja con conjuntos finitos de enteros e introduce los conceptos de congruencia y clases de residuos. Una congruencia de dos enteros${\displaystyle a,b}$módulo${\displaystyle n}$(un entero positivo llamado módulo) es una relación de equivalencia mediante la cual${\displaystyle n|(a-b)}$Es cierto. Realizar la división euclidiana en ambos${\displaystyle a}$y${\displaystyle n}$y en${\displaystyle b}$y${\displaystyle n}$, produce el mismo resto. Esto escrito como${\textstyle a\equiv b{\pmod {n}}}$. De manera análoga al reloj de 12 horas , la suma de${\displaystyle 4}$y${\displaystyle 9}$es igual a${\displaystyle 13}$, sin embargo congruente con${\displaystyle 1}$. Una clase de residuo módulo${\displaystyle n}$es un conjunto que contiene todos los enteros congruentes con un valor especificado.${\displaystyle r}$módulo${\displaystyle n}$. Por ejemplo,${\displaystyle 6\mathbb {Z} +1}$contiene todos los múltiplos de${\displaystyle 6}$incrementado por${\displaystyle 1}$La aritmética modular proporciona una gama de fórmulas para resolver rápidamente congruencias de potencias muy grandes. Un teorema influyente es el pequeño teorema de Fermat , que establece que si un número primo${\displaystyle p}$es coprimo con algún entero${\displaystyle a}$, entonces${\textstyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$es cierto. El teorema de Euler extiende esto para afirmar que todo entero${\displaystyle n}$satisface la congruencia$${\displaystyle a^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}},}$$donde la función totiente de Euler${\displaystyle \varphi }$cuenta todos los enteros positivos hasta${\displaystyle n}$que son coprimos a${\displaystyle n}$La aritmética modular también proporciona fórmulas que se utilizan para resolver congruencias con incógnitas de forma similar a la resolución de ecuaciones en álgebra, como el teorema chino del resto . ^{[ 79 ]}

La teoría analítica de números, a diferencia de la teoría elemental de números, se basa en números complejos y técnicas del análisis y el cálculo. La teoría analítica de números puede definirse como:

• en términos de sus herramientas, como el estudio de los enteros mediante herramientas del análisis real y complejo ; ^{[ 64 ]} o
• En cuanto a sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre el tamaño y la densidad de ciertos números (por ejemplo, primos), en contraposición a las identidades. ^{[ 80 ]}

Estudia la distribución de los números primos, el comportamiento de las funciones de la teoría de números y los números irracionales. ^{[ 81 ]}

La teoría de números tiene fama de ser un campo cuyos resultados pueden explicarse a personas sin conocimientos especializados. Sin embargo, muchas de las demostraciones de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la variedad de herramientas que utilizan es, si cabe, inusualmente amplia dentro de las matemáticas. ^{[ 82 ]} Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach , la conjetura de los primos gemelos , las conjeturas de Hardy-Littlewood , el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos de cribado y las funciones L (o, mejor dicho, el estudio de sus propiedades). La teoría de las formas modulares (y, más generalmente, las formas automorfas ) también ocupa un lugar cada vez más central en el conjunto de herramientas de la teoría analítica de números. ^{[ 83 ]}

El análisis es la rama de las matemáticas que estudia el límite , definido como el valor al que tiende una sucesión o función cuando el argumento (o índice) se aproxima a un valor específico. Por ejemplo, el límite de la sucesión${\displaystyle 0.9,0.99,0.999,...}$es${\displaystyle 1}$. En el contexto de las funciones, el límite de${\textstyle {\frac {1}{x}}}$como${\displaystyle x}$se acerca al infinito es${\displaystyle 0}$. ^{[ 84 ]} Los números complejos extienden los números reales con la unidad imaginaria.${\displaystyle i}$definido como la solución a${\displaystyle i^{2}=-1}$. Todo número complejo puede expresarse como${\displaystyle x+iy}$, dónde${\displaystyle x}$se llama la parte real y${\displaystyle y}$se denomina parte imaginaria. ^{[ 85 ]}

La distribución de los números primos , descrita por la función${\displaystyle \pi }$que cuenta todos los números primos hasta un número real dado, es impredecible y es un tema importante de estudio en la teoría de números. Se han desarrollado fórmulas elementales para una secuencia parcial de primos, incluidos los polinomios generadores de primos de Euler . Sin embargo, estas dejan de funcionar cuando los primos se vuelven demasiado grandes. El teorema de los números primos en la teoría analítica de números proporciona una formalización de la noción de que los números primos aparecen con menos frecuencia a medida que aumenta su valor numérico. Una distribución establece, informalmente, que la función${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$aproximaciones${\displaystyle \pi (x)}$Otra distribución implica una integral logarítmica desplazada que converge a${\displaystyle \pi (x)}$más rápidamente. ^{[ 3 ]}

Se ha demostrado que la función zeta está relacionada con la distribución de los números primos. Se define como la serie$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }$$que converge si${\displaystyle s}$es mayor que${\displaystyle 1}$Euler demostró una relación que involucra el producto infinito sobre todos los números primos, expresada como la identidad$${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$$Riemann extendió la definición a una variable compleja y conjeturó que todos los casos no triviales (${\displaystyle 0<\Re (s)<1}$) donde la función devuelve un cero son aquellos en los que la parte real de${\displaystyle s}$es igual a${\textstyle {\frac {1}{2}}}$Estableció una conexión entre los ceros no triviales y la función de conteo de primos. En lo que ahora se reconoce como la hipótesis de Riemann sin resolver , una solución a la misma implicaría consecuencias directas para la comprensión de la distribución de los primos. ^{[ 86 ]}

Se pueden plantear preguntas analíticas sobre números algebraicos y utilizar métodos analíticos para responderlas; es así como se cruzan la teoría algebraica y la analítica de números. Por ejemplo, se pueden definir ideales primos (generalizaciones de los números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntarse cuántos ideales primos existen hasta un cierto tamaño. Esta pregunta se puede responder mediante el análisis de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en la base de la materia. ^{[ 87 ]} Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una sucesión (en este caso, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valores complejos construida adecuadamente. ^{[ 88 ]}

La teoría elemental de números trabaja con demostraciones elementales , un término que excluye el uso de números complejos pero que puede incluir análisis básico. ^{[ 72 ]} Por ejemplo, el teorema de los números primos se demostró por primera vez utilizando análisis complejo en 1896, pero una demostración elemental fue hallada recién en 1949 por Erdős y Selberg . ^{[ 89 ]} El término es algo ambiguo. Por ejemplo, las demostraciones basadas en teoremas tauberianos complejos , como Wiener-Ikehara , a menudo se consideran bastante esclarecedoras pero no elementales a pesar de usar análisis de Fourier , no análisis complejo. Aquí como en otros casos, una demostración elemental puede ser más larga y difícil para la mayoría de los lectores que una demostración más avanzada.

Algunos temas que generalmente se consideran parte de la teoría analítica de números (por ejemplo, la teoría de cribas ) se ajustan mejor a la segunda definición que a la primera. ^{[ nota 5 ]} Las cribas pequeñas, por ejemplo, utilizan poco análisis y, sin embargo, pertenecen a la teoría analítica de números. ^{[ nota 6 ]}

Un número algebraico es cualquier número complejo que sea solución de alguna ecuación polinómica.${\displaystyle f(x)=0}$con coeficientes racionales; por ejemplo, cada solución${\displaystyle x}$de${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$es un número algebraico. Los cuerpos de números algebraicos también se denominan cuerpos de números algebraicos , o simplemente cuerpos numéricos . La teoría de números algebraicos estudia los cuerpos de números algebraicos. ^{[ 90 ]}

Podría argumentarse que el tipo más simple de campos numéricos, a saber, los campos cuadráticos , ya fueron estudiados por Gauss, ya que la discusión de las formas cuadráticas en Disquisitiones Arithmeticae puede reformularse en términos de ideales y normas en campos cuadráticos. (Un campo cuadrático consta de todos los números de la forma${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$, dónde ${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$son números racionales y${\displaystyle d}$(es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). En ese sentido, el método chakravala del siglo XI equivale —en términos modernos— a un algoritmo para hallar las unidades de un campo numérico cuadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los campos numéricos como tales.

Los fundamentos del tema se establecieron a finales del siglo XIX, cuando se introdujeron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; estas son tres formas complementarias de abordar la falta de factorización única en los cuerpos de números algebraicos. (Por ejemplo, en el cuerpo generado por los racionales y${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$, el número${\displaystyle 6}$puede ser factorizado tanto como${\displaystyle 6=2\cdot 3}$y ${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$; todo de${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$y ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$ son irreducibles y, por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogos a los primos entre los enteros.) El impulso inicial para el desarrollo de los números ideales (por Kummer ) parece haber venido del estudio de leyes de reciprocidad superiores, ^{[ 91 ]} es decir, generalizaciones de la reciprocidad cuadrática .

Los cuerpos numéricos se estudian a menudo como extensiones de cuerpos numéricos más pequeños: se dice que un cuerpo L es una extensión de un cuerpo K si L contiene a K. (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R , y los reales R son una extensión de los racionales Q ). Clasificar las posibles extensiones de un cuerpo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto . Las extensiones abelianas —es decir, las extensiones L de K tales que el grupo de Galois ^{[ nota 7 ]} Gal( L / K ) de L sobre K es un grupo abeliano— se comprenden relativamente bien. Su clasificación fue el objeto del programa de la teoría de cuerpos de clases , que se inició a finales del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo principalmente entre 1900 y 1950.

Un ejemplo de un área de investigación activa en la teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa de Langlands , uno de los principales planes de investigación a gran escala actuales en matemáticas, se describe a veces como un intento de generalizar la teoría de cuerpos de clases a extensiones no abelianas de cuerpos numéricos.

El problema central de la geometría diofántica consiste en determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones enteras o racionales y, en caso afirmativo, cuántas. El enfoque adoptado consiste en concebir las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación con dos variables define una curva en el plano. De forma más general, una ecuación o sistema de ecuaciones con dos o más variables define una curva , una superficie u otro objeto similar en un espacio n -dimensional. En geometría diofántica, se pregunta si existen puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son todas racionales) o puntos enteros (puntos cuyas coordenadas son todas enteras) en la curva o superficie. Si existen, el siguiente paso es determinar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta fundamental en este sentido es si existen puntos racionales finitos o infinitos en una curva o superficie dada.

Consideremos, por ejemplo, la ecuación pitagórica.${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$Uno quisiera conocer sus soluciones racionales, a saber:${\displaystyle (x,y)}$de tal manera que x e y sean ambos racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras para${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$; cualquier solución a la última ecuación nos da una solución${\displaystyle x=a/c}$,${\displaystyle y=b/c}$al primero. También es lo mismo que pedir todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$(un círculo de radio 1 centrado en el origen).

La reformulación de preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos en curvas es acertada. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros en una curva algebraica (es decir, soluciones racionales o enteras de una ecuación)${\displaystyle f(x,y)=0}$, dónde${\displaystyle f}$es un polinomio en dos variables) depende crucialmente del género de la curva. ^{[ nota 8 ]} Un logro importante de este enfoque es la demostración de Wiles del Último Teorema de Fermat , para la cual otras nociones geométricas son igualmente cruciales.

También existe el área estrechamente relacionada de las aproximaciones diofánticas : dado un número${\displaystyle x}$, determinar qué tan bien se puede aproximar mediante números racionales. Se buscan aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio necesario para escribir el número racional: llamar${\displaystyle a/q}$(con${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$) una buena aproximación a${\displaystyle x}$si${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$, dónde${\displaystyle c}$es grande. Esta pregunta es de especial interés si${\displaystyle x}$es un número algebraico. Si${\displaystyle x}$Si un número no puede aproximarse bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras ni racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de altura ) son cruciales tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta cuestión también reviste especial interés en la teoría de números trascendentales : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es mediante este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales.

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es un conjunto de métodos gráficos para responder a ciertas preguntas de la teoría algebraica de números. La geometría aritmética es un término contemporáneo para el mismo ámbito que abarca la geometría diofántica, sobre todo cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (por ejemplo, en el teorema de Faltings ) en lugar de con las técnicas de las aproximaciones diofánticas.

La teoría probabilística de números comienza con preguntas como las siguientes: Tomemos un número entero n al azar entre uno y un millón. ¿Qué probabilidad hay de que sea primo? (Esto es simplemente otra forma de preguntar cuántos números primos hay entre uno y un millón). ¿Cuántos divisores primos tendrá n en promedio? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga muchos más o muchos menos divisores o divisores primos que el promedio?

La combinatoria en la teoría de números comienza con preguntas como la siguiente: ¿Un conjunto infinito bastante "grueso"${\displaystyle A}$Contienen muchos elementos en progresión aritmética:${\displaystyle a}$,

${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$¿Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de${\displaystyle A}$¿

Existen dos preguntas principales: "¿Se puede calcular esto?" y "¿Se puede calcular rápidamente?". Cualquiera puede comprobar si un número es primo o, si no lo es, descomponerlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otra cuestión. Actualmente se conocen algoritmos rápidos para comprobar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe un algoritmo verdaderamente rápido para factorizar.

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