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Articulo de referencia

Rango numérico

En el campo matemático del álgebra lineal y el análisis convexo , el rango numérico o campo de valores o Wertvorrat o Wertevorrat de una matriz compleja A es el conjunto norte ×...

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En el campo matemático del álgebra lineal y el análisis convexo , el rango numérico o campo de valores o Wertvorrat o Wertevorrat de una matriz compleja A es el conjunto norte×norte{\displaystyle n\times n}

W(A)={incógnita∗Aincógnitaincógnita∗incógnita∣incógnita∈donorte, incógnita≠0}={⟨incógnita,Aincógnita⟩∣incógnita∈donorte, ‖incógnita‖2=1}{\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \neq 0\right\}=\left\{\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle \mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \|\mathbf {x} \|_{2}=1\right\}}

donde denota la transpuesta conjugada del vector . El rango numérico incluye, en particular, las entradas diagonales de la matriz (obtenidas al elegir x igual a los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas) y los valores propios de la matriz (obtenidos al elegir x igual a los vectores propios). incógnita∗{\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}incógnita{\displaystyle \mathbf {x} }

De forma equivalente, los elementos de tienen la forma , donde es un operador de proyección hermitiano de a un subespacio unidimensional. W(A){\textstyle W(A)}tr⁡(APAG){\textstyle \operatorname {tr} (AP)}PAG{\textstyle P}donorte{\textstyle \mathbb {C} ^{n}}

En ingeniería, los rangos numéricos se utilizan como una estimación aproximada de los valores propios de A. Recientemente, se han utilizado generalizaciones del rango numérico para estudiar la computación cuántica .

Un concepto relacionado es el radio numérico , que es el mayor valor absoluto de los números en el rango numérico, es decir

r(A)=sorber{|λ|:λ∈W(A)}=sorber‖incógnita‖2=1|⟨incógnita,Aincógnita⟩|.{\displaystyle r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|_{2}=1}|\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle |.}

Propiedades

Sea la suma de conjuntos un conjunto suma .

Propiedades generales

  1. El rango numérico es el rango del cociente de Rayleigh .
  2. ( Teorema de Hausdorff-Toeplitz ) El rango numérico es convexo y compacto .
  3. W(αA+βI)=αW(A)+{β}{\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}para todas las matrices cuadradas y números complejos y . Aquí está la matriz identidad .A{\displaystyle A}α{\displaystyle \alpha }β{\displaystyle \beta }I{\displaystyle I}
  4. W(A){\displaystyle W(A)}es un subconjunto del semiplano derecho cerrado si y solo si es semidefinido positivo.A+A∗{\displaystyle A+A^{*}}
  5. El rango numérico es la única función en el conjunto de matrices cuadradas que satisface (2), (3) y (4).W(⋅){\displaystyle W(\cdot )}
  6. W(UAU∗)=W(A){\displaystyle W(UAU^{*})=W(A)}para cualquier unitario .U{\displaystyle U}
  7. W(A∗)=W(A)∗{\displaystyle W(A^{*})=W(A)^{*}}.
  8. Si es hermitiana, entonces está en la recta real. Si es antihermitiana , entonces está en la recta imaginaria.A{\displaystyle A}W(A){\displaystyle W(A)}A{\displaystyle A}W(A){\displaystyle W(A)}
  9. W(A)={z}{\displaystyle W(A)=\{z\}}si y solo si .A=zI{\displaystyle A=zI}
  10. (Subaditivo) .W(A+B)⊆W(A)+W(B){\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)}
  11. W(A){\displaystyle W(A)}contiene todos los valores propios de .A{\displaystyle A}
  12. El rango numérico de una matriz es una elipse rellena .2×2{\displaystyle 2\times 2}
  13. W(A){\displaystyle W(A)}es un segmento de línea real si y solo si es una matriz hermitiana cuyos valores propios más pequeño y más grande son y .[α,β]{\displaystyle [\alfa,\beta]}A{\displaystyle A}α{\displaystyle \alpha }β{\displaystyle \beta }

Matrices normales

  1. Si es normal, y , donde son los autovectores de correspondientes a , respectivamente, entonces .A{\textstyle A}incógnita∈durar⁡(v1,…,vk){\textstyle x\in \operatorname {span} (v_{1},\dots,v_{k})}v1,…,vk{\textstyle v_{1},\ldots ,v_{k}}A{\textstyle A}λ1,…,λk{\textstyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}}⟨incógnita,Aincógnita⟩∈cáscara⁡(λ1,…,λk){\textstyle \langle x,Ax\rangle \in \operatorname {hull} \left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\right)}
  2. Si es una matriz normal, entonces es la envoltura convexa de sus valores propios.A{\displaystyle A}W(A){\displaystyle W(A)}
  3. Si es un punto agudo en el límite de , entonces es un valor propio normal de .α{\displaystyle \alpha }W(A){\displaystyle W(A)}α{\displaystyle \alpha }A{\displaystyle A}

Radio numérico

  1. r(⋅){\displaystyle r(\cdot )}es una norma unitariamente invariante en el espacio de matrices.norte×norte{\displaystyle n\times n}
  2. r(A)≤‖A‖operación≤2r(A){\displaystyle r(A)\leq \|A\|_{\operatorname {op} }\leq 2r(A)}, donde denota la norma del operador . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]‖⋅‖operación{\displaystyle \|\cdot \|_{\operatorname {op} }}
  3. r(A)=‖A‖operación{\displaystyle r(A)=\|A\|_{\operatorname {op} }}si (pero no solo si) es normal.A{\displaystyle A}
  4. r(Anorte)≤r(A)norte{\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}.

Pruebas

La mayoría de las afirmaciones son obvias. Algunas no lo son.

Propiedades generales

Demostración de (13)

Si es hermitiana, entonces es normal, por lo que es la envoltura convexa de sus valores propios, que son todos reales. A{\textstyle A}

Por el contrario, supongamos que está en la recta real. Descompongamos , donde es una matriz hermitiana y una matriz antihermitiana. Dado que está en la recta imaginaria, si , entonces se desviaría de la recta real. Por lo tanto , y es hermitiana. W(A){\textstyle W(A)}A=B+do{\textstyle A=B+C}B{\textstyle B}do{\textstyle C}W(do){\textstyle W(C)}do≠0{\textstyle C\neq 0}W(A){\textstyle W(A)}do=0{\textstyle C=0}A{\textstyle A}

La siguiente demostración se debe a [ 5 ].

Demostración de (12)

Los elementos de tienen la forma , donde es la proyección de a un subespacio unidimensional. W(A){\textstyle W(A)}tr⁡(APAG){\textstyle \operatorname {tr} (AP)}PAG{\textstyle P}do2{\textstyle \mathbb {C} ^{2}}

El espacio de todos los subespacios unidimensionales de es , que es una 2-esfera. La imagen de una 2-esfera bajo una proyección lineal es una elipse rellena. do2{\textstyle \mathbb {C} ^{2}}PAGdo1{\textstyle \mathbb {P} \mathbb {C} ^{1}}

En más detalle, tales son de la forma donde , que satisface , es un punto en la 2-esfera unitaria. PAG{\textstyle P}12I+12[porque⁡2θmiiϕpecado⁡2θmi−iϕpecado⁡2θ−porque⁡2θ]=12[1+zincógnita+iyincógnita−iy1−z]{\displaystyle {\frac {1}{2}}I+{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\cos 2\theta &e^{i\phi }\sin 2\theta \\e^{-i\phi }\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+z&x+iy\\x-iy&1-z\end{bmatrix}}}incógnita,y,z{\textstyle x,y,z}incógnita2+y2+z2=1{\estilo de texto x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}

Por lo tanto, los elementos de , considerados como elementos de , son la composición de dos mapas lineales reales y , que mapean la 2-esfera a una elipse rellena. W(A){\textstyle W(A)}R2{\textstyle \mathbb {R} ^{2}}(incógnita,y,z)↦12[1+zincógnita+iyincógnita−iy1−z]{\textstyle (x,y,z)\mapsto {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+z&x+iy\\x-iy&1-z\end{bmatrix}}}METRO↦tr⁡(AMETRO){\textstyle M\mapsto \operatorname {tr} (AM)}

Demostración de (2)

W(A){\textstyle W(A)}es la imagen de un mapa continuo del , por lo que es compacto. incógnita↦⟨incógnita,Aincógnita⟩{\textstyle x\mapsto \langle x,Ax\rangle }PAGdonorte{\displaystyle \mathbb {PC} ^{n}}

Dados dos vectores complejos no nulos , sean sus proyectores hermitianos correspondientes de a sus respectivos espacios generados. Sea el proyector hermitiano al espacio generado por ambos. Tenemos que es un operador en . incógnita,y{\textstyle x,y}PAGincógnita,PAGy{\textstyle P_{x},P_{y}}donorte{\textstyle \mathbb {C} ^{n}}PAG{\textstyle P}PAG∗APAG{\textstyle P^{*}AP}Durar⁡(incógnita,y){\textstyle \operatorname {Span} (x,y)}

Por lo tanto, el “rango numérico restringido” de , definido por , es una elipse cerrada, según (12). También es cierto que si es distinto de cero, entonces . Por consiguiente, el rango numérico restringido está contenido en el rango numérico completo de . PAG∗APAG{\textstyle P^{*}AP}{Tran⁡(PAG∗APAGPAGz):z∈Durar⁡(incógnita,y),z≠0}{\textstyle \{\operatorname {Tr} (P^{*}APP_{z}):z\in \operatorname {Span} (x,y),z\neq 0\}}z∈Durar⁡(incógnita,y){\textstyle z\in \operatorname {Span} (x,y)}Tran⁡(PAG∗APAGPAGz)=Tran⁡(APAGPAGzPAG)=Tran⁡(APAGz)∈W(A){\textstyle \operatorname {Tr} (P^{*}APP_{z})=\operatorname {Tr} (APP_{z}P)=\operatorname {Tr} (AP_{z})\in W(A)}A{\textstyle A}

Por lo tanto, si contiene , entonces contiene una elipse cerrada que también contiene , por lo que contiene el segmento de línea entre ellos. W(A){\textstyle W(A)}Tran⁡(APAGincógnita),Tran⁡(APAGy){\textstyle \operatorname {Tr} (AP_ {x}),\operatorname {Tr} (AP_ {y})}Tran⁡(APAGincógnita),Tran⁡(APAGy){\textstyle \operatorname {Tr} (AP_ {x}),\operatorname {Tr} (AP_ {y})}

Prueba de (5)

Sea que satisfaga estas propiedades. Sea el rango numérico original. W{\textstyle W}W0{\textstyle W_{0}}

Fijemos alguna matriz . Demostramos que los planos de soporte de y son idénticos. Esto implicaría entonces que, dado que ambos son convexos y compactos. A{\textstyle A}W(A){\textstyle W(A)}W0(A){\textstyle W_{0}(A)}W(A)=W0(A){\textstyle W(A)=W_{0}(A)}

Por la propiedad (4), no es vacío. Sea un punto en el límite de , entonces podemos trasladar y rotar el plano complejo de modo que el punto se traslade al origen y la región quede completamente dentro de . Es decir, para algún , el conjunto se encuentra completamente dentro de , mientras que para cualquier , el conjunto no se encuentra completamente en . W(A){\textstyle W(A)}z{\textstyle z}W(A){\textstyle W(A)}W(A){\textstyle W(A)}do+{\textstyle \mathbb {C} ^{+}}ϕ∈R{\textstyle \phi \in \mathbb {R} }miiϕ(W(A)−z){\textstyle e^{i\phi }(W(A)-z)}C+{\textstyle \mathbb {C} ^{+}}t>0{\textstyle t>0}eiϕ(W(A)−z)−tI{\textstyle e^{i\phi }(W(A)-z)-tI}C+{\textstyle \mathbb {C} ^{+}}

Las dos propiedades de implican entonces que y que la desigualdad es precisa, lo que significa que tiene un valor propio cero. Esta es una caracterización completa de los planos de soporte de . W{\textstyle W}eiϕ(A−z)+e−iϕ(A−z)∗⪰0{\displaystyle e^{i\phi }(A-z)+e^{-i\phi }(A-z)^{*}\succeq 0}eiϕ(A−z)+e−iϕ(A−z)∗{\textstyle e^{i\phi }(A-z)+e^{-i\phi }(A-z)^{*}}W(A){\textstyle W(A)}

El mismo argumento se aplica a , por lo que tienen los mismos planos de soporte. W0(A){\textstyle W_{0}(A)}

Matrices normales

Demostración de (1), (2)

Para (2), si es normal, entonces tiene una base propia completa, por lo que se reduce a (1). A{\textstyle A}

Dado que es normal, por el teorema espectral, existe una matriz unitaria tal que , donde es una matriz diagonal que contiene los valores propios de . A{\textstyle A}U{\textstyle U}A=UDU∗{\textstyle A=UDU^{*}}D{\textstyle D}λ1,λ2,…,λn{\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}}A{\textstyle A}

Sea . Utilizando la linealidad del producto interno, que , y que son ortonormales, tenemos: x=c1v1+c2v2+⋯+ckvk{\textstyle x=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots +c_{k}v_{k}}Avj=λjvj{\textstyle Av_{j}=\lambda _{j}v_{j}}{vi}{\textstyle \left\{v_{i}\right\}}

⟨x,Ax⟩=∑i,j=1kci∗cj⟨vi,λjvj⟩=∑i=1k|ci|2λi∈hull⁡(λ1,…,λk){\displaystyle \langle x,Ax\rangle =\sum _{i,j=1}^{k}c_{i}^{*}c_{j}\left\langle v_{i},\lambda _{j}v_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{k}\left|c_{i}\right|^{2}\lambda _{i}\in \operatorname {hull} \left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\right)}

Prueba (3)

Por afinidad de , podemos trasladar y rotar el plano complejo, de modo que lo reducimos al caso en que tiene un punto agudo en , y que los dos planos de soporte en ese punto forman un ángulo con el eje imaginario, de tal manera que ya que el punto es agudo. W{\textstyle W}∂W(A){\textstyle \partial W(A)}0{\textstyle 0}ϕ1,ϕ2{\textstyle \phi _{1},\phi _{2}}ϕ1<ϕ2,eiϕ1≠eiϕ2{\textstyle \phi _{1}<\phi _{2},e^{i\phi _{1}}\neq e^{i\phi _{2}}}

Dado que , existe un vector unitario tal que . 0∈W(A){\textstyle 0\in W(A)}x0{\textstyle x_{0}}x0∗Ax0=0{\textstyle x_{0}^{*}Ax_{0}=0}

Por la propiedad general (4), el rango numérico se encuentra en los sectores definidos por: En , la derivada direccional en cualquier dirección debe anularse para mantener la no negatividad. Específicamente: Desarrollando esta derivada:Re⁡(eiθ⟨x,Ax⟩)≥0for all θ∈[ϕ1,ϕ2] and nonzero x∈Cn.{\displaystyle \operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\langle x,Ax\rangle \right)\geq 0\quad {\text{for all }}\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}]{\text{ and nonzero }}x\in \mathbb {C} ^{n}.}x=x0{\textstyle x=x_{0}}y{\textstyle y}ddtRe⁡(eiθ⟨x0+ty,A(x0+ty)⟩)|t=0=0∀y∈Cn,θ∈[ϕ1,ϕ2].{\displaystyle \left.{\frac {d}{dt}}\operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\langle x_{0}+ty,A(x_{0}+ty)\rangle \right)\right|_{t=0}=0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n},\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}].}Re⁡(eiθ(⟨y,Ax0⟩+⟨x0,Ay⟩))=0∀y∈Cn,θ∈[ϕ1,ϕ2].{\displaystyle \operatorname {Re} \left(e^{i\theta }\left(\langle y,Ax_{0}\rangle +\langle x_{0},Ay\rangle \right)\right)=0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n},\theta \in [\phi _{1},\phi _{2}].}

Dado que lo anterior se cumple para todos , debemos tener:θ∈[ϕ1,ϕ2]{\textstyle \theta \in [\phi _{1},\phi _{2}]}⟨y,Ax0⟩+⟨x0,Ay⟩=0∀y∈Cn.{\displaystyle \langle y,Ax_{0}\rangle +\langle x_{0},Ay\rangle =0\quad \forall y\in \mathbb {C} ^{n}.}

Para cualesquiera y , sustituya en la ecuación: Elija y , luego simplifique, obtenemos para todo , por lo tanto . y∈Cn{\textstyle y\in \mathbb {C} ^{n}}α∈C{\textstyle \alpha \in \mathbb {C} }αy{\textstyle \alpha y}α⟨y,Ax0⟩+α∗⟨x0,Ay⟩=0.{\displaystyle \alpha \langle y,Ax_{0}\rangle +\alpha ^{*}\langle x_{0},Ay\rangle =0.}α=1{\textstyle \alpha =1}α=i{\textstyle \alpha =i}⟨y,Ax0⟩=0{\displaystyle \langle y,Ax_{0}\rangle =0}y{\displaystyle y}Ax0=0{\textstyle Ax_{0}=0}

Radio numérico

Demostración de (2)

Dejemos . Tenemos . v=arg⁡max‖x‖2=1|⟨x,Ax⟩|{\textstyle v=\arg \max _{\|x\|_{2}=1}|\langle x,Ax\rangle |}r(A)=|⟨v,Av⟩|{\textstyle r(A)=|\langle v,Av\rangle |}

Por Cauchy-Schwarz,|⟨v,Av⟩|≤‖v‖2‖Av‖2=‖Av‖2≤‖A‖op{\displaystyle |\langle v,Av\rangle |\leq \|v\|_{2}\|Av\|_{2}=\|Av\|_{2}\leq \|A\|_{op}}

Para el otro, sea , donde son hermíticos.A=B+iC{\textstyle A=B+iC}B,C{\textstyle B,C}‖A‖op≤‖B‖op+‖C‖op{\displaystyle \|A\|_{op}\leq \|B\|_{op}+\|C\|_{op}}

Dado que está en la línea real y está en la línea imaginaria, los puntos extremos de aparecen en , desplazados, por lo tanto ambos . W(B){\textstyle W(B)}W(iC){\textstyle W(iC)}W(B),W(iC){\textstyle W(B),W(iC)}W(A){\textstyle W(A)}‖B‖op=r(B)≤r(A),‖C‖op=r(iC)≤r(A){\textstyle \|B\|_{op}=r(B)\leq r(A),\|C\|_{op}=r(iC)\leq r(A)}

Generalizaciones

Rango numérico de rango superior

El rango numérico es equivalente a la siguiente definición: Esto permite una generalización a rangos numéricos de rango superior , uno para cada uno : [ 6 ] siempre es cerrado y convexo, [ 7 ] [ 8 ] pero podría ser vacío. Se garantiza que no es vacío si , y existe algún tal que es vacío si . [ 9 ]W(A)={λ∈C:PMP=λP for some Hermitian projector P of rank 1}{\displaystyle W(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} :PMP=\lambda P{\text{ for some Hermitian projector }}P{\text{ of rank }}1\}}k=1,2,3,…{\displaystyle k=1,2,3,\dots }Wk(A)={λ∈C:PMP=λP for some Hermitian projector P of rank k}{\displaystyle W_{k}(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} :PMP=\lambda P{\text{ for some Hermitian projector }}P{\text{ of rank }}k\}}Wk(A){\displaystyle W_{k}(A)}k<n/3+1{\displaystyle k<n/3+1}A{\displaystyle A}Wk(A){\displaystyle W_{k}(A)}k≥n/3+1{\displaystyle k\geq n/3+1}

Véase también

Bibliografía

Libros

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  • Bonsall, FF; Duncan, J. (1973), Numerical Ranges II , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20227-5
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press , Capítulo 1, ISBN 978-0-521-46713-1.
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990), Análisis matricial , Cambridge University Press , Cap. 5.7, ej. 21, ISBN 0-521-30586-1
  • Bhatia, Rajendra (1997). Análisis matricial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York, Berlín, Heidelberg: Springer. ISBN 978-0-387-94846-1.
  • Gustafson, Karl E.; Rao, Duggirala KM (1997). Rango numérico: El campo de valores de operadores lineales y matrices . Universitext. Nueva York, NY: Springer. doi : 10.1007/978-1-4613-8498-4 . ISBN 978-0-387-94835-5ISSN 0172-5939​ ​

Papeles

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  • Choi, MD; Kribs, DW; Życzkowski (2006), "Códigos de corrección de errores cuánticos a partir del formalismo de compresión", Rep. Math. Phys. , 58 (1): 77– 91, arXiv : quant-ph/0511101 , Bibcode : 2006RpMP...58...77C , doi : 10.1016/S0034-4877(06)80041-8 , S2CID  119427312.
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Referencias

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  3. ^ "Desigualdades para el radio numérico del operador de espacio de Hilbert complejo" . StackExchange .
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  5. ^Davis, Chandler (June 1971). "The Toeplitz-Hausdorff Theorem Explained". Canadian Mathematical Bulletin. 14 (2): 245–246. doi:10.4153/CMB-1971-042-7. ISSN 0008-4395.
  6. ^Choi, Man-Duen; Kribs, David W.; Życzkowski, Karol (October 2006). "Higher-rank numerical ranges and compression problems". Linear Algebra and its Applications. 418 (2–3): 828–839. doi:10.1016/j.laa.2006.03.019.
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  9. ^Li, Chi-Kwong; Poon, Yiu-Tung; Sze, Nung-Sing (2009-06-01). "Condition for the higher rank numerical range to be non-empty". Linear and Multilinear Algebra. 57 (4): 365–368. arXiv:0706.1540. doi:10.1080/03081080701786384. ISSN 0308-1087.
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