Gama numérica del producto

Dado un espacio de Hilbert con una estructura de producto tensorial , un rango numérico de producto se define como un rango numérico con respecto al subconjunto de vectores producto. En algunas situaciones, especialmente en el contexto de la mecánica cuántica, el rango numérico de producto se conoce como rango numérico local.

Dejar${\displaystyle X}$ser un operador que actúa sobre un${\displaystyle N}$espacio de Hilbert de -dimensiones${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$. Dejar${\displaystyle \mathrm {\Lambda } (X)}$denota su rango numérico , es decir, el conjunto de todos${\displaystyle \lambda }$de tal manera que exista un estado normalizado${\displaystyle {|\psi \rangle }\in {\mathcal {H}}_{N}}$,${\displaystyle ||\psi ||=1}$, lo cual satisface${\displaystyle {\langle \psi |}X{|\psi \rangle }=\lambda }$.

Se puede definir una noción análoga para operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert compuesto con una estructura de producto tensorial. Consideremos primero un espacio de Hilbert bipartito ,${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {H}}_{K}\otimes {\mathcal {H}}_{M},}$de una dimensión compuesta${\displaystyle N=KM}$.

Dejar${\displaystyle X}$Sea un operador que actúa sobre el espacio de Hilbert compuesto. Definimos el rango numérico del producto.${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)}$de${\displaystyle X}$, con respecto a la estructura del producto tensorial de${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}}$, como${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)=\left\{{\langle \psi _{A}\otimes \psi _{B}|}X{|\psi _{A}\otimes \psi _{B}\rangle }:{|\psi _{A}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{K},{|\psi _{B}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{M}\right\},}$dónde${\displaystyle {|\psi _{A}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{K}}$y${\displaystyle {|\psi _{B}\rangle }\in {\mathcal {H}}_{M}}$están normalizados.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {H}}_{N}={\mathcal {H}}_{K}\otimes {\mathcal {H}}_{M}}$Sea un espacio de Hilbert de producto tensorial. Definimos el radio numérico del producto.${\displaystyle r^{\otimes }(X)}$de${\displaystyle X}$, con respecto a esta estructura de producto tensorial, como${\displaystyle r^{\otimes }(X)=\max\{|z|:z\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left(X\right)\}.}$

La noción de rango numérico de un operador dado, también llamada "campo de valores", ha sido ampliamente estudiada durante las últimas décadas y se ha destacado su utilidad en la teoría cuántica. Se conocen varias generalizaciones del rango numérico. En particular, Marcus introdujo la noción de "rango numérico descomponible", cuyas propiedades son objeto de considerable interés.

El rango numérico del producto puede considerarse como un caso particular del rango numérico descomponible definido para operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert de producto tensorial. Esta noción también puede considerarse como un rango numérico relativo al subgrupo propio.${\displaystyle U(K)\times U(M)}$del grupo unitario completo${\displaystyle U(KM)}$.

No es difícil establecer las propiedades básicas del rango numérico del producto, que son independientes de la partición del espacio de Hilbert y de la estructura del operador. Las enumeramos a continuación, dejando algunos ejemplos sencillos sin demostración.

Convexidad

El rango numérico del producto no necesita ser convexo. Consideremos el siguiente ejemplo sencillo. Sea

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)+i\left({\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}}\right).}$

Matriz${\displaystyle A}$La matriz definida anteriormente tiene valores propios.${\displaystyle 0,1,i}$Es fácil ver que${\displaystyle 1\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$y${\displaystyle i\in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$, pero${\displaystyle (1+i)/2\not \in \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)}$. En realidad, mediante cálculo directo tenemos${\displaystyle \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right)=\left\{x+yi:0\leq x,0\leq y,{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}\leq 1\right\}.}$

Rango numérico del producto de la matriz${\displaystyle A}$Se presenta a continuación.

El rango numérico del producto forma un conjunto no vacío para un operador general. En particular, contiene el baricentro del espectro.

Rango numérico del producto de${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{K\times M}}$incluye el baricentro del espectro,${\displaystyle {\frac {1}{KM}}\;{\mathrm {tr} }A\ \in \ \mathrm {\Lambda } ^{\!\otimes }\!\left({A}\right).}$

El radio numérico del producto es una norma vectorial sobre matrices, pero no una norma matricial . El radio numérico del producto es invariante con respecto a las unitarias locales, que poseen la estructura de producto tensorial.

• Z. Puchała, P. Gawron, JA Miszczak, Ł. Skowronek, M.-. Choi, K. Życzkowski, "Rango numérico del producto en un espacio con estructura de producto tensor", Linear Algebra Appl., 434 (2011) 327–342. doi : 10.1016/j.laa.2010.08.026 arXiv : 1008.3482 .
• P. Gawron, Z. Puchała, JA Miszczak, Ł. Skowronek, K. Życzkowski, "Rango numérico restringido: una herramienta versátil en la teoría de la información cuántica", J. Math. Física. 51, 102204 (2010). doi : 10.1063/1.3496901 arXiv : 0905.3646 .