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Semigrupo numérico

En matemáticas, un semigrupo numérico es un tipo especial de semigrupo . Su conjunto subyacente es el conjunto de todos los enteros no negativos, excepto un número finito de ent...

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En matemáticas, un semigrupo numérico es un tipo especial de semigrupo . Su conjunto subyacente es el conjunto de todos los enteros no negativos, excepto un número finito de enteros, y la operación binaria es la suma de enteros. Además, el entero 0 debe ser un elemento del semigrupo. Por ejemplo, mientras que el conjunto {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...} es un semigrupo numérico, el conjunto {0, 1, 3, 5, 6, ...} no lo es porque 1 pertenece al conjunto y 1 + 1 = 2 no pertenece al conjunto. Los semigrupos numéricos son monoides conmutativos y también se conocen como monoides numéricos . [ 1 ] [ 2 ]

La definición de semigrupo numérico está íntimamente relacionada con el problema de determinar enteros no negativos que pueden expresarse en la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r para un conjunto dado { n 1 , n 2 , ..., n r } de enteros positivos y para enteros no negativos arbitrarios x 1 , x 2 , ..., x r . Este problema fue considerado por varios matemáticos como Frobenius (1849–1917) y Sylvester (1814–1897) a finales del siglo XIX. [ 3 ] Durante la segunda mitad del siglo XX, el interés por el estudio de los semigrupos numéricos resurgió debido a sus aplicaciones en geometría algebraica . [ 4 ]

Definición y ejemplos

Definición

Sea N el conjunto de los enteros no negativos. Un subconjunto S de N se denomina semigrupo numérico si se cumplen las siguientes condiciones.

  1. 0 es un elemento de S
  2. N − S , el complemento de S en N , es finito.
  3. Si x e y están en S , entonces x + y también está en S.

Existe un método sencillo para construir semigrupos numéricos. Sea A = { n 1 , n 2 , ..., n r } un conjunto no vacío de enteros positivos. El conjunto de todos los enteros de la forma x 1 n 1 + x 2 n 2 + ... + x r n r es el subconjunto de N generado por A y se denota por ⟨ A ⟩ . El siguiente teorema caracteriza completamente los semigrupos numéricos.

Teorema

Sea S el subsemigrupo de N generado por A. Entonces S es un semigrupo numérico si y solo si mcd ( A ) = 1. Además, todo semigrupo numérico surge de esta manera. [ 5 ]

Ejemplos

Los siguientes subconjuntos de N son semigrupos numéricos.

  1. ⟨ 1 ⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
  2. ⟨ 1, 2 ⟩ = {0, 1, 2, 3, ...}
  3. ⟨ 2, 3 ⟩ = {0, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
  4. Sea a un entero positivo. ⟨ a , a + 1, a + 2, ... , 2 a – 1 ⟩ = {0, a , a + 1, a + 2, a + 3, ...}.
  5. Sea b un entero impar mayor que 1. Entonces ⟨ 2, b ⟩ = {0, 2, 4, . . . , b − 3 , b − 1, b , b + 1, b + 2, b + 3 , ...}.
  6. Semigrupo armónico bien temperado H ={0,12,19,24,28,31,34,36,38,40,42,43,45,46,47,48,...} [ 6 ]

Dimensión de incrustación, multiplicidad

El conjunto A es un conjunto de generadores del semigrupo numérico ⟨ A ⟩ . Un conjunto de generadores de un semigrupo numérico es un sistema mínimo de generadores si ninguno de sus subconjuntos propios genera el semigrupo numérico. Se sabe que todo semigrupo numérico S tiene un único sistema mínimo de generadores y que este sistema mínimo de generadores es finito. La cardinalidad del conjunto mínimo de generadores se denomina dimensión de incrustación del semigrupo numérico S y se denota por e ( S ). El elemento más pequeño del sistema mínimo de generadores se denomina multiplicidad del semigrupo numérico S y se denota por m ( S ).

Número de Frobenius y género

Hay varios números notables asociados con un semigrupo numérico S.

  1. El conjunto N − S se llama conjunto de huecos en S y se denota por G ( S ).
  2. El número de elementos en el conjunto de huecos G ( S ) se llama género de S (o grado de singularidad de S ) y se denota por g ( S ).
  3. El elemento más grande en G ( S ) se llama número de Frobenius de S y se denota por F ( S ).
  4. El elemento más pequeño de S tal que todos los enteros mayores también son elementos de S se llama conductor; es F ( S ) + 1.

Ejemplos

Sea S = ⟨ 5, 7, 9 ⟩ . Entonces tenemos:

  • El conjunto de elementos en S  : S = {0, 5, 7, 9, 10, 12, 14, ...}.
  • El conjunto mínimo de generadores de S  : {5, 7, 9}.
  • La dimensión de incrustación de S  : e ( S ) = 3.
  • La multiplicidad de S  : m ( S ) = 5.
  • El conjunto de huecos en S  : G ( S ) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13}.
  • El número de Frobenius de S es F ( S ) = 13, y su conductor es 14.
  • El género de S  : g ( S ) = 8.

Semigrupos numéricos con número de Frobenius pequeño o género

Juego de apéry

Sea S un semigrupo numérico y sea m un número natural. El conjunto de Apéry de S con respecto a m se define como:Apag(S,metro)={a∈S:a−metro∉S}.{\displaystyle Ap(S,m)=\{a\in S:am\notin S\}.} De forma equivalente, Ap ( S , m ) contiene los elementos más pequeños de S en cada clase de residuo módulo m . Normalmente se considera el conjunto de Apéry de S con respecto a la multiplicidad m(S) y en este caso es común escribir simplemente Ap(S) en lugar de Ap(S,m(S)) . El número de Frobenius se puede calcular en términos de cualquier conjunto de Apéry, F(S)=máximo(Apag(S,metro))−metro.{\displaystyle F(S)=\max(Ap(S,m))-m.}

Cálculo del número de Frobenius

Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación dos

Sylvester conocía los siguientes resultados generales. [ 7 ] Sean a y b enteros positivos tales que mcd ( a , b ) = 1. Entonces

  • F ( ⟨ a , b ⟩ ) = ( a − 1) ( b − 1) − 1 = ab − ( a + b ).
  • g ( ⟨ a , b ⟩ ) = ( a − 1)( b − 1) / 2.

Semigrupos numéricos con dimensión de incrustación tres

No se conoce ninguna fórmula general para calcular el número de Frobenius de semigrupos numéricos con dimensión de incrustación tres o más. No se puede encontrar ninguna fórmula polinómica para calcular el número de Frobenius o el género de un semigrupo numérico con dimensión de incrustación tres. [ 8 ] Todo entero positivo es el número de Frobenius de algún semigrupo numérico con dimensión de incrustación tres. [ 9 ]

El algoritmo de Rödseth

El siguiente algoritmo, conocido como algoritmo de Rödseth, [ 10 ] [ 11 ] puede utilizarse para calcular el número de Frobenius de un semigrupo numérico S generado por { a 1 , a 2 , a 3 } donde a 1 < a 2 < a 3 y mcd ( a 1 , a 2 , a 3 ) = 1. Su complejidad en el peor de los casos no es tan buena como la del algoritmo de Greenberg [ 12 ] , pero es mucho más sencillo de describir.

  • Sea s 0 el único entero tal que a 2 s 0 ≡ a 3 mod a 1 , 0 ≤ s 0 < a 1 .
  • El algoritmo de fracción continua se aplica a la razón a 1 / s 0 :
    • a 1 = q 1 s 0 − s 1 , 0 ≤ s 1 < s 0 ,
    • s 0 = q 2 s 1 − s 2 , 0 ≤ s 2 < s 1 ,
    • s 1 = q 3 s 2 − s 3 , 0 ≤ s 3 < s 2 ,
    • ...
    • s m −1 = q m +1 s m ,
    • s m +1 = 0,
donde q i ≥ 2, s i ≥ 0 para todo i.
  • Sea p −1 = 0, p 0 = 1, p i +1 = q i +1 p i − p i −1 y r i = ( s i a 2 − p i a 3 )/ a 1 .
  • Sea v el único número entero tal que r v +1 ≤ 0 < r v , o equivalentemente, el único entero tal que
    • s v +1 / p v +1 ≤ a 3 / a 2 < s v / p v ·
  • Entonces, F ( S ) = − a 1 + a 2 ( s v − 1) + a 3 ( p v +1 − 1) − min{ a 2 s v +1 , a 3 p v }.

Clases especiales de semigrupos numéricos

Un semigrupo numérico irreducible es un semigrupo numérico tal que no puede escribirse como la intersección de dos semigrupos numéricos que lo contengan propiamente. Un semigrupo numérico S es irreducible si y solo si S es maximal, con respecto a la inclusión de conjuntos, en la colección de todos los semigrupos numéricos con número de Frobenius F ( S ).

Un semigrupo numérico S es simétrico si es irreducible y su número de Frobenius F ( S ) es impar. Decimos que S es pseudosimétrico si es irreducible y F (S) es par. Dichos semigrupos numéricos tienen caracterizaciones sencillas en términos del número de Frobenius y el género:

  • Un semigrupo numérico S es simétrico si y solo si g ( S ) = ( F ( S ) + 1)/2.
  • Un semigrupo numérico S es pseudosimétrico si y solo si g ( S ) = ( F ( S ) + 2)/2.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Garcia-Sanchez, PA "Minicurso de semigrupos numéricos" . Consultado el 6 de abril de 2011 .
  2. ↑ Finch, Steven. "Monoides de números naturales" (PDF) . Proyecto de algoritmos INRIA . Consultado el 7 de abril de 2011 .
  3. ↑ JC Rosales y PA Garcia-Sanchez (2009). Semigrupos numéricos . Springer. ISBN 978-1-4419-0159-0.
  4. ↑ V. Barucci; et al. (1997). "Propiedades de maximalidad en semigrupos numéricos y aplicaciones a dominios locales analíticamente irreducibles unidimensionales". Memoirs of the Amer. Math. Soc . 598 . 
  5. ↑ García-Sánchez, JC Rosales, PA (2009). Semigrupos numéricos (Primera ed.). Nueva York: Springer. pág. 7. ISBN   978-1-4419-0160-6.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  6. ↑ M. Bras-Amorós (2019). "Monoides templados de números reales, el monoide fractal dorado y el semigrupo armónico bien templado" . Semigroup Forum . 99 (2): 496– 516. arXiv : 1703.01077 . doi : 10.1007/s00233-019-10059-4 . S2CID 253781462 . 
  7. ↑ JJ Sylvester (1884). "7382" . Matemáticas del Educational Times con artículos y soluciones adicionales. Educational Times . 41:21 .
  8. ↑ F. Curtis (1990). "Sobre fórmulas para el número de Frobenius de un semigrupo numérico" . Mathematica Scandinavica . 67 (2): 190–192 . doi : 10.7146/math.scand.a-12330 . Consultado el 18 de marzo de 2019 .
  9. ↑ JC Rosales; et al. (2004). "Todo entero positivo es el número de Frobenius de un semigrupo numérico con tres generadores" . Mathematica Scandinavica . 94 (1): 5– 12. doi : 10.7146/math.scand.a-14427 . Consultado el 14 de marzo de 2015 . 
  10. ↑ JL Ramírez Alfonsín (2005). El problema diofántico de Frobenius . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 4 –6. ISBN  978-0-19-856820-9.
  11. ↑ Ö.J. Rödseth (1978). "Sobre un problema diofántico lineal de Frobenius". J. Reine Angew. Math. 301 : 171–178 .
  12. ↑ Harold Greenberg (1988). "Solución a una ecuación diofántica lineal para enteros no negativos". Journal of Algorithms . 9 (3): 343– 353. doi : 10.1016/0196-6774(88)90025-9 .