B-spline racional no uniforme

El orden de una curva NURBS define la cantidad de puntos de control cercanos que influyen en cualquier punto de la curva. La curva se representa matemáticamente mediante un polinomio de grado uno menor que su orden. Por lo tanto, las curvas de segundo orden (representadas por polinomios lineales) se denominan curvas lineales, las de tercer orden, curvas cuadráticas, y las de cuarto orden, curvas cúbicas. La cantidad de puntos de control debe ser mayor o igual que el orden de la curva.

En la práctica, las curvas cúbicas son las más utilizadas. Las curvas de quinto y sexto orden a veces resultan útiles, especialmente para obtener derivadas continuas de orden superior, pero las curvas de órdenes superiores prácticamente nunca se utilizan porque generan problemas numéricos internos y tienden a requerir tiempos de cálculo desproporcionadamente largos.

Los puntos de control determinan la forma de la curva. ^{[ 13 ]} Normalmente, cada punto de la curva se calcula mediante la suma ponderada de varios puntos de control. El peso de cada punto varía según el parámetro que la rige. Para una curva de grado d, el peso de cualquier punto de control solo es distinto de cero en d+1 intervalos del espacio de parámetros . Dentro de esos intervalos, el peso cambia según una función polinómica ( funciones base ) de grado d. En los límites de los intervalos, las funciones base tienden suavemente a cero, y la suavidad viene determinada por el grado del polinomio.

Por ejemplo, la función base de grado uno es una función triangular. Esta función asciende de cero a uno y luego desciende de nuevo a cero. Mientras asciende, la función base del punto de control anterior desciende. De esta forma, la curva interpola entre los dos puntos, y la curva resultante es un polígono continuo , pero no diferenciable en los límites del intervalo, o nodos. Los polinomios de mayor grado tienen derivadas correspondientemente más continuas. Cabe destacar que, dentro del intervalo, la naturaleza polinómica de las funciones base y la linealidad de la construcción hacen que la curva sea perfectamente suave, por lo que la discontinuidad solo puede surgir en los nodos.

En muchas aplicaciones, el hecho de que un único punto de control solo influya en los intervalos donde está activo es una propiedad muy deseable, conocida como soporte local . En modelado, permite modificar una parte de una superficie sin alterar otras partes.

Agregar más puntos de control permite una mejor aproximación a una curva dada, aunque solo una clase específica de curvas puede representarse con exactitud con un número finito de puntos de control. Las curvas NURBS también cuentan con un peso escalar para cada punto de control. Esto permite un mayor control sobre la forma de la curva sin aumentar excesivamente el número de puntos de control. En particular, añade secciones cónicas, como círculos y elipses, al conjunto de curvas que pueden representarse con exactitud. El término "racional" en NURBS se refiere a estos pesos.

Los puntos de control pueden tener cualquier dimensionalidad . Los puntos unidimensionales simplemente definen una función escalar del parámetro. Estos se utilizan típicamente en programas de procesamiento de imágenes para ajustar las curvas de brillo y color. Los puntos de control tridimensionales se utilizan abundantemente en el modelado 3D, donde se emplean en el sentido cotidiano de la palabra "punto", una ubicación en el espacio 3D. Los puntos multidimensionales pueden utilizarse para controlar conjuntos de valores dependientes del tiempo, por ejemplo, las diferentes configuraciones de posición y rotación de un brazo robótico. Las superficies NURBS son simplemente una aplicación de esto. Cada "punto" de control es en realidad un vector completo de puntos de control, que define una curva. Estas curvas comparten su grado y el número de puntos de control, y abarcan una dimensión del espacio de parámetros. Al interpolar estos vectores de control sobre la otra dimensión del espacio de parámetros, se obtiene un conjunto continuo de curvas que define la superficie.

El vector de nodos es una secuencia de valores de parámetros que determina dónde y cómo los puntos de control afectan la curva NURBS. El número de nodos siempre es igual al número de puntos de control más el grado de la curva más uno (es decir, el número de puntos de control más el orden de la curva). El vector de nodos divide el espacio paramétrico en los intervalos mencionados anteriormente, generalmente denominados segmentos de nodos . Cada vez que el valor del parámetro entra en un nuevo segmento de nodo, se activa un nuevo punto de control, mientras que se descarta un punto de control anterior. Por lo tanto, los valores en el vector de nodos deben estar en orden no decreciente, de modo que (0, 0, 1, 2, 3, 3) es válido, mientras que (0, 0, 2, 1, 3, 3) no lo es.

Los nudos consecutivos pueden tener el mismo valor. Esto define un intervalo de nudo de longitud cero, lo que implica que dos puntos de control se activan al mismo tiempo (y, por supuesto, dos puntos de control se desactivan). Esto afecta la continuidad de la curva resultante o sus derivadas de orden superior; por ejemplo, permite la creación de esquinas en una curva NURBS que de otro modo sería suave. Un conjunto de nudos coincidentes se denomina a veces nudo con cierta multiplicidad . Los nudos con multiplicidad dos o tres se conocen como nudos dobles o triples. La multiplicidad de un nudo está limitada por el grado de la curva; ya que una multiplicidad mayor dividiría la curva en partes disjuntas y dejaría puntos de control sin usar. Para las NURBS de primer grado, cada nudo se empareja con un punto de control.

El vector de nudos suele comenzar con un nudo cuya multiplicidad es igual al orden. Esto tiene sentido, ya que activa los puntos de control que influyen en el primer tramo del nudo. De forma similar, el vector de nudos suele terminar con un nudo de esa multiplicidad. Las curvas con dichos vectores de nudos comienzan y terminan en un punto de control.

Los valores de los nodos controlan la correspondencia entre el parámetro de entrada y el valor NURBS correspondiente. Por ejemplo, si una NURBS describe una trayectoria en el espacio a lo largo del tiempo, los nodos controlan el tiempo que tarda la función en pasar por los puntos de control. Sin embargo, para representar formas, solo importan las proporciones de la diferencia entre los valores de los nodos; en ese caso, los vectores de nodos (0, 0, 1, 2, 3, 3) y (0, 0, 2, 4, 6, 6) producen la misma curva. La posición de los valores de los nodos influye en la correspondencia entre el espacio de parámetros y el espacio de curvas. La representación de una curva NURBS se suele realizar avanzando con un paso fijo a través del rango de parámetros. Al cambiar la longitud de los nodos, se pueden usar más puntos de muestreo en regiones con alta curvatura. Otro uso se da en situaciones donde el valor del parámetro tiene algún significado físico, por ejemplo, si el parámetro es el tiempo y la curva describe el movimiento de un brazo robótico. Las longitudes de los nodos se traducen en velocidad y aceleración, parámetros esenciales para evitar daños al brazo robótico o a su entorno. Esta flexibilidad en el mapeo es a lo que se refiere el término " no uniforme" en NURBS.

Los nudos, necesarios únicamente para cálculos internos, no suelen ser útiles para los usuarios de software de modelado. Por ello, muchas aplicaciones de modelado no permiten editarlos ni visualizarlos. Generalmente, es posible determinar vectores de nudos razonables observando la variación en los puntos de control. Las versiones más recientes de software NURBS (por ejemplo, Autodesk Maya y Rhinoceros 3D ) permiten la edición interactiva de las posiciones de los nudos, pero esto resulta mucho menos intuitivo que la edición de los puntos de control.

Las funciones base B-spline utilizadas en la construcción de curvas NURBS se suelen denotar como${\displaystyle N_{i,n}(u)}$, en el cual${\displaystyle i}$corresponde a la${\displaystyle i}$-ésimo punto de control, y${\displaystyle n}$corresponde con el grado de la función base. ^{[ 14 ]} La dependencia del parámetro se omite con frecuencia, por lo que podemos escribir${\displaystyle N_{i,n}}$La definición de estas funciones base es recursiva en${\displaystyle n}$. Las funciones de grado 0${\displaystyle N_{i,0}}$son funciones constantes por partes . Son uno en el intervalo del nudo correspondiente y cero en cualquier otro lugar. Efectivamente,${\displaystyle N_{i,n}}$es una interpolación lineal de${\displaystyle N_{i,n-1}}$y${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$Las dos últimas funciones no son cero para${\displaystyle n}$tramos de nudos, superpuestos para${\displaystyle n-1}$tramos de nudos. La función${\displaystyle N_{i,n}}$se calcula como

$${\displaystyle N_{i,n}=f_{i,n}N_{i,n-1}+g_{i+1,n}N_{i+1,n-1}}$$${\displaystyle f_{i}}$aumenta linealmente de cero a uno en el intervalo donde${\displaystyle N_{i,n-1}}$es distinto de cero, mientras que${\displaystyle g_{i+1}}$cae de uno a cero en el intervalo donde${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$es distinto de cero. Como se mencionó anteriormente,${\displaystyle N_{i,1}}$es una función triangular, distinta de cero en dos intervalos de nudos, que aumenta de cero a uno en el primero y disminuye a cero en el segundo intervalo de nudos. Las funciones base de orden superior son distintas de cero en intervalos de nudos mayores correspondientes y tienen un grado correspondientemente mayor. Si${\displaystyle u}$es el parámetro, y${\displaystyle k_{i}}$es el${\displaystyle i}$^el nudo, podemos escribir las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$como $${\displaystyle f_{i,n}(u)={\frac {u-k_{i}}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$ y $${\displaystyle g_{i,n}(u)=1-f_{i,n}(u)={\frac {k_{i+n}-u}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$ Las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son positivas cuando las funciones base de orden inferior correspondientes no son cero. Por inducción sobre n se deduce que las funciones base no son negativas para todos los valores de${\displaystyle n}$y${\displaystyle u}$Esto hace que el cálculo de las funciones base sea numéricamente estable.

Nuevamente, por inducción, se puede demostrar que la suma de las funciones base para un valor particular del parámetro es igual a la unidad. Esto se conoce como la propiedad de partición de la unidad de las funciones base.

Las figuras muestran las funciones base lineales y cuadráticas para los nudos {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, ...}

Un tramo de nudo es considerablemente más corto que los demás. En ese tramo, el pico de la función base cuadrática es más pronunciado, alcanzando casi la unidad. Por el contrario, las funciones base adyacentes tienden a cero más rápidamente. En la interpretación geométrica, esto significa que la curva se aproxima al punto de control correspondiente. En el caso de un nudo doble, la longitud del tramo de nudo se reduce a cero y el pico alcanza exactamente la unidad. La función base deja de ser diferenciable en ese punto. La curva presentará una esquina pronunciada si los puntos de control vecinos no son colineales.

Utilizando las definiciones de las funciones base${\displaystyle N_{i,n}}$Según el párrafo anterior, una curva NURBS tiene la siguiente forma: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}\mathbf {P} _{i}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}(u)w_{i}\mathbf {P} _{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}(u)w_{i}}}}}$$

En esto,${\displaystyle k}$es el número de puntos de control${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$y${\displaystyle w_{i}}$son los pesos correspondientes. El denominador es un factor de normalización que se evalúa a uno si todos los pesos son uno. Esto se puede ver a partir de la propiedad de partición de la unidad de las funciones base. Es habitual escribir esto como $${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)\mathbf {P} _{i}}$$ en el que las funciones $${\displaystyle R_{i,n}(u)={N_{i,n}(u)w_{i} \over \sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}$$ se conocen como funciones base racionales .

Una superficie NURBS se obtiene como el producto tensorial de dos curvas NURBS, utilizando así dos parámetros independientes.${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$(con índices)${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$respectivamente): ^{[ 14 ]}$${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}R_{i,j}(u,v)\mathbf {P} _{i,j}}$$ con $${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{l}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$$ como funciones base racionales.

Como sugiere el término, la inserción de nudos inserta un nudo en el vector de nudos. Si el grado de la curva es${\displaystyle n}$, entonces${\displaystyle n-1}$Los puntos de control se reemplazan por${\displaystyle n}$nuevas. La forma de la curva permanece igual.

Un nudo puede insertarse varias veces, hasta alcanzar la multiplicidad máxima permitida. Esto se conoce a veces como refinamiento de nudos y puede lograrse mediante un algoritmo más eficiente que la inserción repetida de nudos.

La eliminación de nudos es el proceso inverso a la inserción de nudos. Su objetivo es eliminar los nudos y los puntos de control asociados para obtener una representación más compacta. Obviamente, esto no siempre es posible manteniendo la forma exacta de la curva. En la práctica, se utiliza una tolerancia en la precisión para determinar si se puede eliminar un nudo. Este proceso se utiliza para limpiar el modelo después de una sesión interactiva en la que se hayan añadido puntos de control manualmente, o después de importar una curva de otra representación, donde un proceso de conversión directo genera puntos de control redundantes.

Una curva NURBS de un grado determinado siempre puede representarse mediante una curva NURBS de grado superior. Esto se utiliza frecuentemente al combinar curvas NURBS independientes, por ejemplo, al crear una superficie NURBS mediante interpolación entre un conjunto de curvas NURBS o al unificar curvas adyacentes. En este proceso, las diferentes curvas deben alcanzar el mismo grado, generalmente el grado máximo del conjunto de curvas. Este proceso se conoce como elevación de grado .

La propiedad más importante en geometría diferencial es la curvatura.${\displaystyle \kappa }$Describe las propiedades locales (bordes, esquinas, etc.) y las relaciones entre la primera y la segunda derivada, y por lo tanto, la forma precisa de la curva. Una vez determinadas las derivadas, es fácil calcular${\displaystyle \kappa ={\frac {|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^{3}}}}$o aproximado como la longitud de arco de la segunda derivada${\displaystyle \kappa =|r''(s_{o})|}$. El cálculo directo de la curvatura${\displaystyle \kappa }$Con estas ecuaciones reside la gran ventaja de las curvas parametrizadas frente a sus representaciones poligonales.