ecuación omega

La ecuación omega es un resultado culminante en la meteorología a escala sinóptica . Es una ecuación diferencial parcial elíptica , llamada así porque su lado izquierdo produce una estimación de la velocidad vertical, usualmente ^{[ 1 ]} expresada por el símbolo${\displaystyle \omega }$, en una coordenada de presión que mide la altura de la atmósfera. Matemáticamente,${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$, dónde${\displaystyle {d \over dt}}$representa una derivada material . Sin embargo, el concepto subyacente es más general y también se puede aplicar ^{[ 2 ]} al sistema de ecuaciones de fluidos de Boussinesq donde la velocidad vertical es${\displaystyle w={\frac {dz}{dt}}}$en la coordenada de altitud z .

El viento vertical es crucial para el clima y las tormentas de todo tipo. Incluso las corrientes ascendentes lentas y amplias pueden crear inestabilidad convectiva o llevar el aire a su nivel de condensación elevada, creando capas de nubes estratiformes . Desafortunadamente, predecir el movimiento vertical directamente es difícil. Para escalas sinópticas en la amplia y poco profunda troposfera terrestre , el componente vertical de la ley de movimiento de Newton se sacrifica en las ecuaciones primitivas de la meteorología , al aceptar la aproximación hidrostática . En cambio, la velocidad vertical debe resolverse a través de su vínculo con las leyes de movimiento horizontales, mediante la ecuación de continuidad de masa . Pero esto presenta más dificultades, porque los vientos horizontales son mayoritariamente geostróficos , en buena aproximación . Los vientos geostróficos simplemente circulan horizontalmente y no convergen ni divergen significativamente en el plano horizontal para proporcionar el vínculo necesario con la continuidad de masa y, por lo tanto, con el movimiento vertical.

La idea clave que encierra la ecuación omega cuasi-geostrófica es que el equilibrio del viento térmico (la combinación de los equilibrios de fuerzas hidrostáticas y geostróficas mencionados anteriormente) se mantiene a lo largo del tiempo, aunque el transporte horizontal de momento y calor por los vientos geostróficos a menudo tiende a destruir ese equilibrio. Lógicamente, entonces, un pequeño componente no geostrófico del viento (uno que es divergente y, por lo tanto, conectado al movimiento vertical) debe estar actuando como una circulación secundaria para mantener el equilibrio de la circulación primaria geostrófica. La ecuación omega cuasi-geostrófica${\displaystyle \omega _{QG}}$es el movimiento vertical hipotético cuyo efecto de enfriamiento o calentamiento adiabático (basado en la estabilidad estática de la atmósfera ) impediría que el desequilibrio del viento térmico aumentara con el tiempo, contrarrestando los efectos de la advección que destruyen (o crean) el equilibrio . Estrictamente hablando, la teoría QG aproxima tanto el momento advectado como la velocidad advectatoria según lo dado por el viento geostrófico .

En resumen, se puede considerar que la velocidad vertical que resulta de resolver la ecuación omega es la que se necesitaría para mantener la geostrofía y la hidrostasia frente a la advección del viento geostrófico. ^{[ 1 ]}

La ecuación dice:

dónde${\displaystyle f}$es el parámetro de Coriolis ,${\displaystyle \sigma }$está relacionado con la estabilidad estática ,${\displaystyle \mathbf {V} _{\text{g}}}$es el vector de velocidad geostrófica ,${\displaystyle \zeta _{\text{g}}}$es la vorticidad relativa geostrófica ,${\displaystyle \phi }$es el geopotencial ,${\displaystyle \nabla _{\text{H}}^{2}}$es el operador laplaciano horizontal y${\displaystyle \nabla _{\text{H}}}$es el operador del horizontal . ^{[ 3 ]} Su signo y sentido en aplicaciones meteorológicas típicas ^{[ 4 ]} es: el movimiento ascendente se produce por la advección de vorticidad positiva por encima del nivel en cuestión (el primer término), más la advección cálida (el segundo término).

La derivación de la${\displaystyle \omega }$La ecuación se basa en la componente vertical de la ecuación de vorticidad y en la ecuación termodinámica. La ecuación de vorticidad vertical para una atmósfera sin fricción se puede escribir utilizando la presión como coordenada vertical:

Aquí${\displaystyle \xi }$es la vorticidad relativa,${\displaystyle V}$el vector de velocidad del viento horizontal, cuyos componentes en el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Las instrucciones son${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$respectivamente,${\displaystyle \eta }$la vorticidad absoluta${\displaystyle \xi +f}$,${\displaystyle f}$es el parámetro de Coriolis ,${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$la derivada material de la presión${\displaystyle p}$,${\displaystyle {\hat {k}}}$es el vector vertical unitario,${\displaystyle \nabla }$es el operador isobárico Del (grad),${\displaystyle \left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)}$es la advección vertical de vorticidad y${\displaystyle {\hat {k}}\cdot \nabla \omega \times {\frac {\partial V}{\partial p}}}$representa el término de "inclinación" o transformación de la vorticidad horizontal en vorticidad vertical. ^{[ 5 ]}

La ecuación termodinámica se puede escribir como:

dónde${\displaystyle k\equiv \left({\frac {\partial Z}{\partial p}}\right){\frac {\partial }{\partial p}}\ln \theta }$, en el cual${\displaystyle Q}$es la tasa de calentamiento (suministro de energía por unidad de tiempo y unidad de masa),${\displaystyle C_{\text{p}}}$es el calor específico del aire seco,${\displaystyle R}$es la constante de los gases para el aire seco,${\displaystyle \theta }$es la temperatura potencial y${\displaystyle \phi }$es geopotencial${\displaystyle (gZ)}$.

El${\displaystyle \omega }$La ecuación ( 1 ) se obtiene a partir de las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) al expresar ambas ecuaciones en términos del geopotencial Z y eliminar las derivadas temporales basándose en la suposición física de que el desequilibrio del viento térmico permanece pequeño a lo largo del tiempo, o d/dt(desequilibrio) = 0. Para el primer paso, la vorticidad relativa debe aproximarse como la vorticidad geostrófica: $${\displaystyle \xi ={\frac {g}{f}}\nabla ^{2}Z}$$

Al expandir el término final de "inclinación" en ( 2 ) a coordenadas cartesianas (aunque pronto lo omitiremos), la ecuación de vorticidad queda:

Derivando ( 4 ) con respecto a${\displaystyle p}$da:

Tomando el laplaciano (${\displaystyle \nabla ^{2}}$) de ( 3 ) da:

Sumando ( 5 ) a g / f por ( 6 ), sustituyendo${\displaystyle gk=\sigma }$y aproximando la advección horizontal con la advección geostrófica (utilizando el formalismo jacobiano ) se obtiene:

La ecuación ( 7 ) es ahora una ecuación diferencial lineal de diagnóstico para${\displaystyle \omega }$, que se puede dividir en dos términos, a saber:${\displaystyle \omega _{1}}$y${\displaystyle \omega _{2}}$, de tal manera que:

y

dónde${\displaystyle \omega _{1}}$es la velocidad vertical atribuible a todas las tendencias advectivas dependientes del flujo en la ecuación ( 8 ), y${\displaystyle \omega _{2}}$es la velocidad vertical debida al calentamiento no adiabático, que incluye el calor latente de condensación, los flujos de calor sensible, el calentamiento radiativo, etc. ^{[ 5 ]} Dado que todas las velocidades de advección en el plano horizontal se han reemplazado con valores geostróficos, y los vientos geostróficos son casi no divergentes, la omisión de los términos de advección vertical es una suposición adicional consistente del conjunto cuasi-geostrófico , dejando solo el término entre corchetes en las ecuaciones ( 7 - 8 ) para entrar en ( 1 ).

Ecuación ( 1 ) para adiabático ${\displaystyle \omega _{QG}}$es utilizado por meteorólogos y pronosticadores meteorológicos operativos para anticipar dónde ocurrirá el movimiento ascendente en los mapas sinópticos. Para movimientos sinusoidales u ondulatorios, donde los operadores laplacianos actúan simplemente como un signo negativo, ^{[ 4 ]} y el significado de la ecuación puede expresarse con palabras que indican el signo del efecto: El movimiento ascendente es impulsado por la advección de vorticidad positiva que aumenta con la altura (o PVA para abreviar), más la advección de aire cálido (o WAA para abreviar). El caso de signo opuesto es lógicamente opuesto, para esta ecuación lineal.

En un lugar donde los efectos desequilibrantes de la advección adiabática actúan para impulsar el movimiento ascendente (donde${\displaystyle \omega _{QG}<0}$En la ecuación 1 ), la inercia del campo de viento geostrófico (es decir, su propensión a avanzar) está creando una demanda de espesor decreciente.${\displaystyle {\frac {-\partial Z}{\partial p}}}$para que el equilibrio del viento térmico continúe manteniéndose. Por ejemplo, cuando se aproxima un ciclón o vaguada de nivel superior por encima del nivel en cuestión, la parte de${\displaystyle \omega _{QG}}$Atribuible al primer término de la ecuación 1 , se requiere un movimiento ascendente para crear la columna de aire cada vez más fría que se necesita hipsométricamente bajo las alturas descendentes. Este razonamiento adiabático debe complementarse con una apreciación de las retroalimentaciones del calentamiento dependiente del flujo, como la liberación de calor latente. Si se libera calor latente a medida que el aire se enfría, entonces se requerirá un movimiento ascendente adicional según la ecuación ( 9 ) para contrarrestar su efecto, con el fin de crear aún el núcleo frío necesario. Otra forma de pensar en dicha retroalimentación es considerar una estabilidad estática efectiva que es menor en aire saturado que en aire no saturado, aunque una complicación de esa visión es que el calentamiento latente mediado por convección no tiene por qué ser verticalmente local a la altitud donde el enfriamiento por${\displaystyle \omega _{QG}}$desencadena su formación. Por esta razón, conservar un término Q separado como en la ecuación (9) es un enfoque útil. ^{[ 6 ]}

• Definición de la Sociedad Meteorológica Americana