Ecuación de vorticidad

La ecuación de vorticidad de la dinámica de fluidos describe la evolución de la vorticidad $ω$ de una partícula de un fluido a medida que se mueve con su flujo ; es decir, la rotación local del fluido (en términos de cálculo vectorial, esto es el rizo de la velocidad del flujo ). La ecuación que la rige es:

${\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}$

donde $⁠ D / Dt ⁠$ es eloperador de derivada del material , $u$ es la velocidad del flujo , $ρ$ es la densidad del fluido local , $p$ es la presión local , $τ$ es el tensor de tensión viscosa y $B$ representa la suma de las fuerzas externas del cuerpo . El primer término fuente en el lado derecho representa el estiramiento del vórtice .

La ecuación es válida en ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales para un fluido newtoniano compresible . En el caso de un flujo incompresible (es decir, un número de Mach bajo ) y fluidos isotrópicos , con fuerzas corporales conservativas , la ecuación se simplifica a la ecuación de transporte de vorticidad :

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

donde $ν$ es la viscosidad cinemática y es el operador de Laplace . Suponiendo además que el flujo es bidimensional, la ecuación se simplifica a: $\nabla ^{2}$

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}

Interpretación física

El término $⁠$ $D ω / Dt ⁠$ en el lado izquierdo está la derivada material del vector de vorticidad $ω$ . Describe la tasa de cambio de la vorticidad de la partícula de fluido en movimiento. Este cambio se puede atribuir a la inestabilidad del flujo ( $⁠$ $\partialω / \partial ⁠$ , el término inestable ) o debido al movimiento de la partícula de fluido a medida que se mueve de un punto a otro ( $(u ∙ \nabla) ω$ , el término de convección ).
El término $(ω ∙ \nabla) u$ en el lado derecho describe el estiramiento o inclinación de la vorticidad debido a los gradientes de velocidad del flujo. Nótese que $(ω ∙ \nabla) u$ es una cantidad vectorial, ya que $ω ∙ \nabla$ es un operador diferencial escalar, mientras que $\nabla u$ es una cantidad tensorial de nueve elementos.
El término $ω (\nabla ∙ u)$ describe el estiramiento de la vorticidad debido a la compresibilidad del flujo. Se deduce de la ecuación de Navier-Stokes para la continuidad , es decir, donde $v$ $=$ $⁠$ ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}$ $1 / ρ ⁠$ es el volumen específico del elemento fluido. Se puede pensar en $\nabla ∙ u$ como una medida de compresibilidad del flujo. A veces, el signo negativo se incluye en el término.
El término $⁠$ $1 / ρ2 ⁠ \nabla ρ \times \nabla p$ es el término baroclínico . Representa los cambios en la vorticidad debido a la intersección de las superficies de densidad y presión.
El término $\nabla \times (⁠ \nabla ∙ τ / ρ)$ , explica la difusión de la vorticidad debido a los efectos viscosos $.$
El término $\nabla \times B$ se refiere a los cambios debidos a fuerzas externas del cuerpo. Se trata de fuerzas que se extienden sobre una región tridimensional del fluido, como la gravedad o las fuerzas electromagnéticas (a diferencia de las fuerzas que actúan solo sobre una superficie (como el arrastre sobre una pared) o una línea (como la tensión superficial alrededor de un menisco ).

Simplificaciones

En el caso de fuerzas corporales conservativas , $\nabla \times B = 0$ .
Para un fluido barotrópico , $\nabla ρ \times \nabla p = 0.$ Esto también es cierto para un fluido de densidad constante (incluido el fluido incompresible) donde $\nabla ρ = 0.$ Nótese que esto no es lo mismo que un flujo incompresible , para el cual no se puede descuidar el término barotrópico.
Para fluidos no viscosos , el tensor de viscosidad $τ$ es cero.

Por lo tanto, para un fluido barotrópico no viscoso con fuerzas corporales conservativas, la ecuación de vorticidad se simplifica a

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u}

Alternativamente, en el caso de un fluido incompresible y no viscoso con fuerzas corporales conservadoras,

{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u}

^[1]

Para una breve revisión de casos adicionales y simplificaciones, consulte también. ^[2] Para la ecuación de vorticidad en la teoría de la turbulencia, en el contexto de los flujos en los océanos y la atmósfera, consulte. ^[3]

Derivación

La ecuación de vorticidad se puede derivar de la ecuación de Navier-Stokes para la conservación del momento angular . En ausencia de pares concentrados y fuerzas lineales, se obtiene:

{\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}+{\frac {\mathbf {B} }{\rho }}

Ahora bien, la vorticidad se define como el rizo del vector de velocidad del flujo; tomando el rizo de la ecuación de momento se obtiene la ecuación deseada. Las siguientes identidades son útiles para la derivación de la ecuación:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}

¿Dónde está cualquier campo escalar? $\phi$

Notación tensorial

La ecuación de vorticidad se puede expresar en notación tensorial utilizando la convención de suma de Einstein y el símbolo de Levi-Civita $e ijk$ :

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

En ciencias específicas

Ciencias atmosféricas

En las ciencias atmosféricas , la ecuación de vorticidad puede enunciarse en términos de la vorticidad absoluta del aire con respecto a un sistema inercial, o de la vorticidad con respecto a la rotación de la Tierra. La versión absoluta es

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)

Aquí, $η$ es el componente polar ( $z$ ) de la vorticidad, $ρ$ es la densidad atmosférica , $u$ , $v$ y w son los componentes de la velocidad del viento , y $\nabla h$ es la del bidimensional (es decir, solo el componente horizontal) .

Véase también

Referencias

^ Fetter, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Mecánica teórica de partículas y continuos (1.ª ed.). Dover Publications. pág. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.
^ Burr, K. P. "Hidrodinámica marina, lección 9" (PDF) . Conferencias del MIT .
^ Salmon, Richard L. "Conferencias sobre dinámica de fluidos geofísicos, Capítulo 4" (PDF) . Oxford University Press; 1.ª edición (26 de febrero de 1998) .

Lectura adicional

Manna, Utpal; Sritharan, S. S. (2007). "Funcionales de Lyapunov y disipatividad local para la ecuación de vorticidad en espacios $L p$ y Besov". Ecuaciones diferenciales e integrales . 20 (5): 581–598. arXiv : 0802.2898 . doi :10.57262/die/1356039440. S2CID 50701138.
Barbu, V.; Sritharan, S. S. (2000). "Cuantización M-acretiva de la ecuación de vorticidad" (PDF) . En Balakrishnan, A. V. (ed.). Semigrupos de operadores: teoría y aplicaciones . Boston: Birkhauser. págs. 296–303.
Krigel, A. M. (1983). "Evolución de vórtices". Dinámica de fluidos geofísica y astrofísica . 24 (3): 213–223. Código Bibliográfico :1983GApFD..24..213K. doi :10.1080/03091928308209066.

[1] Fetter, Alexander L.; Walecka, John D. (2003). Mecánica teórica de partículas y continuos (1.ª ed.). Dover Publications. pág. 351. ISBN 978-0-486-43261-8.

[2] Burr, K. P. "Hidrodinámica marina, lección 9" (PDF) . Conferencias del MIT .

[3] Salmon, Richard L. "Conferencias sobre dinámica de fluidos geofísicos, Capítulo 4" (PDF) . Oxford University Press; 1.ª edición (26 de febrero de 1998) .