Sobre espirales

Sobre espirales ( griego : Περὶ ἑλίκων ) es un tratado de Arquímedes , escrito alrededor del año 225 a. C. ^[1] En particular, Arquímedes empleó la espiral de Arquímedes en este libro para cuadrar el círculo y trisecar un ángulo .

Arquímedes comienza Sobre espirales con un mensaje a Dositeo de Pelusio mencionando la muerte de Conón como una pérdida para las matemáticas. Luego continúa resumiendo los resultados de Sobre la esfera y el cilindro (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) y Sobre conoides y esferoides (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων). Continúa exponiendo sus resultados de On Spirals .

La espiral de Arquímedes fue estudiada por primera vez por Conon y luego por Arquímedes en Sobre las espirales . Arquímedes pudo encontrar varias tangentes a la espiral. ^[1] Él define la espiral como:

Si una línea recta, cuyo extremo permanece fijo, se hace girar a velocidad uniforme en un plano hasta volver a la posición de partida, y si, al mismo tiempo que la línea recta gira, un punto se mueve a velocidad uniforme a lo largo de la línea recta, partiendo del extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano. ^[2]

La construcción de cómo Arquímedes trisecó el ángulo es la siguiente:

Supóngase que se va a trisecar el ángulo ABC. Triseca el segmento BC y halla que BD es un tercio de BC. Dibuja un círculo con centro B y radio BD. Supóngase que el círculo con centro B interseca la espiral en el punto E. El ángulo ABE es un tercio del ángulo ABC. ^[3]

Para cuadrar el círculo, Arquímedes dio la siguiente construcción:

Sea P el punto de la espiral en el que ha completado una vuelta. Sea la tangente en P la que corta la línea perpendicular a OP en T. OT es la longitud de la circunferencia del círculo con radio OP.

Arquímedes ya había demostrado, como primera proposición de la Medición del Círculo , que el área de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitudes iguales al radio del círculo y a la circunferencia del círculo. Por lo tanto, el área del círculo con radio OP es igual al área del triángulo OPT. ^[4]