Base (topología)

En matemáticas , una base (o base ; pl.: bases ) para la topología${\displaystyle \tau }$de un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$es una familia${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de subconjuntos abiertos de${\displaystyle X}$de tal manera que cada conjunto abierto de la topología sea igual a la unión de alguna subfamilia de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$Por ejemplo, el conjunto de todos los intervalos abiertos en la recta numérica real.${\displaystyle \mathbb {R} }$es una base para la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} }$porque todo intervalo abierto es un conjunto abierto, y también todo subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} }$puede escribirse como la unión de alguna familia de intervalos abiertos.

Las bases son omnipresentes en la topología. Los conjuntos que componen una base topológica, denominados conjuntos abiertos básicos , suelen ser más fáciles de describir y utilizar que los conjuntos abiertos arbitrarios. ^{[ 1 ]} Muchas definiciones topológicas importantes, como la continuidad y la convergencia, pueden verificarse utilizando únicamente conjuntos abiertos básicos en lugar de conjuntos abiertos arbitrarios. Algunas topologías poseen una base de conjuntos abiertos con propiedades útiles específicas que pueden facilitar la verificación de dichas definiciones topológicas.

No todas las familias de subconjuntos de un conjunto${\displaystyle X}$formar una base para una topología en${\displaystyle X}$. Bajo ciertas condiciones que se detallan a continuación, una familia de subconjuntos formará una base para una topología (única) en${\displaystyle X}$, obtenidas al tomar todas las uniones posibles de subfamilias. Estas familias de conjuntos se utilizan con mucha frecuencia para definir topologías. Una noción más débil relacionada con las bases es la de subbase para una topología. Las bases para topologías también están estrechamente relacionadas con las bases de vecindad .

Dado un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$, una base ^{[ 2 ]} (o base ^{[ 3 ]} ) para la topología${\displaystyle \tau }$(también llamada base para${\displaystyle X}$si se entiende la topología) es una familia${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$de conjuntos abiertos tales que cada conjunto abierto de la topología puede representarse como la unión de alguna subfamilia de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. ^{[ nota 1 ]} Los elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se denominan conjuntos abiertos básicos . De forma equivalente, una familia${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de subconjuntos de${\displaystyle X}$es una base para la topología${\displaystyle \tau }$si y solo si${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$y para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$y señalar${\displaystyle x\in U}$existe algún conjunto abierto básico${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle x\in B\subsetequ U}$.

Por ejemplo, el conjunto de todos los intervalos abiertos en la recta real constituye una base para la topología estándar en los números reales. De forma más general, en un espacio métrico${\displaystyle M}$la colección de todas las bolas abiertas sobre puntos de${\displaystyle M}$constituye la base de la topología.

En general, un espacio topológico${\displaystyle (X,\tau )}$puede tener muchas bases. La topología completa${\displaystyle \tau }$es siempre una base para sí misma (es decir,${\displaystyle \tau }$es una base para${\displaystyle \tau }$Para la recta real, el conjunto de todos los intervalos abiertos es una base para la topología. También lo es el conjunto de todos los intervalos abiertos con extremos racionales, o el conjunto de todos los intervalos abiertos con extremos irracionales, por ejemplo. Nótese que dos bases diferentes no necesitan tener en común ningún conjunto abierto básico. Una de las propiedades topológicas de un espacio${\displaystyle X}$es la cardinalidad mínima de una base para su topología, llamada peso de${\displaystyle X}$y denotado${\displaystyle w(X)}$. Según los ejemplos anteriores, la línea real tiene un peso contable.

Si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para la topología${\displaystyle \tau }$de un espacio${\displaystyle X}$, satisface las siguientes propiedades: ^{[ 4 ]}

(B1) Los elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cubrir${\displaystyle X}$, es decir, cada punto${\displaystyle x\in X}$pertenece a algún elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

(B2) Por cada${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$y cada punto${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$, existe algo${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$de tal manera que${\displaystyle x\in B_{3}\subseteteq B_{1}\cap B_{2}}$.

La propiedad (B1) corresponde al hecho de que${\displaystyle X}$es un conjunto abierto; la propiedad (B2) corresponde al hecho de que${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$es un conjunto abierto.

Por el contrario, supongamos que${\displaystyle X}$es simplemente un conjunto sin ninguna topología y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una familia de subconjuntos de${\displaystyle X}$que satisfacen las propiedades (B1) y (B2). Entonces${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para la topología que genera. Más precisamente, dejemos${\displaystyle \tau }$sea ​​la familia de todos los subconjuntos de${\displaystyle X}$que son uniones de subfamilias de${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ Entonces${\displaystyle \tau }$es una topología en${\displaystyle X}$y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para${\displaystyle \tau }$. ^{[ 5 ]} (Boceto:${\displaystyle \tau }$define una topología porque es estable bajo uniones arbitrarias por construcción, es estable bajo intersecciones finitas por (B2), contiene${\displaystyle X}$por (B1), y contiene el conjunto vacío como la unión de la subfamilia vacía de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$La familia${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es entonces una base para${\displaystyle \tau }$(por construcción). Tales familias de conjuntos son una forma muy común de definir una topología.

En general, si${\displaystyle X}$es un conjunto y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una colección arbitraria de subconjuntos de${\displaystyle X}$, existe una topología más pequeña (única)${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. (Esta topología es la intersección de todas las topologías en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.) La topología${\displaystyle \tau }$se denomina la topología generada por${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se llama subbase para${\displaystyle \tau }$La topología${\displaystyle \tau }$consta de${\displaystyle X}$junto con todas las uniones arbitrarias de intersecciones finitas de elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$(véase el artículo sobre subbase .) Ahora bien, si${\displaystyle {\mathcal {B}}}$también satisface las propiedades (B1) y (B2), la topología generada por${\displaystyle {\mathcal {B}}}$se puede describir de una manera más sencilla sin tener que tomar intersecciones:${\displaystyle \tau }$es el conjunto de todas las uniones de elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$(y${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para${\displaystyle \tau }$en ese caso).

A menudo hay una manera fácil de comprobar la condición (B2). Si la intersección de dos elementos cualesquiera de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es en sí mismo un elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$o está vacío, entonces la condición (B2) se satisface automáticamente (tomando${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$Por ejemplo, la topología euclidiana en el plano admite como base el conjunto de todos los rectángulos abiertos con lados horizontales y verticales, y la intersección no vacía de dos de estos conjuntos abiertos básicos también es un conjunto abierto básico. Pero otra base para la misma topología es el conjunto de todos los discos abiertos; y aquí es necesaria la condición completa (B2).

Un ejemplo de una colección de conjuntos abiertos que no es una base es el conjunto${\displaystyle S}$de todos los intervalos semiinfinitos de las formas${\displaystyle (-\infty ,a)}$y${\displaystyle (a,\infty )}$con${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. La topología generada por${\displaystyle S}$contiene todos los intervalos abiertos${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$, por eso${\displaystyle S}$genera la topología estándar en la recta real. Pero${\displaystyle S}$es solo una subbase para la topología, no una base: un intervalo abierto finito${\displaystyle (a,b)}$no contiene ningún elemento de${\displaystyle S}$(equivalentemente, la propiedad (B2) no se cumple).

El conjunto${\displaystyle \Gamma }$de todos los intervalos abiertos en${\displaystyle \mathbb {R} }$forma una base para la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Una familia no vacía de subconjuntos de un conjunto${\displaystyle X}$que es cerrado bajo intersecciones finitas de dos o más conjuntos, lo que se llama${\displaystyle \pi }$-sistema activado${\displaystyle X}$, es necesariamente una base para una topología en${\displaystyle X}$si y solo si cubre${\displaystyle X}$Por definición, toda σ-álgebra , todo filtro (y por lo tanto, en particular, todo filtro de vecindad ) y toda topología es un recubrimiento${\displaystyle \pi }$-sistema y, por lo tanto, también una base para una topología. De hecho, si${\displaystyle \Gamma }$es un filtro en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$es una topología en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \Gamma }$es una base para ello. Una base para una topología no tiene por qué ser cerrada bajo intersecciones finitas y muchas no lo son. Sin embargo, muchas topologías se definen mediante bases que también son cerradas bajo intersecciones finitas. Por ejemplo, cada una de las siguientes familias de subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} }$es cerrado bajo intersecciones finitas y por lo tanto cada uno forma una base para alguna topología en${\displaystyle \mathbb {R} }$:

• El conjunto${\displaystyle \Gamma }$de todos los intervalos abiertos acotados en${\displaystyle \mathbb {R} }$genera la topología euclidiana habitual en${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• El conjunto${\displaystyle \Sigma }$de todos los intervalos cerrados acotados en${\displaystyle \mathbb {R} }$genera la topología discreta en${\displaystyle \mathbb {R} }$y por lo tanto la topología euclidiana es un subconjunto de esta topología. Esto a pesar del hecho de que${\displaystyle \Gamma }$no es un subconjunto de${\displaystyle \Sigma }$. En consecuencia, la topología generada por${\displaystyle \Gamma }$, que es la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} }$, es más tosca que la topología generada por${\displaystyle \Sigma }$De hecho, es estrictamente más grueso porque${\displaystyle \Sigma }$Contiene conjuntos compactos no vacíos que nunca son abiertos en la topología euclidiana.
• El conjunto${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {Q} }}$de todos los intervalos en${\displaystyle \Gamma }$de tal manera que ambos extremos del intervalo sean números racionales genera la misma topología que${\displaystyle \Gamma }$. Esto sigue siendo cierto si cada instancia del símbolo${\displaystyle \Gamma }$es reemplazado por${\displaystyle \Sigma }$.
• ${\displaystyle \Sigma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$genera una topología que es estrictamente más gruesa que la topología generada por${\displaystyle \Sigma }$. Ningún elemento de${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$está abierto en la topología euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle \Gamma _{\infty }=\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \}}$genera una topología que es estrictamente más gruesa que la topología euclidiana y la topología generada por${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$Los conjuntos${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$y${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$son disjuntos, pero sin embargo${\displaystyle \Gamma _{\infty }}$es un subconjunto de la topología generada por${\displaystyle \Sigma _{\infty }}$.

• Una topología${\displaystyle \tau _{2}}$es más fino que una topología${\displaystyle \tau _{1}}$si y solo si para cada${\displaystyle x\in X}$y cada conjunto abierto básico${\displaystyle B}$de${\displaystyle \tau _{1}}$que contiene${\displaystyle x}$, existe un conjunto abierto básico de${\displaystyle \tau _{2}}$que contiene${\displaystyle x}$y contenido en${\displaystyle B}$.
• Si${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$son bases para las topologías${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$Luego, la colección de todos los productos del conjunto.${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$con cada${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$es una base para la topología del producto${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$En el caso de un producto infinito, esto sigue siendo válido, salvo que todos los elementos base, excepto un número finito de ellos, deben ser el espacio completo.
• Dejar${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ser una base para${\displaystyle X}$y dejar${\displaystyle Y}$ser un subespacio de${\displaystyle X}$. Entonces, si intersecamos cada elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$con${\displaystyle Y}$, la colección de conjuntos resultante es una base para el subespacio${\displaystyle Y}$.
• Si una función${\displaystyle f:X\to Y}$mapas cada conjunto abierto básico de${\displaystyle X}$en un conjunto abierto de${\displaystyle Y}$, es un mapa abierto . De manera similar, si cada preimagen de un conjunto abierto básico de${\displaystyle Y}$está abierto en${\displaystyle X}$, entonces${\displaystyle f}$es continuo .
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una base para un espacio topológico${\displaystyle X}$si y solo si la subcolección de elementos de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$que contienen${\displaystyle x}$establecer una base local en${\displaystyle x}$, por cualquier punto${\displaystyle x\in X}$.

Los conjuntos cerrados son igualmente capaces de describir la topología de un espacio. Por lo tanto, existe una noción dual de base para los conjuntos cerrados de un espacio topológico. Dado un espacio topológico${\displaystyle X,}$una familia${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de conjuntos cerrados forma una base para los conjuntos cerrados si y solo si para cada conjunto cerrado${\displaystyle A}$y cada punto${\displaystyle x}$no en${\displaystyle A}$existe un elemento de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$que contiene${\displaystyle A}$pero sin contener${\displaystyle x.}$ Una familia${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una base para los conjuntos cerrados de${\displaystyle X}$si y solo si es dual en${\displaystyle X,}$esa es la familia${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$de complementos de miembros de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, es una base para los conjuntos abiertos de${\displaystyle X.}$

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una base para los conjuntos cerrados de${\displaystyle X.}$Entonces

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. Para cada${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$el sindicato${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$es la intersección de alguna subfamilia de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(es decir, para cualquier${\displaystyle x\in X}$no en${\displaystyle C_{1}{\text{ o }}C_{2}}$hay algo${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$que contiene${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$y no contiene${\displaystyle x}$).

Cualquier colección de subconjuntos de un conjunto${\displaystyle X}$Satisfacer estas propiedades constituye una base para los conjuntos cerrados de una topología en${\displaystyle X.}$Los conjuntos cerrados de esta topología son precisamente las intersecciones de los miembros de${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

En algunos casos es más conveniente usar una base para los conjuntos cerrados en lugar de los abiertos. Por ejemplo, un espacio es completamente regular si y solo si los conjuntos cero forman una base para los conjuntos cerrados. Dado cualquier espacio topológico${\displaystyle X,}$Los conjuntos cero forman la base para los conjuntos cerrados de alguna topología en${\displaystyle X.}$Esta topología será la mejor topología completamente regular en${\displaystyle X}$más tosca que la original. En la misma línea, la topología de Zariski en${\displaystyle A^{n}}$se define tomando los conjuntos cero de funciones polinómicas como base para los conjuntos cerrados.

Trabajaremos con las nociones establecidas en ( Engelking 1989 , p. 12, pp. 127-128) .

Arreglar${\displaystyle X}$un espacio topológico. Aquí, una red es una familia.${\displaystyle {\mathcal {N}}}$de conjuntos, para los cuales, para todos los puntos${\displaystyle x}$y barrios abiertos U que contienen${\displaystyle x}$, existe${\displaystyle B}$en${\displaystyle {\mathcal {N}}}$para qué${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$Cabe señalar que, a diferencia de una base, los conjuntos en una red no tienen por qué ser abiertos.

Definimos el peso ,${\displaystyle w(X)}$, como la cardinalidad mínima de una base; definimos el peso de la red ,${\displaystyle nw(X)}$, como la cardinalidad mínima de una red; el carácter de un punto ,${\displaystyle \chi (x,X),}$como la cardinalidad mínima de una base de vecindario para${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$; y el carácter de${\displaystyle X}$ser $${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

El objetivo de calcular el carácter y el peso es poder determinar qué tipo de bases y bases locales pueden existir. Tenemos los siguientes datos:

• ${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$.
• si${\displaystyle X}$es discreto, entonces${\displaystyle w(X)=nw(X)=|X|}$.
• si${\displaystyle X}$es Hausdorff, entonces${\displaystyle nw(X)}$es finito si y solo si${\displaystyle X}$es finito discreto.
• si${\displaystyle B}$es una base de${\displaystyle X}$entonces hay una base${\displaystyle B'\subsetequ B}$de tamaño${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• si${\displaystyle N}$es una base vecinal para${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$entonces hay una base vecinal${\displaystyle N'\subsetequ N}$de tamaño${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• si${\displaystyle f:X\to Y}$es una sobreyección continua, entonces${\displaystyle nw(Y)\leq w(X)}$. (Simplemente considere el${\displaystyle Y}$-red${\displaystyle fB\triangleq \{f(U):U\in B\}}$para cada base${\displaystyle B}$de${\displaystyle X}$.)
• si${\displaystyle (X,\tau )}$Si es Hausdorff, entonces existe una topología Hausdorff más débil.${\displaystyle (X,\tau ')}$de modo que${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$Así que a fortiori , si${\displaystyle X}$también es compacto, entonces tales topologías coinciden y por lo tanto tenemos, combinado con el primer hecho,${\displaystyle nw(X)=w(X)}$.
• si${\displaystyle f:X\to Y}$una aplicación sobreyectiva continua de un espacio metrizable compacto a un espacio de Hausdorff , entonces${\displaystyle Y}$es compacto y medible.

El último hecho se deduce de${\displaystyle f(X)}$siendo compacto Hausdorff, y por lo tanto${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$(dado que los espacios metrizables compactos son necesariamente segundo numerables); así como el hecho de que los espacios de Hausdorff compactos son metrizables precisamente si son segundo numerables. (Una aplicación de esto, por ejemplo, es que todo camino en un espacio de Hausdorff es metrizable compacto).

• Teorema de Esenin-Volpin
• axioma de pegado
• Sistema vecinal