teoría de nudos abiertos

La teoría de nudos abiertos intenta describir los enredos en curvas o filamentos abiertos de forma matemáticamente consistente y desarrollar herramientas y algoritmos que permitan categorizar la topología de una curva abierta. En el campo matemático de la teoría de nudos , estos solo se consideran en bucles cerrados. Lo que coloquialmente se considera un nudo, por ejemplo, un trozo de cuerda atado con un nudo simple , no se consideraría un nudo matemático a menos que los dos extremos de la cuerda estuvieran conectados. La investigación en la teoría de nudos abiertos surge del deseo de comprender la formación y las propiedades de los nudos en proteínas y moléculas de ADN , que a menudo no forman bucles cerrados, y de establecer conexiones más estrechas entre la teoría de nudos y las propiedades de los nudos físicos.

Trazar una línea recta desde un extremo de una curva hasta el otro la cierra efectivamente en un bucle. Tras este cierre virtual, el nudo puede clasificarse calculando un invariante como el polinomio de Alexander . Si los dos extremos de un filamento de curva anudado están cerca entre sí o bien separados de la parte altamente anudada, este cierre virtual directo no introducirá nuevos cruces en el diagrama. Sin embargo, existen configuraciones en las que el cierre directo puede convertir virtualmente un nudo en un nudo corredizo y borrarlo efectivamente, o introducir una complejidad adicional que no está presente en la curva inicial. En tales casos, puede ser beneficioso conectar los extremos de la curva mediante líneas virtuales a una superficie externa que la encierre, como una esfera de gran radio, y luego conectar los extremos de dos líneas a lo largo de la superficie de manera que no interfieran con la curva misma. Un algoritmo conocido como cierre de mínima interferencia determinará si los dos extremos de un nudo poligonal abierto están más cerca entre sí o de la envoltura convexa del nudo, y los conectará por el camino más corto. ^{[ 1 ]}

La elección del esquema de cierre virtual influirá en el tipo de nudo con el que se determina que una curva es consistente. Un método más general, conocido como cierre estocástico, elige muchos puntos distribuidos uniformemente en la superficie de una esfera grande que encierra la curva, conecta los extremos a cada uno de esos puntos y calcula el tipo de nudo en cada cierre. Esto produce una distribución de diferentes tipos de nudos en distintas regiones alrededor de la esfera, que puede visualizarse como un mapa. ^{[ 2 ]} Este método se utiliza principalmente para analizar proteínas anudadas.

En lugar de intentar mapear una curva abierta sobre un nudo cerrado específico, se han desarrollado conceptos para clasificar los enredos abiertos. Uno de estos conceptos es el nudoide, que es una generalización de un diagrama de nudo que incluye los dos extremos de la curva, descrito por primera vez por Turaev en 2010. ^{[ 3 ]} Cuando se aplica un movimiento de Reidemeister a un diagrama de nudo, la topología del nudo no puede cambiar. Si un movimiento de Reidemeister en un diagrama de nudoide mueve parte de la curva sobre uno de los extremos, cambiará el tipo de nudoide y se considera "prohibido". En este sentido, un nudoide puede imaginarse como un trozo de cuerda anudada en el suelo con sus extremos sujetos a dos clavijas verticales; el tipo de nudoide no cambiará a menos que la cuerda se levante y se desenrolle alrededor de las clavijas. Al igual que los nudos, los nudoides pueden clasificarse según su número de cruces, y se han derivado invariantes, como polinomios, para distinguirlos. Una curva abierta en tres dimensiones será consistente con diferentes nudoides dependiendo de la superficie sobre la que se proyecte. De forma similar al cierre estocástico, la imagen completa de la complejidad topológica de una curva debe determinarse muestreando los nudoides de muchas proyecciones. Es posible calcular el número mínimo de movimientos de nudoide "prohibidos" (pasar una curva en el diagrama por encima de uno de los extremos) para alcanzar un nudoide trivial sin cruces, ^{[ 4 ]} lo que proporciona una medida de complejidad de una curva abierta similar al número de desanudamiento .

Los nudos virtuales son otra generalización de los diagramas de nudos. Mientras que los nudoides se ocupan de cierres ambiguos, los nudos virtuales se ocupan de cruces ambiguos. Cuando una parte de un diagrama de nudo pasa por encima o por debajo de otra, dos partes de un diagrama de nudo virtual pueden encontrarse en un punto, llamado cruce virtual. Un diagrama de nudo abierto puede tratarse como un nudo virtual uniendo sus extremos con una línea y creando un cruce virtual en cada punto donde el extremo interseca el diagrama.

Las definiciones de invariantes de nudos que categorizan la topología de curvas cerradas pueden generalizarse para describir curvas abiertas. Un ejemplo es la torsión espacial, que es una extensión del número de enlace de Gauss y describe cuántas veces una curva se cruza consigo misma cuando se observa desde diferentes direcciones. ^{[ 5 ]} Las curvas más enredadas y retorcidas suelen tener una torsión espacial mayor; sin embargo, una curva no enredada, como una hélice, también tendrá una torsión espacial alta. De manera similar, la integral de enlace de Gauss puede calcularse a partir de dos curvas abiertas, como dos hebras en una trenza, para determinar cuántas veces una curva se enrolla alrededor de la otra. Otros invariantes de nudos también se han extendido a curvas abiertas, incluyendo el segundo invariante de Vassiliev ^{[ 6 ]} y el polinomio de Jones . ^{[ 7 ]}

Muchas de las técnicas utilizadas para categorizar curvas entrelazadas abiertas se han aplicado al estudio de proteínas anudadas . Esto incluye una categorización de estructuras de proteínas anudadas basada en el cierre estocástico, ^{[ 2 ]} utilizando knotoides, ^{[ 4 ]} nudos virtuales, ^{[ 8 ]} el enrollamiento espacial, ^{[ 9 ]} y versiones abiertas del segundo invariante de Vassiliev ^{[ 10 ]} y el polinomio de Jones. ^{[ 11 ]} Más allá de la simple categorización, un objetivo de esta investigación es comprender la formación y la estabilidad de estas proteínas anudadas. Un análisis similar también se ha aplicado al ADN , que no tiene un estado nativo estable como las proteínas. La herramienta más común utilizada para determinar la topología de moléculas de ADN simuladas es la molécula de Alexander combinada con el cierre de cadena, que se ha utilizado para detectar nudos en ADN simulado en cápsides virales , ^{[ 12 ]} cromosomas humanos , ^{[ 13 ]} así como modelos más simples de polímeros , ^{[ 14 ]} de los cuales el ADN es un ejemplo. Más allá del estudio de las biomoléculas, se han aplicado herramientas de la teoría de nudos abiertos a cuerdas físicas, por ejemplo, para determinar la forma más eficaz de atar dos trozos de cuerda comparando la torsión dentro de cada tipo de nudo con la fuerza necesaria para separar dos cuerdas atadas. ^{[ 15 ]}