Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)

En análisis funcional , el teorema de la aplicación abierta , también conocido como teorema de Banach-Schauder o teorema de Banach ^{[ 1 ]} (nombrado en honor a Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal acotado o continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo , entonces es una aplicación abierta .

Un caso especial también se denomina teorema de la inversa acotada (también llamado teorema de la aplicación inversa o teorema de isomorfismo de Banach), que establece que un operador lineal acotado biyectivo${\displaystyle T}$de un espacio de Banach a otro tiene inversa acotada${\displaystyle T^{-1}}$.

La demostración aquí utiliza el teorema de la categoría de Baire y la completitud de ambos.${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$es esencial para el teorema. El enunciado del teorema deja de ser cierto si se supone que cualquiera de los espacios es solo un espacio vectorial normado ; véase §  Contraejemplo .

La demostración se basa en los siguientes lemas, que también son de cierto interés independiente. Una aplicación lineal${\displaystyle f:E\to F}$Se dice que un espacio vectorial topológico es casi abierto si, para cada vecindario,${\displaystyle U}$de cero, el cierre${\displaystyle {\overline {f(U)}}}$contiene un entorno de cero. El siguiente lema puede considerarse una versión débil del teorema de la aplicación abierta.

Prueba: Reducción${\displaystyle U}$podemos asumir${\displaystyle U}$es una bola abierta centrada en cero. Tenemos${\displaystyle f(E)=f\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }nU\right)=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f(nU)}$Por lo tanto, algunos${\displaystyle {\overline {f(nU)}}}$contiene un punto interior${\displaystyle y}$; es decir, para algún radio${\displaystyle r>0}$,

${\displaystyle B(y,r)\subset {\overline {f(nU)}}.}$

Entonces, para cualquier${\displaystyle v}$en${\displaystyle F}$con${\displaystyle \|v\|<r}$, por linealidad, convexidad y${\displaystyle (-1)U\subconjunto U}$,

${\displaystyle v=v-y+y\in {\overline {f(-nU)}}+{\overline {f(nU)}}\subset {\overline {f(2nU)}}}$,

lo cual demuestra el lema dividiendo por${\displaystyle 2n}$.${\displaystyle \square }$(La misma prueba funciona si${\displaystyle E,F}$son espacios pre-Fréchet.)

La integridad del dominio permite entonces actualizarlo casi de abierto a abierto.

Prueba: Dejemos${\displaystyle y}$estar en${\displaystyle B(0,\delta )}$y${\displaystyle c_{n}>0}$alguna secuencia. Tenemos:${\displaystyle {\overline {B(0,\delta )}}\subset {\overline {f(B(0,1))}}}$. Por lo tanto, para cada${\displaystyle \epsilon >0}$y${\displaystyle z}$en${\displaystyle F}$, podemos encontrar un${\displaystyle x}$con${\displaystyle \|x\|<\delta ^{-1}\|z\|}$y${\displaystyle z}$en${\displaystyle B(f(x),\epsilon )}$. Por lo tanto, tomando${\displaystyle z=y}$, encontramos un${\displaystyle x_{1}}$de tal manera que

${\displaystyle \|yf(x_{1})\|<c_{1},\,\|x_{1}\|<\delta ^{-1}\|y\|.}$

Aplicando el mismo argumento con${\displaystyle z=yf(x_{1})}$, luego encontramos un${\displaystyle x_{2}}$de tal manera que

${\displaystyle \|yf(x_{1})-f(x_{2})\|<c_{2},\,\|x_{2}\|<\delta ^{-1}c_{1}}$

donde observamos${\displaystyle \|x_{2}\|<\delta ^{-1}\|z\|<\delta ^{-1}c_{1}}$. Y así sucesivamente. Por lo tanto, si${\displaystyle c:=\sum c_{n}<\infty }$, encontramos una secuencia${\displaystyle x_{n}}$de tal manera que${\displaystyle x=\sum _{1}^{\infty }x_{n}}$converge y${\displaystyle f(x)=y}$. También,

${\displaystyle \|x\|\leq \sum _{1}^{\infty }\|x_{n}\|\leq \delta ^{-1}\|y\|+\delta ^{-1}c.}$

Desde${\displaystyle \delta ^{-1}\|y\|<1}$, haciendo${\displaystyle c}$lo suficientemente pequeño, podemos lograrlo${\displaystyle \|x\|<1}$.${\displaystyle \square }$(De nuevo, la misma prueba es válida si${\displaystyle E,F}$son espacios pre-Fréchet.)

Demostración del teorema: Según el teorema de categorías de Baire, se cumple el primer lema. Por lo tanto, la conclusión del teorema se deduce del segundo lema.${\displaystyle \square }$

En general, una biyección continua entre espacios topológicos no es necesariamente un homeomorfismo. El teorema de la aplicación abierta, cuando se aplica, implica que la biyección es suficiente:

Aunque el teorema de la inversa acotada anterior es un caso especial del teorema de la aplicación abierta, este último se deduce a su vez del anterior. En efecto, un operador lineal continuo sobreyectivo${\displaystyle T:E\to F}$factores como

${\displaystyle T:E{\overset {p}{\to }}E/\operatorname {ker} T{\overset {T_{0}}{\to }}F.}$

Aquí,${\displaystyle T_{0}}$es continua y biyectiva y por lo tanto es un homeomorfismo por el teorema de la inversa acotada; en particular, es una aplicación abierta. Como una aplicación cociente para grupos topológicos es abierta,${\displaystyle T}$Está abierto entonces.

Dado que el teorema de la aplicación abierta y el teorema de la inversa acotada son esencialmente el mismo resultado, a menudo se les denomina simplemente teorema de Banach .

El teorema de la aplicación abierta puede no ser válido para espacios normados que no son completos. Una forma rápida de verlo es observar que el teorema del grafo cerrado , una consecuencia del teorema de la aplicación abierta, falla sin completitud. Pero aquí hay un contraejemplo más concreto. Consideremos el espacio${\displaystyle X}$de secuencias${\displaystyle x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} }$con solo un número finito de términos no nulos equipados con la norma suprema . El mapa${\displaystyle T:X\rightarrow X}$definido por

$${\displaystyle Tx=\left(x_{1},{\frac {x_{2}}{2}},{\frac {x_{3}}{3}},\dots \right)}$$

es acotada, lineal e invertible, pero${\displaystyle T^{-1}}$es no acotada. Esto no contradice el teorema de la inversa acotada ya que${\displaystyle X}$no es completo y, por lo tanto, no es un espacio de Banach. Para ver que no es completo, considere la secuencia de secuencias${\displaystyle x^{(n)}\in X}$dado por

$${\displaystyle x^{(n)}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,0,\dots \right)}$$

converge como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$a la secuencia${\displaystyle x^{(\infty )}}$dado por

$${\displaystyle x^{(\infty )}=\left(1,{\frac {1}{2}},\dots ,{\frac {1}{n}},\dots \right),}$$

que tiene todos sus términos distintos de cero, y por lo tanto no se encuentra en${\displaystyle X}$.

La finalización de${\displaystyle X}$es el espacio${\displaystyle c_{0}}$de todas las secuencias que convergen a cero, que es un subespacio (cerrado) del espacio ℓ ^p${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {N} )}$, que es el espacio de todas las secuencias acotadas. Sin embargo, en este caso, el mapa${\displaystyle T}$no es sobreyectiva y, por lo tanto, no es una biyección. Para ver esto, basta con observar que la secuencia

$${\displaystyle x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots \right),}$$

es un elemento de${\displaystyle c_{0}}$, pero no está dentro del rango de${\displaystyle T:c_{0}\to c_{0}}$El mismo razonamiento se aplica a mostrar${\displaystyle T}$tampoco está en${\displaystyle \ell ^{\infty }}$, Por ejemplo${\displaystyle x=\left(1,1,1,\dots \right)}$no está dentro del rango de${\displaystyle T}$.

Aunque el dominio sea completo (o el codominio lo sea), el Teorema de la Aplicación Abierta aún requiere que ambos espacios sean completos. Para ver esto, consideremos la aplicación identidad del espacio${\displaystyle Y}$de secuencias absolutamente sumables (es decir, aquellas con norma 1 finita) con la norma 1 al espacio${\displaystyle Y}$con la norma del supremo. Dado que esta aplicación es decreciente en norma, es acotada, pero no abierta. Para ver que el dominio también debe ser completo, sea${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$Sea un espacio de Banach con una función lineal discontinua.${\displaystyle f}$sobre ello. Entonces${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$es un espacio normalizado incompleto, y el mapa identidad de${\displaystyle (Z,\|\cdot \|+|f(\cdot )|)}$a${\displaystyle (Z,\|\cdot \|)}$es una aplicación de norma decreciente (por lo tanto, acotada) que no es abierta.

El teorema de la aplicación abierta tiene varias consecuencias importantes:

• Si${\displaystyle T:X\to Y}$es un operador lineal continuo biyectivo entre los espacios de Banach${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$luego el operador inverso${\displaystyle T^{-1}:Y\to X}$es continua también (esto se llama el teorema de la inversa acotada ). ^{[ 10 ]}
• Si${\displaystyle T:X\to Y}$es un operador lineal entre los espacios de Banach${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y,}$y si para cada secuencia${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$en${\displaystyle X}$con${\displaystyle x_{n}\to 0}$y${\displaystyle Tx_{n}\to y}$resulta que${\displaystyle y=0,}$entonces${\displaystyle T}$es continua (el teorema del grafo cerrado ). ^{[ 11 ]}
• Dado un operador acotado${\displaystyle T:E\to F}$entre espacios normalizados, si la imagen de${\displaystyle T}$no es escaso y si${\displaystyle E}$está completo, entonces${\displaystyle T}$es abierto y sobreyectivo y${\displaystyle F}$está completo (para verlo, utilice los dos lemas en la demostración del teorema). ^{[ 12 ]}
• Una sucesión exacta de espacios de Banach (o, más generalmente, espacios de Fréchet) es topológicamente exacta .
• El teorema del rango cerrado , que dice que un operador (bajo alguna suposición) tiene una imagen cerrada si y solo si su transpuesta tiene una imagen cerrada (ver teorema del rango cerrado#Esquema de la demostración ).

El teorema de la aplicación abierta no implica que un operador lineal continuo sobreyectivo admita una sección lineal continua. Lo que tenemos es: ^{[ 9 ]}

• Un operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach admite una sección lineal continua si y solo si el núcleo está complementado topológicamente.

En particular, lo anterior se aplica a un operador entre espacios de Hilbert o a un operador con núcleo de dimensión finita (según el teorema de Hahn-Banach ). Si se omite el requisito de que una sección sea lineal, un operador lineal continuo sobreyectivo entre espacios de Banach admite una sección continua; este es el teorema de Bartle-Graves . ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Convexidad local de${\displaystyle X}$o${\displaystyle Y}$ no es esencial para la demostración, pero la completitud sí lo es: el teorema sigue siendo cierto en el caso en que${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$son F-espacios . Además, el teorema se puede combinar con el teorema de la categoría de Baire de la siguiente manera:

(La demostración es esencialmente la misma que en los casos de Banach o Fréchet; modificamos ligeramente la demostración para evitar el uso de la convexidad).

Además, en este último caso si${\displaystyle N}$es el núcleo de${\displaystyle A,}$entonces hay una factorización canónica de${\displaystyle A}$en la forma $${\displaystyle X\to X/N{\overset {\alpha }{\to }}Y}$$ dónde${\displaystyle X/N}$es el espacio cociente (también un espacio F) de${\displaystyle X}$por el subespacio cerrado${\displaystyle N.}$ El mapeo de cocientes${\displaystyle X\to X/N}$está abierto y el mapeo${\displaystyle \alpha }$es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos . ^{[ 16 ]}

Un caso especial importante de este teorema también puede enunciarse como:

Por otro lado, se puede dar una formulación más general, que implica la primera:

Mapas lineales casi abiertos

Un mapa lineal${\displaystyle A:X\to Y}$entre dos espacios vectoriales topológicos (TVS) se denominamapa casi abierto (o a veces, un mapa casi abierto ) si para cada barrio${\displaystyle U}$del origen en el dominio, el cierre de su imagen${\displaystyle \operatorname {cl} A(U)}$es un barrio del origen en${\displaystyle Y.}$^{[ 18 ]} Muchos autores utilizan una definición diferente de "mapa casi abierto" que requiere que el cierre de${\displaystyle A(U)}$ser un barrio del origen en${\displaystyle A(X)}$en lugar de en${\displaystyle Y,}$^{[ 18 ]} pero para las aplicaciones sobreyectivas estas definiciones son equivalentes. Una aplicación lineal biyectiva es casi abierta si y solo si su inversa es continua. ^{[ 18 ]} Toda aplicación lineal sobreyectiva deun TVS localmente convexoa unTVS barrilizadoescasi abierta. ^{[ 19 ]} Lo mismo es cierto para toda aplicación lineal sobreyectiva de un TVS a unde Baire. ^{[ 19 ]}

Los espacios reticulares son una clase de espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen el teorema de la aplicación abierta y el teorema del grafo cerrado .

• Grafo cerrado : propiedad de las funciones en topología. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Teorema del grafo cerrado : Teorema que relaciona la continuidad con los grafos. 
• Teorema del grafo cerrado (análisis funcional) : Teoremas que relacionan la continuidad con el cierre de grafos. 
• Teorema de mapeo abierto (análisis complejo) – Teorema sobre funciones holomorfas 
• Sobreyección de espacios de Fréchet – Caracterización de la sobreyección 
• Teorema de Ursescu : Generalización del teorema de la gráfica cerrada, la aplicación abierta y la acotación uniforme. 
• Espacio en red : espacio donde se cumplen los teoremas de mapeo abierto y de grafos cerrados. 

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Este artículo incorpora material de Proof of open mapping theorem en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• ¿Cuándo un complejo de espacios de Banach es exacto como grupos abelianos condensados? MathOverflow . 6 de febrero de 2021.