Solitón (óptica)

Un campo eléctrico se propaga en un medio que muestra el efecto Kerr óptico , por lo que el índice de refracción viene dado por:

${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

Recordemos que la relación entre irradiancia y campo eléctrico es (en la representación compleja)

${\displaystyle I={\frac {|E|^{2}}{2\eta }}}$

dónde${\displaystyle \eta =\eta _{0}/n}$y${\displaystyle \eta _{0}}$es la impedancia del espacio libre , dada por

${\displaystyle \eta _{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}\approx 377{\text{ }}\Omega .}$

El campo se está propagando en el${\displaystyle z}$dirección con una constante de fase${\displaystyle k_{0}n}$Por ahora, ignoraremos cualquier dependencia del eje y , suponiendo que es infinito en esa dirección. Entonces, el campo se puede expresar como:

${\displaystyle E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}}$

dónde${\displaystyle A_{m}}$es la amplitud máxima del campo y${\displaystyle a(x,z)}$es una función normalizada adimensional (de modo que su valor máximo es 1) que representa la forma del campo eléctrico en el eje x . En general, depende de z porque los campos cambian de forma al propagarse. Ahora tenemos que resolver la ecuación de Helmholtz :

${\displaystyle \nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0}$

donde se señaló claramente que el índice de refracción (y por lo tanto la constante de fase) depende de la intensidad. Si reemplazamos la expresión del campo eléctrico en la ecuación, suponiendo que la envolvente${\displaystyle a(x,z)}$cambia lentamente mientras se propaga, es decir

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|}$

La ecuación se convierte en:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}\left[n^{2}(I)-n^{2}\right]a=0.}$

Introduzcamos una aproximación que sea válida porque los efectos no lineales son siempre mucho menores que los lineales:

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I}$

Ahora expresamos la intensidad en términos del campo eléctrico:

${\displaystyle \left[n^{2}(I)-n^{2}\right]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}}$

La ecuación se convierte en:

${\displaystyle {\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.}$

Ahora asumiremos${\displaystyle n_{2}>0}$de modo que el efecto no lineal provoque autoenfoque. Para que esto sea evidente, escribiremos en la ecuación${\displaystyle n_{2}=|n_{2}|}$ Ahora definamos algunos parámetros y sustituyámoslos en la ecuación:

• ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{X_{0}}}}$, por lo que podemos expresar la dependencia del eje x con un parámetro adimensional;${\displaystyle X_{0}}$es una longitud, cuyo significado físico quedará más claro más adelante.
• ${\displaystyle L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n}$Una vez que el campo eléctrico se ha propagado a través de z durante esta longitud, los efectos lineales de la difracción ya no pueden despreciarse.
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L_{d}}}}$, para estudiar la dependencia de z con una variable adimensional.
• ${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}}$Una vez que el campo eléctrico se ha propagado a lo largo de z durante esta longitud, los efectos no lineales ya no pueden despreciarse. Este parámetro depende de la intensidad del campo eléctrico, lo cual es típico de los parámetros no lineales.
• ${\displaystyle N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

La ecuación queda así:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

Esta es una ecuación común conocida como ecuación de Schrödinger no lineal . A partir de esta forma, podemos comprender el significado físico del parámetro N :

• si${\displaystyle N\ll 1}$, entonces podemos despreciar la parte no lineal de la ecuación. Esto significa${\displaystyle L_{d}\ll L_{n\ell }}$, entonces el campo se verá afectado por el efecto lineal (difracción) mucho antes que por el efecto no lineal, simplemente se difractará sin ningún comportamiento no lineal.
• si${\displaystyle N\gg 1}$, entonces el efecto no lineal será más evidente que la difracción y, debido a la automodulación de fase, el campo tenderá a enfocarse.
• si${\displaystyle N\approx 1}$, entonces los dos efectos se equilibran entre sí y tenemos que resolver la ecuación.

Para${\displaystyle N=1}$La solución de la ecuación es simple y es el solitón fundamental:

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}}$

donde sech es la secante hiperbólica . Todavía depende de z , pero solo en fase, por lo que la forma del campo no cambiará durante la propagación.

Para${\displaystyle N=2}$Todavía es posible expresar la solución en forma cerrada, pero tiene una forma más complicada: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.}$

Cambia de forma durante la propagación, pero es una función periódica de z con período${\displaystyle \zeta =\pi /2}$.

La forma del solitón mientras se propaga con N  =  1, no cambia su forma.

La forma del solitón mientras se propaga con N  =  2 cambia periódicamente.

Para las soluciones de solitones, N debe ser un número entero y se dice que es el orden del solitón.${\displaystyle N=3}$También existe una solución exacta en forma cerrada; ^{[ 4 ]} tiene una forma aún más complicada, pero se presenta la misma periodicidad. De hecho, todos los solitones con${\displaystyle N\geq 2}$tener el período${\displaystyle \zeta =\pi /2}$. ^{[ 5 ]} Su forma se puede expresar fácilmente solo inmediatamente después de su generación:

${\displaystyle a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )}$

A la derecha se muestra la gráfica del solitón de segundo orden: al principio tiene forma de sech, luego aumenta la amplitud máxima y finalmente vuelve a la forma de sech. Dado que se requiere una alta intensidad para generar solitones, si el campo aumenta aún más su intensidad, el medio podría dañarse.

La condición a resolver si queremos generar un solitón fundamental se obtiene expresando N en términos de todos los parámetros conocidos y luego poniendo${\displaystyle N=1}$:

${\displaystyle 1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}}$

que, en términos de valor máximo de irradiancia, se convierte en:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.}$

En la mayoría de los casos, las dos variables que se pueden cambiar son la intensidad máxima.${\displaystyle I_{\max }}$y el ancho del pulso${\displaystyle X_{0}}$.

Curiosamente, los solitones de orden superior pueden adoptar formas complejas antes de regresar exactamente a su forma inicial al final del período del solitón. En la imagen de varios solitones, se muestran el espectro (izquierda) y el dominio temporal (derecha) a diferentes distancias de propagación (eje vertical) en un medio no lineal idealizado. Esto muestra cómo podría comportarse un pulso láser al viajar en un medio con las propiedades necesarias para soportar solitones fundamentales. En la práctica, para alcanzar la alta intensidad máxima necesaria para lograr efectos no lineales, los pulsos láser pueden acoplarse a fibras ópticas, como las fibras de cristal fotónico con modos de propagación altamente confinados. Estas fibras presentan una dispersión más compleja y otras características que se desvían de los parámetros analíticos del solitón.

El primer experimento sobre solitones ópticos espaciales fue reportado en 1974 por Ashkin y Bjorkholm ^{[ 6 ]} en una celda llena de vapor de sodio. El campo fue luego revisado en experimentos en la Universidad de Limoges ^{[ 7 ]} en disulfuro de carbono líquido y expandido a principios de los 90 con la primera observación de solitones en cristales fotorrefractivos, ^{[ 8 ] [ 9 ]} vidrio, semiconductores ^{[ 10 ]} y polímeros. Durante las últimas décadas se han reportado numerosos hallazgos en varios materiales, para solitones de diferente dimensionalidad, forma, espirales, colisiones, fusión, división, en medios homogéneos, sistemas periódicos y guías de onda. ^{[ 11 ]} Los solitones espaciales también se denominan haces ópticos autoatrapados y su formación normalmente también está acompañada por una guía de onda autoescrita. En cristales líquidos nemáticos , ^{[ 12 ]} los solitones espaciales también se denominan nematicones .

Las excitaciones localizadas en los láseres pueden aparecer debido a la sincronización de los modos transversales.

En confocal${\displaystyle 2F}$cavidad láser los modos transversales degenerados con modo longitudinal único en longitud de onda${\displaystyle \lambda }$disco de ganancia no lineal mezclado${\displaystyle G}$(ubicado en${\displaystyle z=0}$) y disco absorbente saturable${\displaystyle \alpha }$(ubicado en${\displaystyle z=2F}$) de diámetro${\displaystyle D}$son capaces de producir solitones espaciales de naturaleza hiperbólica.${\displaystyle \operatorname {sech} }$formulario: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}E(x,z=0)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)\\[3pt]E(x,z=2F)&\sim \operatorname {sech} \left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)\end{aligned}}}$

en planos conjugados de Fourier${\displaystyle z=0}$y${\displaystyle z=2F}$. ^{[ 14 ]}

En 1973, Akira Hasegawa y Fred Tappert de AT&T Bell Labs fueron los primeros en sugerir que los solitones podrían existir en fibras ópticas , debido a un equilibrio entre la automodulación de fase y la dispersión anómala . ^{[ 15 ] [ 16 ]} También en 1973, Robin Bullough realizó el primer informe matemático sobre la existencia de solitones ópticos. También propuso la idea de un sistema de transmisión basado en solitones para aumentar el rendimiento de las telecomunicaciones ópticas .

Los solitones en un sistema de fibra óptica se describen mediante las ecuaciones de Manakov .

En 1987, P. Emplit, JP Hamaide, F. Reynaud, C. Froehly y A. Barthelemy, de las Universidades de Bruselas y Limoges, realizaron la primera observación experimental de la propagación de un solitón oscuro en una fibra óptica.

En 1988, Linn Mollenauer y su equipo transmitieron pulsos de solitones a lo largo de más de 4.000 kilómetros utilizando un fenómeno llamado efecto Raman , que recibe su nombre del científico indio Sir CV Raman, quien lo describió por primera vez en la década de 1920, para proporcionar ganancia óptica en la fibra.

En 1991, un equipo de investigación de Bell Labs transmitió solitones sin errores a 2,5 gigabits por segundo a lo largo de más de 14.000 kilómetros, utilizando amplificadores de fibra óptica de erbio (segmentos de fibra óptica empalmados que contienen el elemento de tierras raras erbio). Los láseres de bombeo, acoplados a los amplificadores ópticos, activan el erbio, que a su vez energiza los pulsos de luz .

En 1998, Thierry Georges y su equipo en el Centro de I+D de France Télécom , combinando solitones ópticos de diferentes longitudes de onda ( multiplexación por división de longitud de onda ), demostraron una transmisión de datos de 1 terabit por segundo (1.000.000.000.000 unidades de información por segundo) .

En 2020, Optics Communications informó sobre un equipo japonés del MEXT que desarrolló un circuito óptico con conmutación de ancho de banda de hasta 90 Tbit/s (terabits por segundo), Optics Communications, Volumen 466, 1 de julio de 2020, 125677.

Un campo eléctrico se propaga en un medio que muestra el efecto Kerr óptico a través de una estructura guía (como una fibra óptica ) que limita la potencia en el plano xy . Si el campo se propaga hacia z con una constante de fase${\displaystyle \beta _{0}}$, entonces se puede expresar de la siguiente forma:

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}}$

dónde${\displaystyle A_{m}}$es la amplitud máxima del campo,${\displaystyle a(t,z)}$es la envolvente que da forma al impulso en el dominio del tiempo; en general depende de z porque el impulso puede cambiar su forma mientras se propaga;${\displaystyle f(x,y)}$representa la forma del campo en el plano xy , y no cambia durante la propagación porque hemos asumido que el campo es guiado. Tanto a como f son funciones adimensionales normalizadas cuyo valor máximo es 1, de modo que${\displaystyle A_{m}}$realmente representa la amplitud del campo.

Dado que en el medio existe una dispersión que no podemos despreciar, la relación entre el campo eléctrico y su polarización viene dada por una integral de convolución . Sin embargo, utilizando una representación en el dominio de Fourier , podemos reemplazar la convolución por un producto simple, empleando así relaciones estándar válidas en medios más sencillos. Transformamos el campo eléctrico mediante la transformada de Fourier utilizando la siguiente definición:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt}$

Según esta definición, una derivada en el dominio del tiempo corresponde a un producto en el dominio de Fourier:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}}$

La expresión completa del campo en el dominio de la frecuencia es:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}}$

Ahora podemos resolver la ecuación de Helmholtz en el dominio de la frecuencia:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0}$

Decidimos expresar la constante de fase con la siguiente notación:

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

donde asumimos que${\displaystyle \Delta \beta }$(la suma del componente dispersivo lineal y la parte no lineal) es una pequeña perturbación, es decir${\displaystyle |\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|}$. La constante de fase puede tener cualquier comportamiento complicado, pero podemos representarla con una serie de Taylor centrada en${\displaystyle \omega _{0}}$:

${\displaystyle \beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }}$

donde, como se sabe:

${\displaystyle \beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}}$

Sustituimos la expresión del campo eléctrico en la ecuación y realizamos algunos cálculos. Si asumimos la aproximación de envolvente de variación lenta :

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|}$

obtenemos:

${\displaystyle 2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0}$

Estamos ignorando el comportamiento en el plano xy , porque ya es conocido y dado por${\displaystyle f(x,y)}$Hacemos una pequeña aproximación, como hicimos para el solitón espacial:

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

Sustituyendo esto en la ecuación obtenemos simplemente:

${\displaystyle i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0}$.

Ahora queremos volver al dominio del tiempo. Expresando los productos mediante derivadas obtenemos la dualidad:

${\displaystyle \Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }}$

Podemos escribir el componente no lineal en términos de la irradiancia o amplitud del campo:

${\displaystyle \beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}}$

Para la dualidad con el solitón espacial, definimos:

${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}}$

y este símbolo tiene el mismo significado que en el caso anterior, aunque el contexto sea diferente. La ecuación queda así:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Sabemos que el impulso se propaga a lo largo del eje z con una velocidad de grupo dada por${\displaystyle v_{g}=1/\beta _{1}}$, por lo que no nos interesa porque solo queremos saber cómo cambia la forma del pulso mientras se propaga. Decidimos estudiar la forma del impulso, es decir, la función envolvente a (·) usando una referencia que se mueve con el campo a la misma velocidad. Así hacemos la sustitución

${\displaystyle T=t-\beta _{1}z}$

y la ecuación queda así:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Ahora suponemos además que el medio en el que se propaga el campo muestra una dispersión anómala , es decir${\displaystyle \beta _{2}<0}$o en términos del parámetro de dispersión del retardo de grupo${\displaystyle D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0}$Hacemos esto más evidente sustituyendo en la ecuación${\displaystyle \beta _{2}=-|\beta _{2}|}$Definamos ahora los siguientes parámetros (la dualidad con el caso anterior es evidente):

${\displaystyle L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

Sustituyendo esos en la ecuación obtenemos:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

Esa es exactamente la misma ecuación que obtuvimos en el caso anterior. El solitón de primer orden viene dado por:

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}}$

Las mismas consideraciones que hemos hecho son válidas en este caso. La condición N  =  1 se convierte en una condición sobre la amplitud del campo eléctrico:

${\displaystyle |A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}}$

o, en términos de irradiancia:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

o podemos expresarlo en términos de potencia si introducimos un área efectiva${\displaystyle A_{\text{eff}}}$definido de modo que${\displaystyle P=IA_{\text{eff}}}$:

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

Se han realizado experimentos para analizar el efecto del efecto Kerr no lineal inducido por un campo magnético externo de alta frecuencia (20  MHz-1 GHz) en una fibra óptica monomodo de considerable longitud (50-100 m) para compensar la dispersión de velocidad de grupo (GVD) y la posterior evolución del pulso solitón (energía máxima, estrecho, pulso hiperbólico secante ). ^{[ 18 ]} La generación del pulso solitón en la fibra es una conclusión obvia como automodulación de fase debido a la alta energía del desplazamiento del pulso GVD, mientras que la longitud de evolución es de 2000 km. (la longitud de onda del láser elegida mayor que 1,3 micrómetros). Además, el pulso solitón máximo tiene un período de 1-3 ps por lo que se acomoda de forma segura en el ancho de banda óptico. Una vez generado el pulso solitón, se dispersa mínimamente a lo largo de miles de kilómetros de fibra, lo que limita el número de estaciones repetidoras.