Reparto óptimo

La asignación óptima es un enfoque de asignación que se basa en la optimización matemática .

En un problema de asignación, hay un recurso para distribuir, denotado por${\displaystyle h}$Por ejemplo, puede ser un número entero que represente el número de escaños en una cámara de representantes. El recurso debe asignarse entre algunos${\displaystyle n}$agentes . Por ejemplo, estos pueden ser estados federales o partidos políticos . Los agentes tienen diferentes derechos , denotados por un vector de fracciones.${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$con una suma de 1. Por ejemplo, t _i puede ser la fracción de votos ganados por el partido i . El objetivo es encontrar una asignación , un vector${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$con${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$.

La participación ideal para el agente i es su cuota , definida como${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$Si es posible dar a cada agente su cuota, entonces la asignación es lo más justa posible. Sin embargo, la justicia exacta suele ser inalcanzable, ya que las cuotas no son números enteros y las asignaciones deben serlo. Existen varios enfoques para abordar esta dificultad (véase matemáticas de la asignación ). El enfoque basado en la optimización busca alcanzar, para cada instancia, una asignación que sea "lo más justa posible" para esa instancia. Una asignación es "justa" si ${\displaystyle a_{i}=q_{i}}$Para todos los agentes i , es decir, la asignación de cada agente es exactamente proporcional a su derecho. En este caso, decimos que la "injusticia" de la asignación es cero. Si esta igualdad debe violarse, se puede definir una medida de "injusticia total" e intentar minimizarla.

La medida más natural es la suma de los niveles de injusticia para los agentes individuales, como en la regla utilitarista : ^{[ 1 ] : 102–104}

• Se puede minimizar la suma de las diferencias.${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}-q_{i}|}$o la suma de cuadrados${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}}$, que ponderan a cada estado (o partido) por igual. Ambos problemas de minimización se resuelven mediante el método de Hamilton .
• Se pueden ponderar los elementos de la suma según la población, o equivalentemente según la cuota, e intentar minimizar el estadístico chi-cuadrado.${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}}$Esto nos lleva al método de Webster .
• Se pueden ponderar los elementos de la suma según las asignaciones y tratar de minimizar ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}}$Esto nos lleva al método de Hill .

Se puede minimizar la mayor injusticia, como en la regla igualitaria :

• Se puede minimizar${\displaystyle \max _{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|}$y proceden a minimizar la siguiente mayor injusticia, etc., utilizando el orden leximin . Esto produce un método llamado método de reparto leximin . Fue desarrollado por primera vez por Biro, Koczy y Sziklai, quienes presentaron un algoritmo eficiente para calcularlo. ^{[ 2 ]} Su objetivo principal es satisfacer el requisito de la Comisión de Venecia de que la desviación máxima de la distribución equitativa de elementos entre los agentes debe ser lo más pequeña posible. Su desventaja es que viola la regla de cuotas y todos los criterios de monotonicidad. ^{[ 3 ]}
• Burt y Harris (1963) sugirieron minimizar${\displaystyle \max _{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|}$. ^{[ 4 ]}
• Minimizar${\displaystyle \max _{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}}$conduce al método de Adams.
• Minimizar${\displaystyle \max _{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}}$conduce al método de Jefferson.
• También es posible maximizar${\displaystyle \min _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})}$o, equivalentemente, minimizar${\displaystyle \max _{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})}$Este método satisface ambas cuotas.
• El método minimax puede generalizarse a cualquier orden de prioridad elegido en función de los criterios de equidad. ^{[ 5 ]}