Instrumentos óptimos

En estadística y econometría , los instrumentos óptimos son una técnica para mejorar la eficiencia de los estimadores en modelos de momentos condicionales , una clase de modelos semiparamétricos que generan funciones de esperanza condicional . Para estimar los parámetros de un modelo de momentos condicionales, el estadístico puede derivar una función de esperanza (definiendo las "condiciones de momento") y utilizar el método generalizado de momentos (MGM). Sin embargo, existen infinitas condiciones de momento que pueden generarse a partir de un solo modelo; los instrumentos óptimos proporcionan las condiciones de momento más eficientes.

Como ejemplo, consideremos el modelo de regresión no lineal.

${\displaystyle y=f(x,\theta )+u}$

${\displaystyle E[u\mid x]=0}$

donde y es una variable aleatoria escalar (unidimensional) , x es un vector aleatorio de dimensión k , y θ es un parámetro de dimensión k . La restricción del momento condicional${\displaystyle E[u\mid x]=0}$es consistente con infinitas condiciones de momento. Por ejemplo:

${\displaystyle E[ux]=E[ux^{2}]=E[ux^{3}]=\dots =0}$

De forma más general, para cualquier función vectorial z de x , se cumplirá que

${\displaystyle E[z(x)(yf(x,\theta ))]=0}$.

Es decir, z define un conjunto finito de condiciones de ortogonalidad .

Una pregunta natural que cabe plantearse, entonces, es si existe un conjunto de condiciones asintóticamente eficientes , en el sentido de que ningún otro conjunto de condiciones logra una varianza asintótica menor . ^{[ 1 ]} Tanto los econometristas ^{[ 2 ] [ 3 ]} como los estadísticos ^{[ 4 ]} han estudiado extensamente este tema.

La respuesta a esta pregunta es generalmente que este conjunto finito existe y se ha demostrado para una amplia gama de estimadores. Takeshi Amemiya fue uno de los primeros en trabajar en este problema y mostrar el número óptimo de instrumentos para modelos de ecuaciones simultáneas no lineales con errores homocedásticos y no correlacionados en serie. ^{[ 5 ]} La forma de los instrumentos óptimos fue caracterizada por Lars Peter Hansen , ^{[ 6 ]} y Newey proporciona resultados para la estimación no paramétrica de instrumentos óptimos. ^{[ 7 ]} Robinson proporcionó un resultado para estimadores de vecinos más cercanos. ^{[ 8 ]}

La técnica de instrumentos óptimos puede utilizarse para demostrar que, en un modelo de regresión lineal de momentos condicionales con datos i.i.d. , el estimador GMM óptimo es el de mínimos cuadrados generalizados . Consideremos el modelo

${\displaystyle y=x^{\mathrm {T} }\theta +u}$

${\displaystyle E[u\mid x]=0}$

donde y es una variable aleatoria escalar, x es un vector aleatorio k -dimensional y θ es un vector de parámetros k -dimensional. Como se indicó anteriormente, las condiciones de momento son

${\displaystyle E[z(x)(yx^{\mathrm {T} }\theta )]=0}$

donde z = z ( x ) es un conjunto de instrumentos de dimensión p ( p ≥ k ). La tarea consiste en elegir z para minimizar la varianza asintótica del estimador GMM resultante. Si los datos son i.i.d. , la varianza asintótica del estimador GMM es

${\displaystyle (E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}}$

dónde${\displaystyle \sigma ^{2}(x)\equiv E[u^{2}\mid x]}$.

Los instrumentos óptimos vienen dados por

${\displaystyle z^{*}(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}(x)}}}$

que produce la matriz de varianza asintótica

${\displaystyle \left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}.}$

Estos son los instrumentos óptimos porque para cualquier otro z , la matriz

${\displaystyle \left(E\left[{\frac {xx^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x)}}\right]\right)^{-1}-(E[xz^{\mathrm {T} }]^{\mathrm {T} }E[\sigma ^{2}(x)zz^{\mathrm {T} }]^{-1}E[zx^{\mathrm {T} }])^{-1}}$

es semidefinida positiva .

Dados los datos iid${\displaystyle (y_{1},x_{1}),\dots ,(y_{N},x_{N})}$, el estimador GMM correspondiente a${\displaystyle z^{*}(x)}$es

${\displaystyle {\widetilde {\theta }}=\left(\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}x_{i}^{\mathrm {T} }}{\sigma ^{2}(x_{i})}}\right)^{-1}\sum _{i=1}^{N}{\frac {x_{i}y_{i}}{\sigma ^{2}(x_{i})}}}$

que es el estimador de mínimos cuadrados generalizados. (Es inviable porque σ ² (·) es desconocido). ^{[ 1 ]}

• Tsiatis, AA (2006). Teoría semiparamétrica y datos faltantes . Springer Series in Statistics. Nueva York: Springer. ISBN 0-387-32448-8.