Edad óptima de rotación

En silvicultura, la edad óptima de rotación es el período de crecimiento necesario para obtener el máximo valor de una masa de madera. El cálculo de este período es específico para cada masa y para los objetivos económicos y de sostenibilidad del talador.

En el análisis de rotación forestal , la rotación económicamente óptima puede definirse como “aquella edad de rotación en la que la cosecha de tocones generará el máximo ingreso o rendimiento económico”. En un análisis de rotación forestal económicamente óptima , la decisión sobre la edad óptima de rotación se toma calculando el valor actual neto máximo. Puede mostrarse de la siguiente manera:

• Ingresos (R) = Volumen × Precio
• Costo (C) = Costo de cosecha + manejo.
• Por lo tanto, beneficio = ingresos − coste.

Dado que el beneficio se genera a lo largo de varios años, es necesario calcular la edad de cosecha en particular que generará los ingresos máximos. La edad de ingresos máximos se calcula descontando los beneficios futuros esperados, lo que da el valor actual de los ingresos y los costos. A partir de esto, se calcula el valor actual neto (VAN) de las ganancias. Esto se puede hacer de la siguiente manera:

• VPN = PVR – PVC

Donde PVR es el valor actual de los ingresos y PVC es el valor actual de los costos. La rotación se realizará cuando el VPN sea máximo.

Como se muestra en la figura, la edad de rotación económicamente óptima se determina en el punto R, que da el valor actual neto máximo del beneficio/utilidad esperado. La rotación a cualquier edad antes o después de R hará que el beneficio/utilidad esperado disminuya.

Los biólogos utilizan el concepto de rendimiento máximo sostenible (RMS) o incremento medio anual (IMA) para determinar la edad óptima de cosecha de la madera. El RMS puede definirse como “el rendimiento máximo que se puede cosechar sin agotar el recurso (madera) de forma irreparable y que deja el recurso en buenas condiciones para usos futuros”. El IMA puede definirse como “el aumento medio anual del volumen de árboles o rodales individuales hasta un punto específico en el tiempo”. El IMA cambia a lo largo de las diferentes fases de crecimiento de la vida de un árbol; es más alto en los años intermedios y luego disminuye con la edad. El punto en el que el IMA alcanza su punto máximo se utiliza comúnmente para identificar la madurez biológica del árbol y “su preparación sexual para la cosecha” - Dr. Cole Greff, 1984.

A medida que aumenta la edad del bosque, el volumen comienza a crecer a un ritmo más lento, luego de un cierto período de tiempo, el volumen comienza a crecer rápidamente y alcanza el máximo. Más allá del cual, el crecimiento en volumen comienza a disminuir. Esto está directamente relacionado con el IMA, ya que encontramos que el IMA aumenta a un ritmo lento, luego aumenta a un ritmo más rápido, alcanza el máximo (punto M) durante los años intermedios (A) y alcanza un pico donde no hay aumento en el volumen; más allá del punto M o después de que el árbol alcanza la edad A, el IMA comienza a disminuir.

Por lo tanto, la edad óptima de rotación en términos biológicos se considera el punto donde la pendiente del IAM es igual a cero, lo que también es equivalente a la intersección del IAM y el incremento anual periódico (IAP). Esto se muestra mediante el punto "M" en la figura de la derecha, donde el volumen generado es V. Más allá de la edad A, el IAM comienza a declinar.

Hasta ahora, en nuestro análisis, solo hemos calculado la edad óptima de rotación en términos de producción de madera, pero a medida que incorporamos otros productos forestales no madereros (PFNM) que se derivan del bosque, la edad óptima de rotación cambia significativamente. En el caso de los PFNM que dependen de la madera en pie/árboles, la edad óptima de rotación se desplaza hacia arriba, es decir, la edad de rotación se desplaza hacia arriba. Esto se puede ilustrar con la ayuda del siguiente diagrama.

Aquí, vemos que la edad de rotación original se estima en R1, pero a medida que incorporamos el valor de los PFNM que dependen de la madera en pie, el beneficio esperado en el futuro aumenta y conduce a un aumento del VPN de P1 a P2. Este aumento del VPN hace que la edad de rotación aumente, ya que resulta más beneficioso mantener los árboles/la madera en pie durante más tiempo y cosecharlos en R2, en comparación con cosecharlos a la edad predeterminada de R1.

Existen muchos factores que influyen en la edad de cosecha. Algunos de los principales factores que afectan la edad de rotación son el precio de la cosecha y el manejo, la tasa de descuento, el precio futuro, el costo de plantación, las opciones de reinversión, el número de rotaciones, el uso de PFNM, los servicios ecológicos no comerciales y los servicios recreativos no ecológicos. ^[1]

Supongamos que la tasa de crecimiento de una masa de árboles satisface la ecuación: donde representa el volumen de madera comercializable. Esta modificación de la ecuación logística produce la solución: Ahora supongamos que estamos interesados ​​en resolver el problema de control óptimo : donde es la cantidad de madera cosechada. Supongamos que el tiempo final es fijo. Esto nos lleva al hamiltoniano : Por lo tanto . Como con la mayoría de los problemas de control lineal, nos hemos topado con un arco de control singular . La ecuación adjunta es: Resolviendo para la solución singular , encontramos que: Usando la ecuación diferencial gobernante en el enunciado del problema, podemos encontrar que el control singular es: De acuerdo con el principio del máximo , la tasa de cosecha óptima debería ser: Para encontrar , tenemos que encontrar el tiempo cuando : Por ejemplo, si entonces el tiempo de conmutación está dado por:$${\displaystyle {dV \sobre {dt}}={a \sobre {1+bt}}V\left(1-{V \sobre {K}}\right),\quad V(0)=V_{0}}$$${\estilo de visualización V(t)}$$${\displaystyle V(t)={K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+bt)^{-a/b}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&&\max _{h(t)}\;\int _{0}^{T}e^{-\delta t}h(t)\;dt\\{\text{subject to}}&&{dV \over {dt}}={a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\\&&h\in [0,\infty ],\;V(t)\geq 0\end{aligned}}}$$${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}=h+\lambda \left[{a \over {1+bt}}V\left(1-{V \over {K}}\right)-h\right]\implies {\partial {\mathcal {H}} \over {\partial h}}=1-\lambda }$$${\displaystyle \lambda ^{*}=1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\lambda }}-\delta \lambda &=-{\partial {\mathcal {H}} \over {\partial V}}\\&=-\lambda {a \over {1+bt}}\left(1-{2V \over {K}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle V^{*}}$$${\displaystyle V^{*}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+bt)\right]}$$${\displaystyle h^{*}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}h^{*}&={a \over {1+bt}}V^{*}\left(1-{V^{*} \over {K}}\right)-{\dot {V}}^{*}\\&={K \over {4}}\left[{a \over {1+bt}}-{\delta ^{2} \over {a}}(1+bt)\right]\end{aligned}}}$$$${\displaystyle h(t)={\begin{cases}0,\quad &t\in (0,\tau )\\h^{*},\quad &t\in (\tau ,T)\\\infty ,\quad &t=T\end{cases}}}$$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle V=V^{*}}$$${\displaystyle {K \over {1+{K-V_{0} \over {V_{0}}}(1+b\tau )^{-a/b}}}={K \over {2}}\left[1-{\delta \over {a}}(1+b\tau )\right]}$$${\displaystyle \delta =0}$$${\displaystyle \tau ={1 \over {b}}\left[\left({K-V_{0} \over {V_{0}}}\right)^{b/a}-1\right]}$$

• Bosque de rotación extendida