Teorema de parada opcional

En teoría de la probabilidad , el teorema de parada opcional (o a veces teorema de muestreo opcional de Doob , por el probabilista estadounidense Joseph Doob ^{[ 1 ]} ) dice que, bajo ciertas condiciones, el valor esperado de una martingala en un tiempo de parada es igual a su valor esperado inicial. ^{[ 2 ]}

El concepto puede entenderse a través de los siguientes principios clave:

• Dado que las martingalas pueden utilizarse para modelar la riqueza de un jugador que participa en un juego justo, el teorema de parada opcional implica que, en promedio, no se puede ganar nada al detener el juego basándose en la información disponible hasta el momento (es decir, sin mirar hacia el futuro).
• Para que este resultado sea válido, se requieren ciertas condiciones. En particular, el teorema se aplica a las estrategias de duplicación e ilustra matemáticamente por qué dichas estrategias no pueden garantizar una ganancia con recursos finitos. ^{[ 3 ]}
• El teorema de parada opcional es una herramienta importante de las finanzas matemáticas en el contexto del teorema fundamental de la fijación de precios de los activos , ya que ayuda a evaluar los rendimientos esperados de varios modelos de fijación de precios.

A continuación se presenta una versión en tiempo discreto del teorema, con${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$que denota el conjunto de los números naturales , incluido el cero.

Dejar${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$ser una martingala de tiempo discreto y${\displaystyle \tau }$un tiempo de parada con valores en${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$, ambos con respecto a una filtración${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$Supongamos que se cumple una de las siguientes tres condiciones:

( a ) El tiempo de parada${\displaystyle \tau }$es casi seguro que está acotado, es decir, existe una constante${\displaystyle c\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle \tau \leq c}$casi con seguridad.

( b ) El tiempo de parada${\displaystyle \tau }$tiene una expectativa finita y las expectativas condicionales del valor absoluto de los incrementos de la martingala están casi seguramente acotadas. Más precisamente,${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]<\infty }$y existe una constante${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle \mathbb {E} {\bigl [}|X_{t+1}-X_{t}|\,{\big \vert }\,{\mathcal {F}}_{t}{\bigr ]}\leq c}$casi con seguridad en el evento${\displaystyle \{\tau >t\}}$a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$.

( c ) Existe una constante${\displaystyle c}$de tal manera que${\displaystyle |X_{\min\{t,\tau \}}|\leq c}$casi con seguridad para todos${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$.

Entonces${\displaystyle X_{\tau }}$es una variable aleatoria casi con seguridad bien definida y${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}]}$. ^{[ 4 ]}

De manera similar, si el proceso estocástico${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in \mathbb {N} _{0}}}$Si es una submartingala o una supermartingala y se cumple alguna de las condiciones anteriores, entonces: $${\displaystyle \mathbb {E} [X_ {\tau }]\geq \mathbb {E} [X_ {0}]}$$ para una submartingala, y $${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]\leq \mathbb {E} [X_{0}]}$$ para una supermartingala.

El teorema de parada opcional tiene amplias aplicaciones en probabilidad, resolución de paradojas y teoría de caminatas aleatorias: ^{[ 5 ]}

• Imposibilidad de estrategias de apuestas perfectas: El teorema se puede utilizar para demostrar la imposibilidad de estrategias de apuestas exitosas para un jugador con una vida útil finita (dando la condición  ( a )) o un límite de la casa en las apuestas (condición  ( b )).
  • Supongamos que el jugador puede apostar hasta${\displaystyle c}$Apuestan dólares en un lanzamiento de moneda justo en los tiempos 1, 2, 3, etc., ganando su apuesta si la moneda sale cara y perdiéndola si la moneda sale cruz.
  • Supongamos además que el jugador puede dejar de jugar cuando quiera, pero no puede predecir el resultado de las apuestas que aún no se han realizado.
  • La fortuna del jugador a lo largo del tiempo es una martingala, y el tiempo${\displaystyle \tau }$El momento en que deciden renunciar (o se arruinan y se ven obligados a renunciar) es un tiempo de parada. Por lo tanto, el teorema dice que${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}]}$En otras palabras, el jugador se va con la misma cantidad de dinero de media con la que empezó.
  • El mismo resultado se aplica si el jugador tiene un límite finito en su línea de crédito o en la cantidad de deuda que puede acumular, en lugar de un límite impuesto por la casa en las apuestas individuales.
• Posición de parada esperada de una caminata aleatoria: Supongamos que una caminata aleatoria comienza en${\displaystyle a\geq 0}$aumenta o disminuye en uno con igual probabilidad en cada paso.
  • Supongamos además que el paseo se detiene si llega a 0 o${\displaystyle m\geq a}$; el momento en que esto ocurre por primera vez es un tiempo de parada.
  • Si se sabe que el tiempo esperado en el que termina la caminata es finito (por ejemplo, a partir de la teoría de cadenas de Markov ), el teorema de parada opcional predice que la posición de parada esperada es igual a la posición inicial.${\displaystyle a}$.
  • Resolviendo${\displaystyle a=pm+(1-p)0}$para la probabilidad${\displaystyle p}$que el paseo llega${\displaystyle m}$antes de 0 da${\displaystyle p=a/m}$.
• Tiempo esperado de un paseo aleatorio: Consideremos un paseo aleatorio.${\displaystyle X}$que comienza en 0 y se detiene si llega${\displaystyle -m}$o${\displaystyle +m}$y utilizar el${\displaystyle Y_{n}=X_{n}^{2}-n}$martingala de Martingala (teoría de la probabilidad) §  Ejemplos de martingalas . Si${\displaystyle \tau }$es el momento en que${\displaystyle X}$primeros alcances${\displaystyle \pm m}$, entonces${\displaystyle 0=\mathbb {E} [Y_{0}]=\mathbb {E} [Y_{\tau }]=m^{2}-\mathbb {E} [\tau ]}$Esto da directamente${\displaystyle \mathbb {E} [\tau ]=m^{2}}$.
• Violaciones del teorema (contraejemplos): Hay que tener cuidado de asegurar que se cumple una de las condiciones del teorema.
  • Por ejemplo, supongamos que el último ejemplo hubiera utilizado un tiempo de parada "unilateral", de modo que la parada solo ocurriera en${\displaystyle +m}$, no en${\displaystyle -m}$.
  • El valor de${\displaystyle X}$En este momento de parada sería, por lo tanto,${\displaystyle m}$, lo que significa el valor esperado${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]}$También debe ser${\displaystyle m}$.
  • Esto aparentemente viola el teorema que daría${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=X_{0}=0}$El fallo del teorema de parada opcional en este caso demuestra que las tres condiciones fallan para un tiempo de parada unilateral con un espacio de estados no restringido.

Dejar${\displaystyle X^{\tau }}$Denotemos el proceso detenido , que también es una martingala (o una submartingala o supermartingala, respectivamente). El marco de la demostración se basa en analizar este proceso bajo las condiciones dadas:

• Bajo la condición  ( a ) o  ( b ), la variable aleatoria${\displaystyle X^{\tau }}$está bien definido.
• Bajo la condición  ( c ) el proceso detenido${\displaystyle X^{\tau }}$está acotada, por lo tanto, según el teorema de convergencia de martingala de Doob , converge casi seguramente punto por punto a una variable aleatoria que llamamos${\displaystyle X_{\tau }}$.

Si se cumple la condición  ( c ), entonces el proceso se detiene.${\displaystyle X^{\tau }}$está acotado por la variable aleatoria constante${\displaystyle M:=c}$. De lo contrario, escribir el proceso detenido como $${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{0}+\sum _{s=0}^{\tau -1\land t-1}(X_{s+1}-X_{s}),\quad t\in \mathbb {N} _{0}}$$ da${\displaystyle X_{t}^{\tau }\leq M}$a pesar de${\displaystyle t\in \mathbb {N} _{0}}$, dónde $${\displaystyle M:=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\tau -1}|X_{s+1}-X_{s}|=|X_{0}|+\sum _{s=0}^{\infty }|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}.}$$

Por el teorema de convergencia monótona , $${\displaystyle \mathbb {E} [M]=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\bigr ]}.}$$

Si se cumple la condición  ( a ), entonces esta serie solo tiene un número finito de términos distintos de cero, por lo tanto${\displaystyle M}$es integrable.

Si se cumple la condición  ( b ), entonces continuamos insertando una expectativa condicional y utilizando que el evento${\displaystyle \{\tau >s\}}$se sabe en ese momento${\displaystyle s}$(tenga en cuenta que${\displaystyle \tau }$se supone que es un tiempo de parada con respecto a la filtración). Esto produce: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} [M]&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {E} {\bigl [}\underbrace {\mathbb {E} {\bigl [}|X_{s+1}-X_{s}|{\big |}{\mathcal {F}}_{s}{\bigr ]}\cdot \mathbf {1} _{\{\tau >s\}}} _{\leq \,c\,\mathbf {1} _{\{\tau >s\}}{\text{ a.s. by (b)}}}{\bigr ]}\\&\leq \mathbb {E} [|X_{0}|]+c\sum _{s=0}^{\infty }\mathbb {P} (\tau >s)\\&=\mathbb {E} [|X_{0}|]+c\,\mathbb {E} [\tau ]<\infty ,\\\end{aligned}}}$$ donde se utiliza una representación del valor esperado de variables aleatorias con valores enteros no negativos para la última igualdad.

Por lo tanto, bajo cualquiera de las tres condiciones del teorema, el proceso detenido está dominado por una variable aleatoria integrable.${\displaystyle M}$. Desde que se detuvo el proceso${\displaystyle X^{\tau }}$converge casi con seguridad a${\displaystyle X_{\tau }}$, el teorema de convergencia dominada implica: $${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\lim _{t\to \infty }\mathbb {E} [X_{t}^{\tau }].}$$

Por la propiedad de martingala del proceso detenido, $${\displaystyle \mathbb {E} [X_{t}^{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}],\quad t\in \mathbb {N} _{0},}$$ por eso $${\displaystyle \mathbb {E} [X_{\tau }]=\mathbb {E} [X_{0}].}$$

De manera similar, si${\displaystyle X}$es una submartingala o supermartingala, respectivamente, cambie la igualdad en las dos últimas fórmulas por la desigualdad apropiada.

• Teorema de parada opcional de Doob