Martingala (teoría de la probabilidad)

En teoría de la probabilidad , una martingala es un proceso estocástico en el que el valor esperado de la siguiente observación, dadas todas las observaciones previas, es igual al valor más reciente. En otras palabras, la esperanza condicional del siguiente valor, dado el pasado, es igual al valor presente. Las martingalas se utilizan para modelar juegos justos, donde las ganancias futuras esperadas son iguales a la cantidad actual, independientemente de los resultados pasados.

Originalmente, el término martingala se refería a una clase de estrategias de apuestas que fueron populares en la Francia del siglo XVIII . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El desarrollo histórico del concepto se puede resumir de la siguiente manera:

• La más sencilla de estas estrategias fue diseñada para un juego en el que el jugador gana su apuesta si sale cara y la pierde si sale cruz.
• La estrategia consistía en que el jugador duplicara su apuesta después de cada pérdida, de modo que la primera victoria recuperara todas las pérdidas anteriores y, además, obtuviera una ganancia igual a la apuesta inicial.
• A medida que la riqueza del jugador y el tiempo disponible se aproximan al infinito, la probabilidad de que finalmente salga cara se acerca a 1, lo que hace que la estrategia de apuestas Martingala parezca una apuesta segura .
• Sin embargo, el crecimiento exponencial de las apuestas acaba llevando a la bancarrota a sus usuarios debido a la limitación de sus fondos. El movimiento browniano detenido , que es un proceso de martingala, puede utilizarse para modelar la trayectoria de este tipo de juegos.
• El concepto de martingala en la teoría de la probabilidad fue introducido por Paul Lévy en 1934, aunque no le dio un nombre formal.
• El término "martingala" fue introducido más tarde por Ville (1939) , quien también extendió la definición a las martingalas continuas.
• Gran parte del desarrollo original de la teoría fue realizado, entre otros, por Joseph Leo Doob . Parte de la motivación para ese trabajo inicial fue demostrar matemáticamente la imposibilidad de estrategias de apuestas exitosas en juegos de azar.

Una definición básica de una martingala de tiempo discreto es un proceso estocástico de tiempo discreto (es decir, una secuencia de variables aleatorias ).${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$que satisface por cualquier tiempo${\displaystyle n}$:

${\displaystyle \mathbf {E} [\vert X_ {n}\vert ]<\infty }$

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n}.}$

Es decir, el valor esperado condicional de la siguiente observación, dadas todas las observaciones pasadas, es igual a la observación más reciente.

• Un paseo aleatorio imparcial , en cualquier número de dimensiones, es un ejemplo de martingala. Por ejemplo, consideremos un paseo aleatorio unidimensional donde en cada paso de tiempo un movimiento a la derecha o a la izquierda tiene la misma probabilidad.
• La fortuna (capital) de un jugador es una martingala si todos los juegos de apuestas que juega son justos. Supongamos que${\displaystyle X_{n}}$es la fortuna del jugador después${\displaystyle n}$Se lanza una moneda justa de tal manera que el jugador gana $1 si sale cara y pierde $1 si sale cruz. La fortuna esperada condicional del jugador después del próximo juego, considerando su historial, es igual a su fortuna actual.
• Dejar${\displaystyle Y_{n}=X_{n}^{2}-n}$dónde${\displaystyle X_{n}}$es la fortuna del jugador del ejemplo anterior. Luego la secuencia${\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$es una martingala. Esto se puede usar para mostrar que la ganancia o pérdida total del jugador varía aproximadamente entre más o menos la raíz cuadrada del número de partidas jugadas.
• Martingala de De Moivre : Supongamos que los resultados del lanzamiento de una moneda son injustos (sesgados), con probabilidad${\displaystyle p}$de que salgan caras y probabilidad${\displaystyle q=1-p}$de colas. Deja

${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1}$

con "+" en caso de "cara" y "−" en caso de "cruz". Sea

${\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}}$

Entonces${\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$es una martingala con respecto a${\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,\dots \}}$Para demostrar esto:

${\displaystyle {\begin{alineado}\mathbf {E} [Y_ {n+1}\mid X_ {1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p) ^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}$

• La urna de Pólya contiene varias canicas de distintos colores; en cada iteración , se selecciona una canica al azar de la urna y se reemplaza por varias más del mismo color. Para un color dado, la fracción de canicas de ese color en la urna es una martingala.
• Prueba de razón de verosimilitud en estadística : Una variable aleatoria${\displaystyle X}$Se cree que se distribuye según la densidad de probabilidad${\displaystyle f}$o a una densidad de probabilidad diferente${\displaystyle g}$Una muestra aleatoria${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$está tomado. Deja${\displaystyle Y_{n}}$ser la "razón de verosimilitud":

${\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}$

Si${\displaystyle X}$en realidad se distribuye según la densidad${\displaystyle f}$en vez de${\displaystyle g}$, entonces${\displaystyle \{Y_{n}\}}$es una martingala con respecto a${\displaystyle \{X_{n}\}}$.

• Martingala Doob : Dejar${\displaystyle Y}$Sea cualquier variable aleatoria con un valor esperado finito, y sea${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{n}\}}$ser una filtración. La secuencia definida por${\displaystyle X_{n}=\mathbf {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{n}]}$es una martingala. Esto representa la mejor estimación actualizada secuencialmente de${\displaystyle Y}$a medida que se disponga de más información.

• En una comunidad ecológica , el número de individuos de una especie determinada de tamaño fijo es función del tiempo y puede considerarse una secuencia de variables aleatorias. Esta secuencia es una martingala según la teoría neutral unificada de la biodiversidad y la biogeografía .
• En genética de poblaciones , la frecuencia de un alelo en una población de tamaño fijo que evoluciona bajo deriva genética (sin mutación ni selección) sigue una martingala. Esta es una característica definitoria del modelo de Wright-Fisher .
• Si${\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}}$es un proceso de Poisson con intensidad${\displaystyle \lambda }$, luego el proceso de Poisson compensado${\displaystyle \{N_{t}-\lambda t:t\geq 0\}}$es una martingala de tiempo continuo con trayectorias de muestreo continuas por la derecha y con límite por la izquierda .
• Martingala exponencial : Si${\displaystyle W_{t}}$es un movimiento browniano unidimensional estándar , entonces el proceso${\displaystyle Z_{t}=\exp \left(\theta W_{t}-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}t\right)}$es una martingala de tiempo continuo para cualquier parámetro real${\displaystyle \theta }$Este proceso juega un papel fundamental en el cálculo estocástico y en el teorema de Girsanov para medidas de probabilidad cambiantes.
• Martingala de Wald : Si${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con función generadora de momentos${\displaystyle M(\theta )=\mathbf {E} [\exp(\theta X_{1})]}$y sus sumas parciales se denotan por${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dots +X_{n}}$, luego la secuencia${\displaystyle W_{n}=\exp(\theta S_{n})/M(\theta )^{n}}$es una martingala.
• Valoración de activos en finanzas matemáticas: Según el teorema fundamental de la valoración de activos , en un mercado libre de arbitraje, el precio descontado de cualquier activo negociable es una martingala bajo la medida neutral al riesgo . Por ejemplo, si${\displaystyle S_{t}}$es un precio de las acciones y${\displaystyle r}$es la tasa de interés libre de riesgo, entonces${\displaystyle e^{-rt}S_{t}}$es una martingala bajo la medida de martingala equivalente.
• A${\displaystyle d}$proceso dimensional${\displaystyle M=(M^{(1)},\dots ,M^{(d)})}$en algún espacio${\displaystyle S^{d}}$es una martingala si cada componente${\displaystyle T_{i}(M)=M^{(i)}}$es una martingala unidimensional en${\displaystyle S}$.

Hay dos generalizaciones de una martingala que incluyen casos en los que la observación actual${\displaystyle X_{n}}$no es necesariamente igual a la expectativa condicional futura, sino que actúa como un límite superior o inferior de la expectativa condicional.

Estas generalizaciones reflejan la relación entre la teoría de las martingalas y la teoría del potencial (el estudio de las funciones armónicas ):

• Así como una martingala de tiempo continuo satisface${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]-X_{s}=0}$a pesar de${\displaystyle s\leq t}$, una función armónica${\displaystyle f}$satisface la ecuación diferencial parcial${\displaystyle \Delta f=0}$dónde${\displaystyle \Delta }$es el operador laplaciano .
• Dado un proceso de movimiento browniano${\displaystyle W_{t}}$y una función armónica${\displaystyle f}$, el proceso resultante${\displaystyle f(W_{t})}$También es una martingala.

Submartingalas:

• Una submartingala de tiempo discreto es una secuencia${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$de variables aleatorias integrables que satisfacen:

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.}$

• Asimismo, una submartingala de tiempo continuo satisface:

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

• En teoría del potencial, una función subarmónica${\displaystyle f}$Satisface${\displaystyle \Delta f\geq 0}$Cualquier función subarmónica acotada superiormente por una función armónica para todos los puntos en el borde de una bola está acotada superiormente por la función armónica dentro de la bola.
• De manera similar, si una submartingala y una martingala tienen expectativas equivalentes para un tiempo dado, la historia de la submartingala tiende a estar acotada superiormente por la historia de la martingala. En términos generales, el prefijo "sub-" es consistente porque la observación actual${\displaystyle X_{n}}$es menor que (o igual a) la expectativa condicional. En consecuencia, el proceso tiende a aumentar en el futuro.

Supermartingalas:

• De forma análoga, una supermartingala de tiempo discreto satisface:

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.}$

• Asimismo, una supermartingala de tiempo continuo satisface:

${\displaystyle \mathbf {E} [X_{t}\mid \{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.}$

• En teoría del potencial, una función superarmónica${\displaystyle f}$Satisface${\displaystyle \Delta f\leq 0}$.
• En términos generales, el prefijo "super-" es consistente debido a la observación actual.${\displaystyle X_{n}}$es mayor que (o igual a) la expectativa condicional. En consecuencia, el proceso tiende a disminuir en el futuro.

Un tiempo de parada con respecto a una secuencia de variables aleatorias${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$es una variable aleatoria${\displaystyle \tau }$con la propiedad de que para cada${\displaystyle t}$, la ocurrencia o no ocurrencia del evento${\displaystyle \tau =t}$depende únicamente de los valores de${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}}$La intuición detrás de la definición es que en cualquier momento particular${\displaystyle t}$Puedes analizar la secuencia hasta el momento y determinar si es hora de parar. Un ejemplo podría ser el momento en que un jugador abandona la mesa de juego, lo cual podría depender de las ganancias anteriores, pero no de las partidas que aún no se han jugado.

En algunos contextos, el concepto de tiempo de parada se define requiriendo únicamente que la ocurrencia o no ocurrencia del evento.${\displaystyle \tau =t}$es probabilísticamente independiente de${\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},\dots }$pero no está completamente determinado por la historia hasta el momento.${\displaystyle t}$.

Una de las propiedades básicas de las martingalas es que, si${\displaystyle (X_{t})_{t>0}}$es una (sub-/super-) martingala y${\displaystyle \tau }$es un tiempo de parada, entonces el proceso detenido correspondiente${\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}}$definido por${\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}}$También es una (sub-/super-) martingala.

El concepto de martingala detenida da lugar a una serie de teoremas importantes, incluido el teorema de parada opcional , que establece que, bajo ciertas condiciones, el valor esperado de una martingala en el momento de la parada es igual a su valor inicial.

El problema de la martingala es un marco de análisis estocástico para caracterizar soluciones a ecuaciones diferenciales estocásticas (EDE) mediante condiciones de martingala.

Las martingalas constituyen la base matemática fundamental de las finanzas cuantitativas modernas y la teoría de valoración de activos.

• El teorema fundamental de la valoración de activos: Este teorema establece que un mercado financiero está libre de arbitraje si y solo si existe una medida de probabilidad neutral al riesgo (también conocida como medida de martingala equivalente).
• Fijación de precios neutral al riesgo: Bajo esta medida de martingala equivalente, el proceso de precios descontados de cualquier activo negociable es una martingala. Esto implica que el precio actual de un activo es exactamente igual al valor esperado de sus pagos futuros descontados.
• Valoración de derivados: Modelos como el de Black-Scholes se basan en gran medida en representaciones de martingalas. Al encontrar la medida de martingala correcta mediante el teorema de Girsanov , se pueden valorar con precisión derivados financieros complejos y opciones sin necesidad de predecir la dirección real del mercado bursátil.

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