Elementos orbitales

Los elementos orbitales son los parámetros necesarios para identificar de forma unívoca una órbita específica . En mecánica celeste, estos elementos se consideran en sistemas de dos cuerpos mediante una órbita de Kepler . Existen diversas maneras de describir matemáticamente la misma órbita, pero ciertos esquemas se utilizan comúnmente en astronomía y mecánica orbital .

Una órbita real y sus elementos cambian con el tiempo debido a las perturbaciones gravitacionales causadas por otros objetos y a los efectos de la relatividad general . Una órbita de Kepler es una aproximación matemática idealizada de la órbita en un momento determinado.

Vistos desde un sistema de referencia inercial , dos cuerpos en órbita describen trayectorias distintas. Cada una de estas trayectorias tiene su foco en el centro de masa común . Vistos desde un sistema de referencia no inercial centrado en uno de los cuerpos, solo se aprecia la trayectoria del cuerpo opuesto; los elementos keplerianos describen estas trayectorias no inerciales. Una órbita tiene dos conjuntos de elementos keplerianos, dependiendo de qué cuerpo se utilice como punto de referencia. El cuerpo de referencia (generalmente el más masivo) se denomina primario , y el otro cuerpo, secundario . El primario no necesariamente posee más masa que el secundario, e incluso cuando los cuerpos tienen la misma masa, los elementos orbitales dependen de la elección del primario.

Los elementos orbitales se pueden obtener a partir de vectores de estado orbital (vectores de posición y velocidad del objeto en órbita) mediante transformaciones manuales o con software informático a través de un proceso conocido como determinación de órbita . ^{[ 1 ]}

Existen órbitas no cerradas, aunque normalmente se las denomina trayectorias y no órbitas, ya que no son periódicas. Los mismos elementos que se utilizan para describir órbitas cerradas también suelen emplearse para representar trayectorias abiertas.

Parámetros requeridos

Se necesitan seis elementos orbitales para definir de forma inequívoca una órbita kepleriana. Esto se debe a que el problema contiene seis grados de libertad . Estos corresponden a los seis parámetros definidos en un conjunto de vectores de estado orbital : tres dimensiones espaciales que definen la posición ( $x$ , $y$ , $z$ en un sistema de coordenadas cartesianas ) y la velocidad en cada una de estas dimensiones. La trayectoria del objeto en órbita está completamente definida por los vectores de estado orbital, pero esta suele ser una forma poco práctica y opaca de representar la órbita, razón por la cual se suelen utilizar elementos orbitales.

Sin embargo, un conjunto de seis elementos solo describe la posición inicial del objeto en órbita y la forma de su trayectoria. Si se desea utilizar un conjunto de elementos orbitales para resolver el problema de Kepler , se deben incluir dos parámetros adicionales. Es decir, para calcular la posición y la velocidad del objeto en órbita en un momento futuro arbitrario, se requerirá un conjunto extendido de ocho elementos orbitales.

Al describir una órbita con elementos orbitales, normalmente se necesitan dos para describir el tamaño y la forma de la trayectoria, tres para describir la rotación de la órbita y uno para describir la posición inicial. Estos elementos pueden ampliarse para incluir uno que describa la velocidad del movimiento y otro que describa el instante en que se alcanza la posición inicial, si es necesario calcular la posición en función del tiempo.

Elementos orbitales comunes por tipo

Parámetros que describen el tamaño y la forma

Se requieren dos parámetros para describir el tamaño y la forma de una órbita. Generalmente, se pueden usar dos de estos valores para calcular cualquier otro (como se describe a continuación), por lo que la elección de cuáles usar depende de las preferencias personales y del caso de uso específico.

Excentricidad ( $e$ ) : forma de la elipse, que describe cuánto se desvía de un círculo perfecto. Una excentricidad de 0 (cero) describe un círculo perfecto ; valores menores que 1 describen una elipse; un valor de exactamente 1 describe una parábola ; valores mayores que 1 describen una hipérbola . ^{[ 2 ]}
Semieje mayor ( $a$ ) : la mitad de la distancia entre el apoapsis y el periapsis (eje mayor de la elipse). Este valor es positivo para órbitas elípticas, indefinido para trayectorias parabólicas y negativo para trayectorias hiperbólicas, lo que puede dificultar su uso al trabajar con diferentes tipos de trayectorias. ^{[ 3 ]}
Semieje menor ( $b$ ) : la mitad del eje corto que pasa por el centro geométrico de la elipse. Este valor presenta las mismas limitaciones que el semieje mayor: no está definido para trayectorias parabólicas y es negativo para trayectorias hiperbólicas.
Semiparámetro ( $p$ ) — la mitad del ancho de la órbita perpendicular a la dirección del periapsis, que cruza el foco primario (el radio orbital $r para una anomalía verdadera de \pm +$ $π$ / 2 radianes $,$ $o$ $\pm$ $90$ $°$ $)$ . Este valor es útil para su uso en la ecuación general de la órbita , que puede devolver la distancia desde el cuerpo central dado $p$ y la anomalía verdadera para cualquier tipo de órbita o trayectoria. Este valor también se conoce comúnmente como semi- latus rectum y se le da el símbolo alternativo $ℓ.$ Además, este valor siempre estará definido y será positivo, a diferencia de los semiejes mayor y menor. ^[³^]
Apoapsis ( $r$ _a ) — el punto más alejado de la órbita con respecto al cuerpo central (en una anomalía verdadera de $π$ radianes, o 180° ). Esta magnitud es indefinida (o infinita) para trayectorias parabólicas e hiperbólicas, ya que continúan alejándose del cuerpo central indefinidamente. A este valor a veces se le da el ^símbolo $Q.$ [ ^{2 ]}
Periapsis ( $r$ $p$ ) — el punto más cercano en la órbita al cuerpo central (con una anomalía verdadera de 0). A diferencia del apoapsis, esta magnitud se define para todos los tipos de órbita. A este valor a veces se le da el símbolo $q$ . ^{[ 2 ]}

En órbitas perfectamente circulares, no existe un apoapsis ni un periapsis definidos, ya que todos los puntos de la órbita se encuentran a la misma distancia del cuerpo central. Además, es común observar que el sufijo para "apoapsis" y "periapsis" varía según el cuerpo central (por ejemplo, "apogeo" y "perigeo" para las órbitas de la Tierra , y "afelio" y "perihelio" para las órbitas del Sol ).

También se pueden utilizar otros parámetros para describir el tamaño y la forma de una órbita, como la excentricidad lineal , el achatamiento y el parámetro focal , pero su uso es limitado.

Relaciones entre elementos

Esta sección contiene las relaciones comunes entre estos elementos orbitales, pero se pueden derivar más relaciones mediante la manipulación de una o más de estas ecuaciones. Los nombres de las variables que se utilizan aquí son consistentes con los descritos anteriormente.

La excentricidad se puede encontrar utilizando los semiejes menor y mayor como $e={\begin{cases}{\sqrt {\ 1-{\frac {\ b^{2}}{\ a^{2}}}~}}&~~{\mathsf {cuando}}~~a>0\quad {\mathsf {(elipse)}}\ ,\\{\sqrt {\ 1+{\frac {\ b^{2}}{\ a^{2}}}~}}&~~{\mathsf {cuando}}~~a<0\quad {\mathsf {(hipérbola)}}~.\end{cases}}$

La excentricidad también se puede encontrar utilizando el apoapsis y el periapsis a través de la siguiente relación: ^{[ 2 ]} $e={\frac {r_{\mathsf {a}}-r_{\mathsf {p}}}{\ r_{\mathsf {a}}+r_{\mathsf {p}}\ }}~.$

El semieje mayor se puede encontrar utilizando el hecho de que las líneas que conectan el apoapsis con el centro de la cónica y desde el centro hasta el periapsis, en conjunto, abarcan la longitud de la cónica y, por lo tanto, el eje mayor. Esto se divide luego por 2 para obtener el semieje mayor: ^{[ 3 ]} $a={\frac {\ r_{\mathsf {p}}+r_{\mathsf {a}}\ }{2}}~.$

El semieje menor se puede encontrar utilizando el semieje mayor y la excentricidad mediante las siguientes relaciones: $b~=~{\begin{cases}~a\;\!{\sqrt {\ 1-e^{2}~}}&~~{\mathsf {cuando}}~~e<1\quad {\mathsf {(elipse)}}\ ,\\\\~a\;\!{\sqrt {\ e^{2}-1~}}&~~{\mathsf {cuando}}~~e>1\quad {\mathsf {(hipérbola)}}~.\end{cases}}$ Se necesitan dos fórmulas para evitar calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Alternativamente, utilice $~b=a\;\!{\sqrt {\;\!\left|1-e^{2}\right|~}}~.$

El semiparámetro se puede encontrar utilizando el semieje mayor y la excentricidad: ^{[ 3 ]} $p=a\left(1-e^{2}\right)~.$

Apoapsis (para $\ e<1\$ ) se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación usando el semieje mayor y la excentricidad: ^{[ 4 ]} $r_{\mathsf {a}}=a\left(1+e\right)~.$

El periapsis se puede encontrar con el semieje mayor y la excentricidad usando la siguiente ecuación: ^{[ 4 ]} $r_{\mathsf {p}}=a\left(1-e\right)~.$

Animaciones de elementos

Animaciones de órbitas
Animación con semiparámetro constante ( $p$ ) y excentricidad variable. Nótese cómo los semiejes mayor y menor tienden al infinito y luego se vuelven negativos cuando $e$ supera 1.
Animación con periapsis constante ( $r$ _p ) y excentricidad variable.
$Animación con semieje mayor constante (a) y excentricidad variable. El semieje mayor se vuelve negativo cuando e es mayor que 1. Nótese la discontinuidad en e = 1. {\displaystyle \ e=1~.}$
Animación con semieje mayor constante ( $a$ ) y excentricidad variable. El semieje mayor se vuelve negativo cuando $e$ es mayor que 1. Nótese la discontinuidad en $\ e=1~.$
Animación con semieje menor constante y excentricidad variable. El semieje menor se vuelve negativo cuando $e$ supera 1.

Elementos que describen la rotación

En este diagrama, el plano orbital (amarillo) interseca un plano de referencia (gris). Para los satélites en órbita terrestre, el plano de referencia suele ser el plano ecuatorial de la Tierra, y para los satélites en órbita solar, es el plano de la eclíptica . La intersección se denomina línea de nodos , ya que conecta el cuerpo de referencia (el primario) con los nodos ascendente y descendente. El cuerpo de referencia y el punto vernal (♈︎) establecen una dirección de referencia y, junto con el plano de referencia, establecen un marco de referencia.

Se requieren tres parámetros para describir la orientación del plano de la órbita y la orientación de la órbita dentro de ese plano.

Inclinación ( $i$ ) : inclinación vertical del plano orbital con respecto al plano de referencia, generalmente el ecuador del cuerpo central, medida en el nodo ascendente (donde la órbita cruza el plano de referencia, representado por el ángulo verde $i$ en el diagrama). Las inclinaciones cercanas a cero indican órbitas ecuatoriales , y las inclinaciones cercanas a 90° indican órbitas polares . Las inclinaciones de 90 a 180° se utilizan normalmente para indicar órbitas retrógradas .
Longitud del nodo ascendente ( $Ω$ ) — describe el ángulo desde el nodo ascendente de la órbita (☊ en el diagrama) hasta la dirección de referencia del sistema de referencia (♈︎ en el diagrama). Se mide en el plano de referencia y se muestra como el ángulo verde $Ω$ en el diagrama. Esta magnitud no está definida para órbitas perfectamente ecuatoriales (coplanares), pero por convención suele establecerse en cero. ^{[ 3 ]} Esta magnitud también se conoce a veces como ascensión recta del nodo ascendente (ARNA).
Argumento del periapsis ( $ω$ ) — define la orientación en el plano orbital, como un ángulo medido desde el nodo ascendente hasta el periapsis (el punto más cercano al cuerpo principal alrededor del cual orbita el satélite), el ángulo púrpura $ω$ en el diagrama. Esta magnitud no está definida para órbitas circulares, pero por convención suele establecerse en cero. ^{[ 3 ]}

Estos tres elementos, en conjunto, pueden describirse como ángulos de Euler que definen la orientación de la órbita con respecto al sistema de coordenadas de referencia. Si bien estos tres son los más comunes, existen otros elementos que resultan útiles para describir otras propiedades de la órbita.

Longitud del periapsis ( $ϖ$ ) — describe el ángulo entre el punto vernal y el periapsis, medido en el plano de referencia. Esto se puede describir como la suma de la longitud del nodo ascendente y el argumento del periapsis: $\varpi =\Omega +\omega$ A diferencia de la longitud del nodo ascendente, este valor se define para órbitas donde la inclinación es cero. ^{[ 3 ]}

Elementos que describen el movimiento a lo largo del tiempo.

Se requiere un parámetro para describir la velocidad del objeto que orbita alrededor del cuerpo central. Sin embargo, este parámetro puede omitirse si solo se requiere una descripción de la forma de la órbita. Para cumplir esta condición, se pueden utilizar diversas magnitudes que no describen directamente la velocidad, y es posible convertirlas entre sí (fórmula a continuación).

Movimiento medio ( $n$ ) — magnitud que describe la velocidad angular promedio del cuerpo en órbita, medida como un ángulo por unidad de tiempo. Para órbitas no circulares, la velocidad angular real no es constante, por lo que el movimiento medio no describe un ángulo físico. En cambio, esto corresponde a un cambio en la anomalía media , que de hecho aumenta linealmente con el tiempo. ^{[ 4 ]}
Periodo orbital ( $P$ ) : tiempo que tarda el cuerpo en órbita en completar una revolución completa alrededor del cuerpo central. Esta magnitud no está definida para trayectorias parabólicas e hiperbólicas, ya que no son periódicas.
Masa del sistema de 2 cuerpos ( $M$ ) — la masa total del cuerpo central y del cuerpo en órbita ( ${\textstyle m_{1}+m_{2}}$ Si la masa del objeto en órbita es insignificante en comparación con la masa del cuerpo principal (por ejemplo, para satélites artificiales en órbita alrededor de un planeta masivo), entonces solo se puede usar la masa del cuerpo central.
Parámetro gravitacional estándar ( $μ$ ) : cantidad igual a la masa del sistema de dos cuerpos ( $M$ ) (o solo del cuerpo central si la masa del objeto en órbita es insignificante) multiplicada por la constante gravitacional $G.$ Esta cantidad se usa a menudo en lugar de la masa, ya que puede ser más fácil de medir con precisión que la masa o $G.$ Además, no suele incluirse en las listas de elementos orbitales, puesto que en algunos casos se puede asumir que se conoce a partir del cuerpo central.

Relaciones entre elementos

Esta sección contiene las relaciones comunes entre el conjunto de elementos orbitales descritos anteriormente, pero se pueden derivar más relaciones mediante la manipulación de una o más de estas ecuaciones. Los nombres de las variables que se utilizan aquí son consistentes con los descritos anteriormente.

El movimiento medio se puede calcular utilizando el parámetro gravitacional estándar y el semieje mayor de la órbita. ^{[ 3 ]} $n~={\sqrt {\;\!{\frac {\mu }{\ |a|^{3}}}~}}~.$ Esta ecuación devuelve el movimiento medio en radianes y deberá convertirse si se desea que $n$ esté en una unidad diferente.

Dado que el semieje mayor está relacionado con el movimiento medio y el parámetro gravitacional estándar, puede calcularse sin necesidad de especificarlo. Esto resulta especialmente útil si se supone que $μ$ es conocido, ya que entonces $n$ puede utilizarse para calcular $a$ , y de igual forma para especificar $a$ . Esto permite especificar un elemento menos.

El período orbital se puede encontrar a partir de $n$ dado el hecho de que el movimiento medio se puede describir como una frecuencia (número de órbitas por unidad de tiempo), que es el recíproco del período: ^{[ 3 ]} ${\displaystyle P={\begin{cases}~~{\dfrac {\;\!2\pi \;\!}{n}}&{\mathsf {if}}~~n~~{\mathsf {is\ in\ radians}}\$

El parámetro gravitacional estándar se puede encontrar a partir del movimiento medio y el semieje mayor mediante la siguiente relación (suponiendo que $n$ está en radianes): $\mu =n^{2}a^{3}~.$

La masa del sistema de dos cuerpos (o del cuerpo central) ( $M$ ) se puede encontrar dado el parámetro gravitacional estándar utilizando una reordenación de su definición como el producto de la masa y la constante gravitacional, $M={\frac {\ \mu \ }{G}}~.$

Elementos que describen épocas

Se necesitan dos elementos para describir la posición del cuerpo alrededor de su órbita y el instante en que esto ocurre. Si este instante se define como un punto donde la variable de posición específica es una constante designada (generalmente cero), entonces no es necesario especificarla.

Época ( $t₀$ ) : momento en el que se define uno de los elementos que se describen a continuación. También puede ser el instante en el que se midieron los elementos orbitales. En ocasiones $,$ la época se considera parte del sistema de referencia y no se incluye como un elemento independiente.
Tiempo de paso por el periapsis ( $T₀$ ) : tiempo en el que el cuerpo en órbita se encuentra en el periapsis. Este es también $el$ momento en que la anomalía media y la anomalía verdadera (y otras) son cero, por lo que no es necesario definirlas. Este valor no está definido para órbitas circulares, ya que no tienen un punto de periapsis definido de forma única. ^{[ 2 ]}
Anomalía media en la época ( $M₀$ ) : anomalía media en el instante de la época. La anomalía media es un ángulo matemáticamente conveniente que aumenta linealmente con el tiempo, como si la órbita fuera perfectamente circular. El valor cero se define en el periapsis, y un período abarca 2π $radianes$ $.$ La tasa de aumento de la anomalía media es igual al movimiento medio $n$ . Dado que este ángulo es relativo al periapsis, no está definido para órbitas circulares.
Longitud media en la época ( $L₀$ ) : longitud media en el instante de la época. La longitud media es similar a $la$ anomalía media, ya que aumenta linealmente con el tiempo y no representa el desplazamiento angular real . A diferencia de la anomalía media, la longitud media se define con respecto al punto vernal, lo que significa que se define para órbitas circulares.
Anomalía excéntrica en la época ( $E0$ ) : la anomalía excéntrica en el instante $de$ la época. La anomalía excéntrica se define como el desplazamiento angular a lo largo del círculo auxiliar de la elipse (círculo tangente a la elipse en ambos ápsides). Este valor tiene en cuenta la velocidad variable de los objetos en órbitas elípticas, pero no considera la forma elíptica de la órbita. Por lo tanto, no corresponde al desplazamiento angular real del cuerpo en órbita. Al igual que la anomalía media y la anomalía verdadera, la anomalía excéntrica se mide con respecto al periapsis y no se define para órbitas circulares. Tampoco se define para trayectorias parabólicas e hiperbólicas; en su lugar, se utilizan la anomalía parabólica o la anomalía hiperbólica. ^{[ 3 ]}
Anomalía verdadera en el instante ( $ν₀$ $)$ : ángulo que representa el desplazamiento angular real del cuerpo en órbita en ese instante, teniendo en cuenta la velocidad variable y la forma elíptica de la órbita. Al igual que la anomalía media, la anomalía verdadera se mide con respecto al periapsis y, por lo tanto, presenta las mismas limitaciones que las órbitas circulares.
Longitud verdadera en la época ( $l₀$ ) : el desplazamiento angular del cuerpo en órbita en el momento $de$ la época. A diferencia de la anomalía verdadera, la longitud verdadera se mide con respecto al punto vernal, por lo que puede definirse para órbitas circulares.
Argumento medio de latitud ( $u$ $M0$ ) en la época: el desplazamiento angular del cuerpo en órbita en el momento de la época. El argumento medio de latitud es similar a la anomalía media y la longitud media, pero se mide en relación con el nodo ascendente. Esto significa que, si bien está bien definido para órbitas circulares, no lo está para órbitas ecuatoriales. ^{[ 3 ]}
Argumento de latitud en la época ( $u₀$ ) : el desplazamiento angular del cuerpo en órbita en el instante de la época. Este ángulo se mide con respecto al nodo ascendente, por lo que $,$ si bien está definido para órbitas circulares, no lo está para órbitas ecuatoriales.

Estos elementos también se utilizan para describir la posición de un objeto en su órbita en un contexto más general y no se limitan a describir el estado en un momento determinado.

Relaciones entre elementos

Esta sección contiene las relaciones comunes entre el conjunto de elementos orbitales descritos anteriormente, pero se pueden derivar más relaciones mediante la manipulación de una o más de estas ecuaciones. Los nombres de las variables utilizados aquí son consistentes con los descritos anteriormente. Estas fórmulas también son válidas para las conversiones entre estos elementos en general. (Nota: cambio en la notación: $M$ se redefine para representar ahora la anomalía media , en lugar de la masa del cuerpo central, como se indicó anteriormente).

La época se puede determinar a partir del momento del paso por el periapsis, la anomalía media en esa época y el movimiento medio: $t_{0}\ =\ T_{0}+{\frac {\ M_{0}}{n}}~.$

El tiempo de paso del periapsis se puede encontrar a partir de la época, la anomalía media en la época y el movimiento medio reordenando la ecuación anterior: $T_{0}\ =\ t_{0}-{\frac {\ M_{0}}{n}}~.$

La anomalía media se puede encontrar a partir de la anomalía excéntrica y la excentricidad utilizando la ecuación de Kepler: $M\ =\ E-e\sin E~.$

La longitud media se puede encontrar utilizando la anomalía media en la época y la longitud del periapsis: ^{[ 3 ]} $L\ =\ M+\varpi \ ,\qquad {\mathsf {or}}\qquad L\ =\ M+\omega +\Omega ~.$

La anomalía excéntrica se puede encontrar con la anomalía media y la excentricidad utilizando la ecuación de Kepler. $E\ =\ M+e\sin E$ a través de varios medios, como cálculos iterativos o soluciones numéricas (para algunos valores de $e$ ). Se puede resolver mediante un algoritmo de búsqueda de raíces , generalmente el método de Newton : ^{[ 3 ]} $E_{k+1}~=~E_{k}\ +\ {\frac {\ M-E_{k}+e\sin(E_{k})\ }{1-e\cos(E_{k})}}~.$

Normalmente una suposición inicial de cualquiera de los dos $\ M\ ,$ $\ M-e\ ,$ $\ M+e\ ,$ o $\ M+e\sin M\$ se utilizan. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]} Esta iteración puede repetirse hasta alcanzar el nivel de tolerancia deseado.

La verdadera anomalía se puede encontrar a partir de la anomalía excéntrica utilizando las siguientes relaciones: ${\begin{aligned}\sin \nu \ &=\ {\frac {\ {\sqrt {1-e^{2}\ }}\sin E\ }{1-e\cos E}}\ ,\\\\\cos \nu \ &=\ {\frac {\cos E-e}{\ 1-e\cos E\ }}~.\end{aligned}}$ El cuadrante de la solución se puede resolver utilizando una función atan2( y , x ) . ^{[ 3 ]}

La longitud verdadera se puede encontrar utilizando la anomalía verdadera y la longitud del periapsis: $l\ =\ \nu +\varpi \ ,\qquad {\mathsf {or}}\qquad l\ =\ \nu +\omega +\Omega ~.$

El argumento medio de latitud se puede calcular utilizando la anomalía media y el argumento del periapsis: $u_{M}\ =\ \Omega +M~.$

El argumento de latitud se puede encontrar utilizando la anomalía verdadera y el argumento del periapsis: $u\ =\ \nu +\Omega ~.$

Conjuntos comunes de elementos

Elementos keplerianos clásicos

Si bien en teoría cualquier conjunto de elementos que cumpla con los requisitos anteriores puede usarse para describir una órbita, en la práctica, ciertos conjuntos son mucho más comunes que otros.

Los elementos más comunes que se utilizan para describir el tamaño y la forma de la órbita son el semieje mayor ( $a$ ) y la excentricidad ( $e$ ). A veces se utiliza el semiparámetro ( $p$ ) en lugar del semieje mayor, ya que este último presenta una singularidad en las trayectorias parabólicas y, por lo tanto, no puede utilizarse en este caso. ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

Es común especificar el período ( $P$ ) o el movimiento medio ( $n$ ) en lugar del semieje mayor en conjuntos de elementos keplerianos, ya que cada uno se puede calcular a partir del otro siempre que se conozca el parámetro gravitacional estándar ( $\mu$ ) es conocido por el cuerpo central a través de las relaciones anteriores.

Para la época , el tiempo de época ( $t$ ) junto con la anomalía media ( $M0$ ), $la$ longitud media ( $L0$ ), $la$ anomalía verdadera ( $\nu _{0}$ ) o (más raramente) la anomalía excéntrica ( $E 0$ ) se utilizan con frecuencia. El tiempo de paso del periapsis ( $T 0$ ) también se utiliza a veces para este propósito, ya que su uso elimina la necesidad de especificar la posición en la época. ^{[ 2 ]}

También es bastante común ver la anomalía media o la longitud media expresadas directamente, sin $M 0$ ni $L 0$ como pasos intermedios, como una función lineal del tiempo: $M(t)=M_{0}+n(t-t_{0}).$ Este método de expresión consolida el movimiento medio como la pendiente de esta ecuación lineal.

Elementos según el tipo de cuerpo

La elección de los elementos puede variar según el tipo de cuerpo astronómico. La excentricidad ( $e$ ) y el semieje mayor ( $a$ ) o la distancia del periapsis ( $q$ ) se utilizan para especificar la forma y el tamaño de una órbita. La longitud del nodo ascendente ( $Ω$ ), la inclinación ( $i$ ) y el argumento del periapsis ( $ω$ ) o la longitud del periapsis ( $ϖ$ ) especifican la orientación de la órbita en su plano. La longitud media en la época ( $L₀ ),$ la anomalía media en la época ( $M₀$ ) o el tiempo de paso del periapsis ( $T₀) se utilizan para especificar un punto conocido en la órbita. Las elecciones realizadas dependen de si$ $se$ utiliza el equinoccio vernal o el nodo como referencia principal. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Elementos de dos líneas

Los elementos orbitales se pueden codificar como texto en varios formatos. El más común de ellos es el formato de "elementos de dos líneas" (TLE) de la NASA / NORAD , ^[⁸^] diseñado originalmente para usarse con tarjetas perforadas de 80 columnas , pero que aún se usa porque es el formato más común y los registros ASCII de 80 caracteres pueden manejarse de manera eficiente por las bases de datos modernas.

El formato de elemento de dos líneas enumera la excentricidad ( $e$ ), la inclinación ( $i$ ), la longitud del nodo ascendente ( $Ω$ ), el argumento del periapsis ( $ω$ ), el movimiento medio ( $n$ ), la época ( $t0$ $)$ y la anomalía media en la época ( ^{M0). [8] [3} $]$ Dado ^{que el formato}^está $pensado$ ^{principalmente} para órbitas de la Tierra, el parámetro gravitacional estándar ( $μ$ ) puede asumirse y utilizarse para calcular el semieje mayor con el movimiento medio a través de las relaciones anteriores.

Dependiendo de la aplicación y la órbita del objeto, los datos derivados de TLE con más de 30 días de antigüedad pueden volverse poco fiables. Las posiciones orbitales se pueden calcular a partir de TLE mediante modelos de perturbaciones simplificados ( SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8). ^{[ 9 ]}

Ejemplo de un elemento de dos líneas para el satélite SORCE : ^{[ 10 ]}

1 27651U 03004A 07269.09107561 .00000015 00000-0 17636-4 0 4191 2 27651 039.9956 188.8112 0026975 282.9289 076.8483 14.81973121252789

Variables de Delaunay

Los elementos orbitales de Delaunay fueron introducidos por Charles-Eugène Delaunay durante su estudio del movimiento de la Luna . ^{[ 11 ]} Comúnmente llamados variables de Delaunay , son un conjunto de variables canónicas , que son coordenadas de ángulo de acción . Los ángulos son sumas simples de algunos de los ángulos keplerianos y a menudo se denominan con símbolos diferentes a los de otras aplicaciones ^{[ 12 ]} :

la anomalía media : $\ell =M$ ,
el argumento del periapsis : $g=\omega$ ,
la longitud del nodo ascendente : $h=\Omega$ ,

junto con sus respectivos momentos conjugados $L$ , $G$ y $H.$ ^{[ 13} ] Los momentos $L$ , $G$ y $H$ son las variables ^de acción y son combinaciones más elaboradas de los elementos keplerianos $a$ , $e$ e $i$ .

Las variables de Delaunay se utilizan para simplificar los cálculos perturbativos en mecánica celeste, por ejemplo, al investigar las oscilaciones de Kozai-Lidov en sistemas triples jerárquicos. ^{[ 13 ]} La ventaja de las variables de Delaunay es que permanecen bien definidas y no singulares (excepto $h$ , que puede tolerarse) incluso para órbitas circulares y ecuatoriales.

Perturbaciones y varianza elemental

Las órbitas newtonianas de dos cuerpos , sin perturbaciones , son siempre secciones cónicas , por lo que los elementos keplerianos definen una elipse , parábola o hipérbola invariable . Las órbitas reales presentan perturbaciones, por lo que un conjunto dado de elementos keplerianos describe con precisión una órbita solo en un momento dado. La evolución de los elementos orbitales se produce debido a la atracción gravitatoria de cuerpos distintos del cuerpo primario, la no esfericidad de este último, la resistencia atmosférica , los efectos relativistas , la presión de radiación , las fuerzas electromagnéticas , etc.

Los elementos keplerianos pueden utilizarse para predecir con precisión la posición de un cuerpo en movimiento sobre su órbita. Las trayectorias perturbadas pueden modelarse como una secuencia de órbitas keplerianas. Generalmente, estas órbitas instantáneas se eligen de forma que sean osculantes. Esto significa que rozan la trayectoria real. La evolución de los elementos orbitales que definen las órbitas instantáneas se describe mediante las denominadas ecuaciones planetarias , ecuaciones diferenciales que adoptan diferentes formas, desarrolladas por Lagrange , Gauss , Delaunay , Poincaré o Hill .

Tenga en cuenta que en algunas situaciones las ecuaciones planetarias en al menos dos tipos estándar de elementos orbitales (tipo Lagrange o tipo Delaunay), cuando se perturban, producen elementos que resultan no osculadores. ^{[ 14 ]}

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

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