Geometría ordenada

La geometría ordenada es una forma de geometría que incorpora el concepto de intermediación (o "entre dos mundos"), pero, al igual que la geometría proyectiva , omite la noción básica de medición . La geometría ordenada es una geometría fundamental que conforma un marco común para la geometría afín , euclidiana , absoluta e hiperbólica (pero no para la geometría proyectiva).

Moritz Pasch definió por primera vez una geometría sin referencia a la medición en 1882. Sus axiomas fueron mejorados por Peano (1889), Hilbert (1899) y Veblen (1904). ^{[ 1 ] : 176} Euclides anticipó el enfoque de Pasch en la definición 4 de Los Elementos : "una línea recta es una línea que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". ^{[ 2 ]}

Las únicas nociones primitivas en geometría ordenada son los puntos A , B , C , ... y la relación ternaria de intermediación [ ABC ] que se puede leer como " B está entre A y C ".

El segmento AB es el conjunto de puntos P tales que [ APB ].

El intervalo AB es el segmento AB y sus puntos extremos A y B.

El rayo A / B (que se lee como "el rayo que va de A alejándose de B ") es el conjunto de puntos P tales que [ PAB ].

La recta AB es el intervalo AB y los dos rayos A / B y B / A . Se dice que los puntos sobre la recta AB son colineales .

Un ángulo consta de un punto O (el vértice ) y dos rayos no colineales que salen de O (los lados ).

Un triángulo está formado por tres puntos no colineales (llamados vértices ) y sus tres segmentos AB , BC y CA.

Si tres puntos A , B y C no son colineales, entonces un plano ABC es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos en uno o dos de los lados del triángulo ABC .

Si cuatro puntos A , B , C y D no son coplanares, entonces un espacio ( espacio tridimensional ) ABCD es el conjunto de todos los puntos colineales con pares de puntos seleccionados de cualquiera de las cuatro caras (regiones planas) del tetraedro ABCD .

1. Existen al menos dos puntos.
2. Si A y B son puntos distintos, existe un C tal que [ABC].
3. Si [ ABC ], entonces A y C son distintos ( A ≠ C ).
4. Si [ ABC ], entonces [ CBA ] pero no [ CAB ].
5. Si C y D son puntos distintos en la línea AB , entonces A está en la línea CD .
6. Si AB es una línea, existe un punto C que no está en la línea AB .
7. ( Axioma de Pasch ) Si ABC es un triángulo y [ BCD ] y [ CEA ], entonces existe un punto F en la línea DE para el cual [ AFB ].
8. Axioma de dimensionalidad :
   1. En la geometría ordenada planar, todos los puntos están en un mismo plano. O
   2. Si ABC es un plano, entonces existe un punto D que no está en el plano ABC .
9. Todos los puntos se encuentran en el mismo plano, espacio, etc. (dependiendo de la dimensión con la que se elija trabajar).
10. (Axioma de Dedekind) Para cada partición de todos los puntos de una línea en dos conjuntos no vacíos de tal manera que ningún punto de uno se encuentre entre dos puntos del otro, existe un punto de un conjunto que se encuentra entre todos los demás puntos de ese conjunto y todos los puntos del otro conjunto.

Estos axiomas están estrechamente relacionados con los axiomas de orden de Hilbert . Para un estudio exhaustivo de las axiomatizaciones de la geometría ordenada, véase Pambuccian (2011). ^{[ 3 ]}

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