Teorema de la curva de Jordan

En topología , el teorema de la curva de Jordan ( TCJ ), formulado por Camille Jordan en 1887, afirma que toda curva de Jordan (una curva cerrada simple plana) divide el plano en dos regiones : el interior , delimitado por la curva, ^{[ a ]} , y un exterior no delimitado , que contiene todos los puntos exteriores cercanos y lejanos. Todo camino continuo que conecta un punto de una región con un punto de la otra interseca la curva en algún punto.

Aunque el teorema parece intuitivamente obvio, se requiere cierta ingeniosidad para demostrarlo por medios elementales. «Si bien el JCT es uno de los teoremas topológicos más conocidos, hay muchos, incluso entre matemáticos profesionales, que nunca han leído una demostración del mismo» ( Tverberg (1980 , Introducción) ). Las demostraciones más transparentes se basan en la maquinaria matemática de la topología algebraica , y estas conducen a generalizaciones a espacios de dimensiones superiores .

El teorema de la curva de Jordan recibe su nombre del matemático Camille Jordan (1838-1922), quien publicó su primera demostración en 1887. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Durante décadas, los matemáticos generalmente pensaron que esta demostración era defectuosa y que la primera demostración rigurosa la realizó Oswald Veblen ; sin embargo, esta idea ha sido refutada por Thomas C. Hales y otros. ^{[ 3 ]}

Una curva de Jordan o una curva cerrada simple en el plano${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$es la imagen${\displaystyle C}$de una aplicación continua inyectiva de un círculo en el plano,${\displaystyle \varphi :S^{1}\to \mathbb {R} ^{2}}$Un arco de Jordan en el plano es la imagen de una aplicación continua inyectiva de un intervalo cerrado y acotado.${\displaystyle [a,b]}$en el plano. Es una curva plana que no es necesariamente suave ni algebraica .

Alternativamente, una curva de Jordan es la imagen de un mapa continuo.${\displaystyle \varphi$ :[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}} tal que${\displaystyle \varphi (0)=\varphi (1)}$y la restricción de${\displaystyle \varphi }$a${\displaystyle [0,1)}$es inyectivo. Las dos primeras condiciones dicen que${\displaystyle C}$es un bucle continuo, mientras que la última condición estipula que${\displaystyle C}$no tiene puntos de autointersección.

Con estas definiciones, el teorema de la curva de Jordan se puede enunciar de la siguiente manera:

En cambio, el complemento de un arco de Jordan en el plano está conectado.

El teorema de la curva de Jordan fue generalizado independientemente a dimensiones superiores por H. Lebesgue y L. E. J. Brouwer en 1911, dando como resultado el teorema de separación de Jordan-Brouwer .

La demostración utiliza la teoría de homología . Primero se establece que, de forma más general, si X es homeomorfo a la k- esfera, entonces los grupos de homología integral reducidos de Y = R ^{n +1} \ X son los siguientes:

$${\displaystyle {\tilde {H}}_{q}(Y)={\begin{cases}\mathbb {Z} ,&q=nk{\text{ o }}q=n,\\\{0\},&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}}$$

Esto se demuestra por inducción en k usando la secuencia de Mayer-Vietoris . Cuando n = k , la homología reducida cero de Y tiene rango 1, lo que significa que Y tiene 2 componentes conexas (que son, además, conexas por caminos ), y con un poco de trabajo adicional, se muestra que su frontera común es X. Una generalización más fue encontrada por JW Alexander , quien estableció la dualidad de Alexander entre la homología reducida de un subconjunto compacto X de R ^{n +1} y la cohomología reducida de su complemento. Si X es una subvariedad compacta conexa n -dimensional de R ^{n +1} (o S ^{n +1} ) sin frontera, su complemento tiene 2 componentes conexas.

Existe una versión reforzada del teorema de la curva de Jordan, denominada teorema de Jordan-Schönflies , que establece que las regiones planas interior y exterior determinadas por una curva de Jordan en ^R² son homeomorfas al interior y exterior del disco unitario . En particular, para cualquier punto P en la región interior y un punto A en la curva de Jordan, existe un arco de Jordan que conecta P con A y ^que , con excepción del extremo A , se encuentra completamente en la región interior ^. Una formulación alternativa y equivalente del teorema de Jordan-Schönflies afirma que cualquier curva de Jordan ^{φ :} S₁ → R² , donde S₁ se ^considera el círculo unitario en el plano, puede extenderse a un homeomorfismo ψ : R² → R² del plano. A diferencia de la generalización del teorema de la curva de Jordan de Lebesgue y Brouwer, esta afirmación se vuelve falsa en dimensiones superiores: mientras que el exterior de la bola unitaria en R ³ es simplemente conexo , porque se retrae sobre la esfera unitaria, la esfera con cuernos de Alexander es un subconjunto de R ³ homeomorfo a una esfera , pero tan retorcido en el espacio que el componente no acotado de su complemento en R ³ no es simplemente conexo y, por lo tanto, no es homeomorfo al exterior de la bola unitaria.

Versión discreta

El teorema de la curva de Jordan se puede demostrar a partir del teorema del punto fijo de Brouwer (en dos dimensiones ) ^{[ 4 ]} , y el teorema del punto fijo de Brouwer se puede demostrar a partir del teorema de Hex: "cada partida de Hex tiene al menos un ganador", de lo cual obtenemos una implicación lógica: el teorema de Hex implica el teorema del punto fijo de Brouwer, que a su vez implica el teorema de la curva de Jordan ^{[ 5 ] .}

Es evidente que el teorema de la curva de Jordan implica el "teorema fuerte de Hex": "cada partida de Hex termina con un único ganador, sin posibilidad de que ambos bandos pierdan o ambos ganen"; por lo tanto, el teorema de la curva de Jordan es equivalente al teorema fuerte de Hex, que es un teorema puramente discreto .

El teorema del punto fijo de Brouwer, al estar intercalado entre los dos teoremas equivalentes, también es equivalente a ambos. ^{[ 6 ]}

En matemáticas inversas y matemáticas formalizadas por computadora, el teorema de la curva de Jordan se demuestra comúnmente convirtiéndolo primero a una versión discreta equivalente similar al teorema fuerte de Hex, y luego demostrando la versión discreta. ^{[ 7 ]}

Aplicación al procesamiento de imágenes

En el procesamiento de imágenes , una imagen binaria es una cuadrícula cuadrada discreta de 0 y 1, o equivalentemente, un subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$. Invariantes topológicos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, como el número de componentes, podría no estar bien definido para${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$si${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$no tiene una estructura de grafo definida adecuadamente .

Hay dos estructuras gráficas obvias en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$:

• la "cuadrícula cuadrada de 4 vecinos", donde cada vértice${\displaystyle (x,y)}$está conectado con${\displaystyle (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1)}$.
• la "cuadrícula cuadrada de 8 vecinos", donde cada vértice${\displaystyle (x,y)}$está conectado con${\displaystyle (x',y')}$si y solo si${\displaystyle |x-x'|\leq 1,|y-y'|\leq 1}$, y${\displaystyle (x,y)\neq (x',y')}$.

Ambas estructuras de grafos no satisfacen el teorema fuerte de Hex. La cuadrícula cuadrada de 4 vecinos permite una situación sin ganador, y la cuadrícula cuadrada de 8 vecinos permite una situación con dos ganadores. En consecuencia, las propiedades de conectividad en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, como el teorema de la curva de Jordan, no se generalizan a${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$bajo cualquiera de las estructuras de grafos.

Si se impone la estructura de "cuadrícula cuadrada de 6 vecinos" en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$Entonces, se trata de una cuadrícula hexagonal, y por lo tanto satisface el teorema Hex fuerte, lo que permite generalizar el teorema de la curva de Jordan. Por esta razón, al calcular componentes conexas en una imagen binaria, generalmente se utiliza la cuadrícula cuadrada de 6 vecinos. ^{[ 8 ]}

Teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus

El teorema del tablero de ajedrez de Steinhaus muestra, en cierto sentido, que la cuadrícula de 4 vecinos y la cuadrícula de 8 vecinos "juntos" implican el teorema de la curva de Jordan, y la cuadrícula de 6 vecinos es una interpolación precisa entre ellas. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

El teorema establece lo siguiente: supongamos que colocas bombas en algunos cuadrados de un${\displaystyle n\times n}$tablero de ajedrez, de modo que un rey no pueda moverse del lado inferior al lado superior sin pisar una bomba, entonces una torre puede moverse del lado izquierdo al lado derecho pisando solo bombas.

El enunciado del teorema de la curva de Jordan puede parecer obvio al principio, pero es un teorema bastante difícil de demostrar. Bernard Bolzano fue el primero en formular una conjetura precisa, observando que no era un enunciado autoevidente, sino que requería una demostración. ^{[ 11 ]} Es fácil establecer este resultado para polígonos , pero el problema surgió al generalizarlo a todo tipo de curvas con comportamiento irregular, que incluyen curvas no diferenciables en ningún punto , como el copo de nieve de Koch y otras curvas fractales , o incluso una curva de Jordan de área positiva construida por Osgood (1903) .

La primera demostración de este teorema fue dada por Camille Jordan en sus clases de análisis real y publicada en su libro Cours d'analyse de l'École Polytechnique . ^{[ 1 ]} Existe cierta controversia sobre si la demostración de Jordan fue completa: la mayoría de los comentaristas han afirmado que la primera demostración completa fue dada posteriormente por Oswald Veblen , quien dijo lo siguiente sobre la demostración de Jordan:

Sin embargo, su demostración resulta insatisfactoria para muchos matemáticos. Presupone el teorema sin demostración en el importante caso especial de un polígono simple, y del argumento a partir de ahí, hay que admitir al menos que no se dan todos los detalles. ^{[ 12 ]}

Sin embargo, Thomas C. Hales escribió:

Casi todas las citas modernas que he encontrado coinciden en que la primera demostración correcta se debe a Veblen... En vista de las fuertes críticas a la demostración de Jordan, me sorprendió cuando me senté a leerla y no encontré nada objetable en ella. Desde entonces, me he puesto en contacto con varios de los autores que han criticado a Jordan, y en cada caso el autor ha admitido no tener conocimiento directo de ningún error en la demostración de Jordan. ^{[ 13 ]}

Hales también señaló que el caso especial de polígonos simples no solo es un ejercicio fácil, sino que Jordan realmente no lo utilizó, y citó a Michael Reeken diciendo:

La demostración de Jordan es esencialmente correcta... La demostración de Jordan no presenta los detalles de manera satisfactoria. Pero la idea es correcta, y con algunos retoques la demostración sería impecable. ^{[ 14 ]}

Anteriormente, la demostración de Jordan y otra demostración temprana de Charles Jean de la Vallée Poussin ya habían sido analizadas críticamente y completadas por Schoenflies (1924). ^{[ 15 ]}

Debido a la importancia del teorema de la curva de Jordan en la topología de baja dimensión y el análisis complejo , recibió mucha atención de matemáticos prominentes de la primera mitad del siglo XX. Diversas demostraciones del teorema y sus generalizaciones fueron construidas por JW Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred Pringsheim y Arthur Moritz Schoenflies .

Se siguen realizando nuevas demostraciones elementales del teorema de la curva de Jordan, así como simplificaciones de las demostraciones anteriores.

• Filippov (1950) y Tverberg (1980) presentaron demostraciones elementales .
• Una demostración en análisis no estándar por Narens (1971) .
• Una demostración en matemáticas constructivas por Gordon O. Berg, W. Julian y R. Mines et al. ( 1975 ) . 
• Una demostración que utiliza el teorema del punto fijo de Brouwer por Maehara (1984) .
• Thomassen (1992) dio una demostración utilizando la no planaridad del grafo bipartito completo K _3,3 .

La raíz de la dificultad se explica en Tverberg (1980) de la siguiente manera. Es relativamente sencillo demostrar que el teorema de la curva de Jordan se cumple para todo polígono de Jordan (Lema 1), y que toda curva de Jordan puede aproximarse arbitrariamente bien mediante un polígono de Jordan (Lema 2). Un polígono de Jordan es una cadena poligonal , el límite de un conjunto abierto , conexo y acotado , llamémoslo polígono abierto, y su clausura , el polígono cerrado. Consideremos el diámetro${\displaystyle \delta }$del disco más grande contenido en el polígono cerrado. Evidentemente,${\displaystyle \delta }$es positivo. Usando una secuencia de polígonos de Jordan (que convergen a la curva de Jordan dada) tenemos una secuencia${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\dots }$presumiblemente convergiendo a un número positivo, el diámetro${\displaystyle \delta }$del disco más grande contenido en la región cerrada delimitada por la curva de Jordan. Sin embargo, tenemos que demostrar que la secuencia${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2},\dots }$No converge a cero, utilizando únicamente la curva de Jordan dada, y no la región supuestamente delimitada por dicha curva. Este es el objetivo del Lema 3 de Tverberg. En términos generales, los polígonos cerrados no deberían adelgazarse hasta cero en todas partes. Además, no deberían adelgazarse hasta cero en algún punto, que es el objetivo del Lema 4 de Tverberg.

La primera demostración formal del teorema de la curva de Jordan fue creada por Hales (2007a) en el sistema HOL Light , en enero de 2005, y contenía aproximadamente 60.000 líneas. Otra demostración formal rigurosa de 6.500 líneas fue producida en 2005 por un equipo internacional de matemáticos utilizando el sistema Mizar . Tanto la demostración de Mizar como la de HOL Light se basan en bibliotecas de teoremas previamente demostrados, por lo que estos dos tamaños no son comparables. Nobuyuki Sakamoto y Keita Yokoyama ( 2007 ) demostraron que en matemáticas inversas el teorema de la curva de Jordan es equivalente al lema débil de Kőnig sobre el sistema ${\displaystyle {\mathsf {RCA}}_{0}}$.

En geometría computacional , el teorema de la curva de Jordan se puede utilizar para comprobar si un punto se encuentra dentro o fuera de un polígono simple . ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Desde un punto dado, se traza un rayo que no pase por ningún vértice del polígono (se pueden considerar todos los rayos excepto un número finito). A continuación, se calcula el número n de intersecciones del rayo con una arista del polígono. La demostración del teorema de la curva de Jordan implica que el punto está dentro del polígono si y solo si n es impar .

Adler, Daskalakis y Demaine ^{[ 19 ]} demuestran que una versión computacional del teorema de Jordan es PPAD-completa . Como corolario, muestran que el teorema de Jordan implica el teorema del punto fijo de Brouwer . Esto complementa el resultado anterior de Maehara, que establece que el teorema del punto fijo de Brouwer implica el teorema de Jordan. ^{[ 20 ]}

• Orientación de la curva
• Teorema de Denjoy-Riesz , una descripción de ciertos conjuntos de puntos en el plano que pueden ser subconjuntos de curvas de Jordan.
• Lagos de Wada
• Grupo cuasi-fuchsiano , un grupo matemático que conserva una curva de Jordan.
• Slitherlink , un rompecabezas de lógica cuya respuesta es un único bucle continuo.

• Berg, Gordon O.; Julian, W.; Mines, R.; Richman, Fred (1975), "El teorema de la curva de Jordan constructiva", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 5 (2): 225– 236, doi : 10.1216/RMJ-1975-5-2-225 , ISSN 0035-7596 , MR 0410701  
• Courant, Richard (1978). «V. Topología». Escrito en Oxford. ¿Qué son las matemáticas?:  un enfoque elemental de ideas y métodos . Herbert Robbins ([4.ª ed.]  ed.). Reino Unido: Oxford University Press. pág.  267. ISBN 978-0-19-502517-0OCLC 6450129​​ 
• Filippov, AF (1950), "Una prueba elemental del teorema de Jordan" (PDF) , Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 5 ( 5): 173-176
• Hales, Thomas C. (2007a), "El teorema de la curva de Jordan, formal e informalmente", The American Mathematical Monthly , 114 (10): 882– 894, doi : 10.1080/00029890.2007.11920481 , ISSN 0002-9890 , MR 2363054 , S2CID 887392   
• Hales, Thomas (2007b), "Demostración de Jordan del teorema de la curva de Jordan" (PDF) , Estudios en lógica, gramática y retórica , 10 (23)
• Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF) , págs. 587– 594 
• Maehara, Ryuji (1984), "El teorema de la curva de Jordan mediante el teorema del punto fijo de Brouwer", The American Mathematical Monthly , 91 (10): 641– 643, doi : 10.2307/2323369 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2323369 , MR 0769530   
• Narens, Louis (1971), "Una demostración no estándar del teorema de la curva de Jordan" , Pacific Journal of Mathematics , 36 : 219–229 , doi : 10.2140/pjm.1971.36.219 , ISSN 0030-8730 , MR 0276940  
• Osgood, William F. (1903), "Una curva de Jordan de área positiva", Transactions of the American Mathematical Society , 4 (1): 107– 112, doi : 10.2307/1986455 , ISSN 0002-9947 , JFM 34.0533.02 , JSTOR 1986455   
• Ross, Fiona; Ross, William T. (2011), "El teorema de la curva de Jordan no es trivial", Journal of Mathematics and the Arts , 5 (4): 213– 219, doi : 10.1080/17513472.2011.634320 , S2CID 3257011 Sitio web del autor
• Sakamoto, Nobuyuki; Yokoyama, Keita (2007), "El teorema de la curva de Jordan y el teorema de Schönflies en aritmética débil de segundo orden", Archive for Mathematical Logic , 46 (5): 465–480 , doi : 10.1007/s00153-007-0050-6 , ISSN 0933-5846 , MR 2321588 , S2CID 33627222   
• Thomassen, Carsten (1992), "El teorema de Jordan-Schönflies y la clasificación de superficies", American Mathematical Monthly , 99 (2): 116–130 , doi : 10.2307/2324180 , JSTOR 2324180 
• Tverberg, Helge (1980), "Una demostración del teorema de la curva de Jordan" (PDF) , Bulletin of the London Mathematical Society , 12 (1): 34–38 , CiteSeerX 10.1.1.374.2903 , doi : 10.1112/blms/12.1.34 
• Veblen, Oswald (1905), "Teoría sobre curvas planas en análisis no métrico situs", Transactions of the American Mathematical Society , 6 (1): 83–98 , doi : 10.2307/1986378 , JSTOR 1986378 , MR 1500697  

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Teorema de Jordan" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• La demostración formal completa de 6.500 líneas del teorema de la curva de Jordan en Mizar .
• Recopilación de demostraciones del teorema de la curva de Jordan en la página web de Andrew Ranicki.
• Una demostración sencilla del teorema de la curva de Jordan (PDF) por David B. Gauld
• Brown, R.; Antolino-Camarena, O. (2014). "Corrección a "Grupoides, la propiedad de Phragmen-Brouwer y el teorema de la curva de Jordan", J. Homotopy and Related Structures 1 (2006) 175-183". arXiv : 1404.0556 [ math.AT ].