Haz de orientación

En el campo matemático de la topología algebraica , el haz de orientación en una variedad X de dimensión n es un haz localmente constante o _X en X tal que el tallo de o _X en un punto x es el grupo de homología local.

${\displaystyle o_{X,x}=\operatorname {H} _{n}(X,X-\{x\})}$

(en los coeficientes enteros o en otros coeficientes).

Dejar${\displaystyle \Omega _ {M}^{k}}$Sea el haz de k -formas diferenciales en una variedad M. Si n es la dimensión de M , entonces el haz

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{M}=\Omega _ {M}^{n}\otimes {\mathcal {o}}_{M}}$

se denomina haz de densidades (suaves) en M. El punto es que, si bien se puede integrar una forma diferencial solo si la variedad está orientada , siempre se puede integrar una densidad, independientemente de la orientación o la orientabilidad; existe el mapa de integración:

${\displaystyle \textstyle \int _{M}:\Gamma _{c}(M,{\mathcal {V}}_{M})\to \mathbb {R} .}$

Si M está orientado, es decir, el haz de orientación del fibrado tangente de M es literalmente trivial, entonces lo anterior se reduce a la integración usual de una forma diferencial.

• También existe una definición en términos de complejo dualizante en la dualidad de Verdier ; en particular, se puede definir un haz de orientación relativa utilizando un complejo dualizante relativo.

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2002), Gavillas sobre colectores , Berlín: Springer, ISBN 3540518614

• Dos tipos de orientabilidad/orientación para una variedad diferenciable