Teorema de isomorfismo de Ornstein

En matemáticas , el teorema de isomorfismo de Ornstein es un resultado profundo en la teoría ergódica . Afirma que si dos esquemas de Bernoulli tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomorfos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El resultado, dado por Donald Ornstein en 1970, es importante porque afirma que muchos sistemas que antes se creían no relacionados son de hecho isomorfos; estos incluyen muchos procesos estocásticos estacionarios finitos , incluyendo cadenas de Markov y subdesplazamientos de tipo finito , flujos de Anosov y billares de Sinai , automorfismos ergódicos del n- toro y la transformada de fracción continua .

El teorema es en realidad una colección de teoremas relacionados. El primer teorema establece que si dos desplazamientos de Bernoulli diferentes tienen la misma entropía de Kolmogorov , entonces son isomorfos como sistemas dinámicos . El tercer teorema extiende este resultado a flujos : es decir, que existe un flujo${\displaystyle T_{t}}$de tal manera que${\displaystyle T_{1}}$es un desplazamiento de Bernoulli. El cuarto teorema establece que, para una entropía fija dada, este flujo es único, salvo un reescalamiento constante del tiempo. El quinto teorema establece que existe un único flujo (salvo un reescalamiento constante del tiempo) que tiene entropía infinita. La frase "salvo un reescalamiento constante del tiempo" significa simplemente que si${\displaystyle T_{t}}$y${\displaystyle S_{t}}$Si dos flujos de Bernoulli tienen la misma entropía, entonces${\displaystyle S_{t}=T_{ct}}$para alguna constante c . Los desarrollos también incluyeron demostraciones de que los factores de los desplazamientos de Bernoulli son isomorfos a los desplazamientos de Bernoulli, y dieron criterios para que un sistema dinámico dado que preserva la medida sea isomorfo a un desplazamiento de Bernoulli.

Un corolario de estos resultados es una solución al problema de raíz para los desplazamientos de Bernoulli: Por lo tanto, por ejemplo, dado un desplazamiento T , existe otro desplazamiento${\displaystyle {\sqrt {T}}}$que es isomorfo a él.

La cuestión del isomorfismo se remonta a von Neumann , quien preguntó si los dos esquemas de Bernoulli BS(1/2, 1/2) y BS(1/3, 1/3, 1/3) eran isomorfos o no. En 1959, Ya. Sinai y Kolmogorov respondieron negativamente, demostrando que dos esquemas diferentes no pueden ser isomorfos si no tienen la misma entropía. Específicamente, demostraron que la entropía de un esquema de Bernoulli BS( _p1 ^, p2 , ... , pn ) viene dada por ^{[ 3 ] [ 4} _{] .}

${\displaystyle H=-\sum _{i=1}^{N}p_{i}\log p_{i}.}$

El teorema de isomorfismo de Ornstein, demostrado por Donald Ornstein en 1970, establece que dos esquemas de Bernoulli con la misma entropía son isomorfos . El resultado es preciso, ^{[ 5 ]} ya que sistemas muy similares que no son esquemas no poseen esta propiedad; específicamente, existen sistemas de Kolmogorov con la misma entropía que no son isomorfos. Ornstein recibió el premio Bôcher por este trabajo.

En 1979, Michael S. Keane y M. Smorodinsky dieron una demostración simplificada del teorema de isomorfismo para esquemas simbólicos de Bernoulli. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• Steven Kalikow, Randall McCutcheon (2010) Esquema de la teoría ergódica , Cambridge University Press
• Donald Ornstein (2001) [1994], "Teorema de isomorfismo de Ornstein" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Donald Ornstein (2008), " Teoría de Ornstein " Scholarpedia, 3 (3):3957.
• Daniel J. Rudolph (1990) Fundamentos de la dinámica medible: Teoría ergódica en espacios de Lebesgue , Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press , Nueva York, 1990. ISBN 0-19-853572-4