Línea central (geometría)

La línea central asociada con el incentro X ₁ = 1  : 1  : 1 (también denotada por I ) es $${\displaystyle x+y+z=0.}$$ Esta línea es el eje antiórtico de △ ABC . ^{[ 6 ]}

• El conjugado isogonal del incentro del triángulo ABC es el propio incentro. Por lo tanto, el eje antiórtico, que es la línea central asociada al incentro, es el eje de perspectiva del triángulo ABC y su triángulo incentral (el triángulo ceviano del incentro del triángulo ABC ) .
• El eje antiórtico de △ ABC es el eje de perspectiva de △ ABC y el triángulo excentral △ I ₁ I ₂ I ₃ de △ ABC . ^{[ 7 ]}
• El triángulo cuyos lados son tangentes externamente a las excircunferencias de △ ABC es el triángulo extangente de △ ABC . △ ABC y su triángulo extangente están en perspectiva y el eje de perspectiva es el eje antiórtico de △ ABC .

Las coordenadas trilineales del centroide X ₂ (también denotado por G ) del triángulo ABC son: $${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$ Así pues, la línea central asociada al centroide es la línea cuya ecuación trilineal es $${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}$$ Esta línea es el eje de Lemoine , también llamado línea de Lemoine , de △ ABC .

• El conjugado isogonal del centroide X ₂ es el punto simediano X ₆ (también denotado por K ) que tiene coordenadas trilineales a  : b  : c . Por lo tanto, el eje de Lemoine de △ ABC es la polar trilineal del punto simediano de △ ABC .
• El triángulo tangente de △ ABC es el triángulo △ T _A T _B T _C formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita de △ ABC en sus vértices. △ ABC y su triángulo tangente están en perspectiva y el eje de perspectiva es el eje de Lemoine de △ ABC .

Las coordenadas trilineales del circuncentro X ₃ (también denotado por O ) del triángulo ABC son: $${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$ Así pues, la línea central asociada al circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es $${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}$$ Esta línea es el eje órtico del triángulo ABC . ^{[ 8 ]}

• El conjugado isogonal del circuncentro X3 es el ortocentro _X4 (también denotado por _H ) con coordenadas trilineales sec A : sec B : sec C. Por lo tanto , el eje órtico del triángulo ABC es la polar trilineal del ortocentro del triángulo ABC . El eje órtico del triángulo ABC es el eje de perspectiva del triángulo ABC y de su triángulo órtico H A _H B _{H C.} También es el eje radical de la circunferencia circunscrita y del círculo de nueve puntos del triángulo .  

Las coordenadas trilineales del ortocentro X ₄ (también denotado por H ) del triángulo ABC son: $${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$ Así pues, la línea central asociada al circuncentro es la línea cuya ecuación trilineal es $${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$$

• El conjugado isogonal del ortocentro de un triángulo es el circuncentro del triángulo. Por lo tanto, la línea central asociada al ortocentro es la polar trilineal del circuncentro.

Las coordenadas trilineales del centro de nueve puntos X ₅ (también denotado por N ) de △ ABC son: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \cos(BC):\cos(CA):\cos(AB).}$$ Así pues, la línea central asociada al centro de nueve puntos es la línea cuya ecuación trilineal es $${\displaystyle x\cos(BC)+y\cos(CA)+z\cos(AB)=0.}$$

• El conjugado isogonal del centro de nueve puntos de △ ABC es el punto de Kosnita X ₅₄ de △ ABC . ^{[ 10 ] [ 11 ]} Por lo tanto, la línea central asociada con el centro de nueve puntos es la polar trilineal del punto de Kosnita.
• El punto de Kosnita se construye de la siguiente manera. Sea O el circuncentro del triángulo ABC . Sean OA , OB _y ​​OC _los circuncentros de los triángulos BOC , COA y AOB _, respectivamente. Las rectas AOA , BOB _{y COC} son concurrentes _, y el punto de concurrencia es el punto de Kosnita del triángulo ABC . El nombre se debe a J. Rigby. ^{[ 12 ]}

Las coordenadas trilineales del punto simediano X ₆ (también denotado por K ) del triángulo ABC son: $${\displaystyle a:b:c}$$ Así pues, la línea central asociada al punto simediano es la línea cuya ecuación trilineal es $${\displaystyle ax+by+cz=0.}$$

• Esta línea es la línea en el infinito en el plano de △ ABC .
• El conjugado isogonal del punto simediano del triángulo ABC es el centroide de dicho triángulo . Por lo tanto, la línea central asociada al punto simediano es la polar trilineal del centroide. Este es el eje de perspectiva del triángulo ABC y su triángulo medial .

La recta de Euler del triángulo ABC es la recta que pasa por el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el centro de los nueve puntos del triángulo ABC . La ecuación trilineal de la recta de Euler es: $${\displaystyle x\sin 2A\sin(BC)+y\sin 2B\sin(CA)+z\sin 2C\sin(AB)=0.}$$ Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X ₆₄₇ .

La recta de Nagel del triángulo ABC es la recta que pasa por el centroide, el incentro, el centro de Spieker y el punto de Nagel del triángulo ABC . La ecuación trilineal de la recta de Nagel es: $${\displaystyle xa(bc)+yb(ca)+zc(ab)=0.}$$ Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X ₆₄₉ .

El eje de Brocard del triángulo ABC es la recta que pasa por el circuncentro y el punto simediano del triángulo ABC . Su ecuación trilineal es $${\displaystyle x\sin(BC)+y\sin(CA)+z\sin(AB)=0.}$$ Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X ₅₂₃ .

La línea de Gergonne del triángulo ABC es la polar trilineal del punto de Gergonne . Es perpendicular a la línea de Soddy del triángulo ABC . Su ecuación trilineal es$${\displaystyle xa(sa)+yb(sb)+zc(sc)=0,}$$donde s es el semiperímetro del triángulo ABC . Esta es la línea central asociada con el centro del triángulo X ₅₅ .