Polinomios ortogonales

En matemáticas , una sucesión de polinomios ortogonales es una familia de polinomios tal que cualesquiera dos polinomios diferentes de la sucesión son ortogonales entre sí bajo algún producto interno .

Los polinomios ortogonales más utilizados son los polinomios ortogonales clásicos , que incluyen los polinomios de Hermite , los de Laguerre y los de Jacobi . Los polinomios de Gegenbauer constituyen la clase más importante de polinomios de Jacobi; entre ellos se encuentran los polinomios de Chebyshev y los de Legendre como casos particulares. Estos se suelen expresar mediante la fórmula de Rodrigues .

El campo de los polinomios ortogonales se desarrolló a finales del siglo XIX a partir de un estudio de fracciones continuas realizado por P. L. Chebyshev y fue continuado por A. A. Markov y T. J. Stieltjes . Aparecen en una amplia variedad de campos: análisis numérico ( reglas de cuadratura ), teoría de la probabilidad , teoría de la representación (de grupos de Lie , grupos cuánticos y objetos relacionados), combinatoria enumerativa , combinatoria algebraica , física matemática (teoría de matrices aleatorias , sistemas integrables , etc.) y teoría de números . Algunos de los matemáticos que han trabajado con polinomios ortogonales son Gábor Szegő , Sergei Bernstein , Naum Akhiezer , Arthur Erdélyi , Yakov Geronimus , Wolfgang Hahn , Theodore Seio Chihara , Mourad Ismail , Waleed Al-Salam , Richard Askey y Rehuel Lobatto .

Definición para el caso de una variable para una medida real

Dada cualquier función no decreciente $α$ sobre los números reales, podemos definir la integral de Lebesgue-Stieltjes. $\int f(x)\,d\alpha (x)$ de una función f . Si esta integral es finita para todos los polinomios f , podemos definir un producto interno en pares de polinomios f y g mediante $\langle f,g\rangle =\int f(x)g(x)\,d\alpha (x).$

Esta operación es un producto interno semidefinido positivo en el espacio vectorial de todos los polinomios, y es definido positivo si la función α tiene un número infinito de puntos de crecimiento. Induce una noción de ortogonalidad en el sentido habitual, a saber, que dos polinomios son ortogonales si su producto interno es cero.

Entonces, la sucesión $(P n) \infty n =0$ de polinomios ortogonales se define por las relaciones $\deg P_{n}=n~,\quad \langle P_{m},\,P_{n}\rangle =0\quad {\text{para}}\quad m\neq n~.$

En otras palabras, la secuencia se obtiene a partir de la secuencia de monomios 1, x , x ² , … mediante el proceso de Gram-Schmidt con respecto a este producto interno.

Por lo general, se requiere que la secuencia sea ortonormal , es decir, $\langle P_{n},P_{n}\rangle =1,$ Sin embargo, en ocasiones se utilizan otras normalizaciones.

Caso absolutamente continuo

A veces tenemos $d\alpha (x)=W(x)\,dx$ dónde $W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R}$ es una función no negativa con soporte en algún intervalo $[x 1, x 2]$ en la recta real (donde se permiten $x 1 = -\infty$ y $x 2 = \infty$ ). Dicha $W$ se denomina función de peso . ^{[ 1 ]} Entonces, el producto interno viene dado por $\langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\,dx.$ Sin embargo, hay muchos ejemplos de polinomios ortogonales donde la medida $dα (x)$ tiene puntos con medida no nula donde la función $α$ es discontinua, por lo que no puede ser dada por una función de peso $W$ como la anterior.

Ejemplos de polinomios ortogonales

Los polinomios ortogonales más utilizados son aquellos que son ortogonales para una medida con soporte en un intervalo real. Esto incluye:

Los polinomios ortogonales clásicos ( polinomios de Jacobi , polinomios de Laguerre , polinomios de Hermite y sus casos especiales: polinomios de Gegenbauer , polinomios de Chebyshev y polinomios de Legendre ).
Los polinomios de Wilson , que generalizan los polinomios de Jacobi. Incluyen muchos polinomios ortogonales como casos especiales, como los polinomios de Meixner-Pollaczek , los polinomios continuos de Hahn , los polinomios duales continuos de Hahn y los polinomios clásicos, descritos por el esquema de Askey.
Los polinomios de Askey-Wilson introducen un parámetro adicional q en los polinomios de Wilson.

Los polinomios ortogonales discretos son ortogonales con respecto a alguna medida discreta . A veces, la medida tiene soporte finito, en cuyo caso la familia de polinomios ortogonales es finita, en lugar de una sucesión infinita. Los polinomios de Racah son ejemplos de polinomios ortogonales discretos e incluyen como casos especiales los polinomios de Hahn y los polinomios duales de Hahn , que a su vez incluyen como casos especiales los polinomios de Meixner , los polinomios de Krawtchouk y los polinomios de Charlier .

Meixner clasificó todas las secuencias de Sheffer ortogonales : solo existen las de Hermite, Laguerre, Charlier, Meixner y Meixner-Pollaczek. En cierto modo, Krawtchouk también debería estar en esta lista, pero se trata de una secuencia finita. Estas seis familias corresponden a las NEF-QVF y son polinomios de martingala para ciertos procesos de Lévy .

Los polinomios ortogonales tamizados , como los polinomios ultrasféricos tamizados , los polinomios de Jacobi tamizados y los polinomios de Pollaczek tamizados , tienen relaciones de recurrencia modificadas .

También se pueden considerar polinomios ortogonales para alguna curva en el plano complejo . El caso más importante (aparte de los intervalos reales) es cuando la curva es el círculo unitario, lo que da lugar a polinomios ortogonales en el círculo unitario , como los polinomios de Rogers-Szegő .

Existen algunas familias de polinomios ortogonales que son ortogonales en regiones planas como triángulos o discos. A veces se pueden escribir en términos de polinomios de Jacobi. Por ejemplo, los polinomios de Zernike son ortogonales en el disco unitario .

La ventaja de la ortogonalidad entre polinomios de Hermite de diferentes órdenes se aplica a la estructura de multiplexación por división de frecuencia generalizada (GFDM). Se puede transportar más de un símbolo en cada cuadrícula de la red tiempo-frecuencia. ^{[ 2 ]}

Propiedades

Los polinomios ortogonales de una variable definidos por una medida no negativa en la recta real tienen las siguientes propiedades.

Relación con los momentos

Los polinomios ortogonales P _n pueden expresarse en términos de los momentos

m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)

como sigue:

P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,

donde las constantes c _n son arbitrarias (dependen de la normalización de P _n ).

Esto proviene directamente de aplicar el proceso de Gram-Schmidt a los monomios, imponiendo que cada polinomio sea ortogonal con respecto a los anteriores. Por ejemplo, la ortogonalidad con $P_{0}$ prescribe que $P_{1}$ debe tener el formulario $P_{1}(x)=c_{1}\left(x-{\frac {\langle P_{0},x\rangle P_{0}}{\langle P_{0},P_{0}\rangle }}\right)=c_{1}(x-m_{1}),$ lo cual puede verse que es consistente con la expresión dada previamente con el determinante.

Relación de recurrencia

Los polinomios P _n satisfacen una relación de recurrencia de tres términos de la forma

P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)

donde A _n no es 0. Lo contrario también es cierto; véase el teorema de Favard . Estas relaciones de recurrencia son clave para derivar propiedades de los polinomios ortogonales.

Fórmula de Christoffel-Darboux

Ceros

Si la medida d α está soportada en un intervalo [ a , b ], todos los ceros de P _n se encuentran en [ a , b ]. Además, los ceros tienen la siguiente propiedad de entrelazamiento: si m < n , hay un cero de P _n entre cualesquiera dos ceros de P _m .

Interpretación combinatoria

Desde la década de 1980, con el trabajo de XG Viennot, J. Labelle, Y.-N. Yeh, D. Foata y otros, se encontraron interpretaciones combinatorias para todos los polinomios ortogonales clásicos. ^{[ 3 ]}

Otros tipos de polinomios ortogonales

Polinomios ortogonales multivariados

Los polinomios de Macdonald son polinomios ortogonales en varias variables, dependiendo de la elección de un sistema de raíces afín . Incluyen muchas otras familias de polinomios ortogonales multivariables como casos especiales, entre ellos los polinomios de Jack , los polinomios de Hall-Littlewood , los polinomios de Heckman-Opdam y los polinomios de Koornwinder . Los polinomios de Askey-Wilson son un caso especial de los polinomios de Macdonald para un sistema de raíces no reducido de rango 1.

Polinomios ortogonales múltiples

Los polinomios ortogonales múltiples son polinomios de una variable que son ortogonales con respecto a una familia finita de medidas.

Polinomios ortogonales de Sobolev

Se trata de polinomios ortogonales respecto a un producto interno de Sobolev , es decir, un producto interno con derivadas. La inclusión de derivadas tiene importantes consecuencias para los polinomios; en general, estos ya no comparten algunas de las características deseables de los polinomios ortogonales clásicos.

Polinomios ortogonales con matrices

Los polinomios ortogonales con matrices tienen coeficientes que son matrices o bien la indeterminada es una matriz.

Hay dos ejemplos populares: o bien los coeficientes $\{a_{i}\}$ son matrices o $x$ :

Variante 1: $P(x)=A_{n}x^{n}+A_{n-1}x^{n-1}+\cdots +A_{1}x+A_{0}$ , dónde $\{A_{i}\}$ son $p\times p$ matrices.
Variante 2: $P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}I_{p}$ dónde $X$ es un $p\times p$ -matriz y $I_{p}$ es la matriz identidad .

Polinomios cuánticos

Los polinomios cuánticos o q-polinomios son los q-análogos de los polinomios ortogonales.

Polinomios anti-ortogonales

Los polinomios ortogonales pueden definirse como un conjunto base vectorial. $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ de una forma bilineal simétrica $B$ sobre polinomios. En la base de los polinomios ortogonales, la forma bilineal se diagonaliza como $B(P_{i},P_{j})=B(P_{i},P_{i})\delta _{ij}$ De manera similar, dada una forma bilineal antisimétrica no degenerada sobre polinomios, podemos encontrar un par de conjuntos de bases vectoriales. $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ y $Q_{0},Q_{1},Q_{2},\dots$ , de tal manera que la forma bilineal se diagonaliza de forma sesgada como $B(P_{i},Q_{j})=B(P_{i},Q_{i})\delta _{ij}$ .

Véase también

Secuencia de apelación
Esquema clave de polinomios ortogonales hipergeométricos
Teorema de Favard
Secuencias polinómicas de tipo binomial
Polinomios biorthogonales
Series de Fourier generalizadas
Polinomios pseudo-Jacobi
- Polinomios de Romanovski
Medida secundaria
secuencia de Sheffer
teoría de Sturm-Liouville
Cálculo umbral
Asintótica de Plancherel-Rotach

Referencias

↑ Demostración de polinomios ortonormales obtenidos para diferentes funciones de peso.
↑ Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). "Diseño de un transceptor eficiente para formas de onda superpuestas con polinomios ortogonales". 2017 IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom) . pp. 1–5 . doi : 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657 . ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277 .
↑ Viennot, Xavier (2017). "El arte de la combinatoria biyectiva, parte IV, teoría combinatoria de polinomios ortogonales y fracciones continuas" . Chennai: IMSc.

Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 22» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
Chihara, Theodore Seio (1978). Introducción a los polinomios ortogonales . Gordon and Breach, Nueva York. ISBN 0-677-04150-0.
Chihara, Theodore Seio (2001). "45 años de polinomios ortogonales: una vista desde bambalinas" . Actas del Quinto Simposio Internacional sobre Polinomios Ortogonales, Funciones Especiales y sus Aplicaciones (Patras, 1999). Journal of Computational and Applied Mathematics . 133 (1): 13– 21. Bibcode : 2001JCoAM.133...13C . doi : 10.1016/S0377-0427(00)00632-4 . ISSN 0377-0427 . MR 1858267 .
Foncannon, JJ; Foncannon, JJ; Pekonen, Osmo (2008). "Revisión de Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable por Mourad Ismail". The Mathematical Intelligencer . 30. Springer New York: 54–60 . doi : 10.1007/BF02985757 . ISSN 0343-6993 . S2CID 118133026 .
Ismail, Mourad EH (2005). Polinomios ortogonales clásicos y cuánticos en una variable . Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-78201-5.
Jackson, Dunham (2004) [1941]. Series de Fourier y polinomios ortogonales . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-43808-2.
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .
"Polinomios ortogonales" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Szegő, Gábor (1939). Polinomios ortogonales . Publicaciones del Coloquio. Vol. XXIII. Sociedad Matemática Americana. ISBN 978-0-8218-1023-1MR 0372517 . {{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
Totik, Vilmos (2005). "Polinomios ortogonales". Surveys in Approximation Theory . 1 : 70–125 . arXiv : math.CA/0512424 .
C. Chan, A. Mironov, A. Morozov, A. Sleptsov, arXiv : 1712.03155 .
Herbert Stahl y Vilmos Totik: Polinomios ortogonales generales, Cambridge Univ. Press, ISBN 978-0-521-41534-7 (1992).
G. Sansone: Funciones ortogonales, (Edición revisada en inglés), Dover, ISBN 978-0-486-77730-0 (1991).

[1] Demostración de polinomios ortonormales obtenidos para diferentes funciones de peso.

[2] Catak, E.; Durak-Ata, L. (2017). "Diseño de un transceptor eficiente para formas de onda superpuestas con polinomios ortogonales". 2017 IEEE International Black Sea Conference on Communications and Networking (BlackSeaCom) . pp. 1–5 . doi : 10.1109/BlackSeaCom.2017.8277657 . ISBN 978-1-5090-5049-9. S2CID 22592277 .

[3] Viennot, Xavier (2017). "El arte de la combinatoria biyectiva, parte IV, teoría combinatoria de polinomios ortogonales y fracciones continuas" . Chennai: IMSc.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]