Curva del pedal

Consideremos P como el origen. Para una curva dada por la ecuación F ( x , y )=0, si la ecuación de la recta tangente en R =( x ₀ , y ₀ ) se escribe en la forma

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

Entonces, el vector (cos α, sin α) es paralelo al segmento PX , y la longitud de PX , que es la distancia desde la línea tangente al origen, es p . Así, X se representa mediante las coordenadas polares ( p , α) y al reemplazar ( p , α) por ( r , θ) se obtiene una ecuación polar para la curva del pedal. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, ^{[ 3 ]} para la elipse

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

_La recta tangente en R = ( x₀ , y₀ ) _es

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

y escribir esto en la forma dada anteriormente requiere que

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

La ecuación de la elipse se puede usar para eliminar x ₀ e y ₀ dando como resultado

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

y al convertir a ( r , θ) se obtiene

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

como la ecuación polar para el pedal. Esto se convierte fácilmente en una ecuación cartesiana como

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

Para P el origen y C dado en coordenadas polares por r  = f (θ). Sea R =( r , θ) un punto en la curva y sea X =( p , α) el punto correspondiente en la curva pedal. Sea ψ el ángulo entre la línea tangente y el vector radio, a veces conocido como ángulo tangencial polar . Está dado por 

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

Entonces

${\displaystyle p=r\sin \psi }$

y

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

Estas ecuaciones pueden usarse para producir una ecuación en p y α que, al ser traducida a r y θ, da una ecuación polar para la curva del pedal. ^{[ 4 ]}

Por ejemplo, ^{[ 5 ]} sea la curva el círculo dado por r = a cos θ. Entonces

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

entonces

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

También

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

Entonces, la ecuación polar del pedal es

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

Las ecuaciones del pedal de una curva y su pedal están estrechamente relacionadas. Si se toma P como el punto del pedal y el origen, entonces se puede demostrar que el ángulo ψ entre la curva y el vector de radio en un punto R es igual al ángulo correspondiente para la curva del pedal en el punto X. Si p es la longitud de la perpendicular trazada desde P a la tangente de la curva (es decir, PX ) y q es la longitud de la perpendicular correspondiente trazada desde P a la tangente al pedal, entonces por triángulos semejantes

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

De ello se deduce inmediatamente que si la ecuación del pedal de la curva es f ( p , r )=0 entonces la ecuación del pedal para la curva del pedal es ^{[ 6 ]}

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

A partir de esto, se pueden calcular fácilmente todos los pedales positivos y negativos si se conoce la ecuación del pedal de la curva.

Dejar ${\displaystyle {\vec {v}}=PR}$ Sea el vector de R a P y escriba

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$,

los componentes tangenciales y normales de${\displaystyle {\vec {v}}}$con respecto a la curva. Entonces${\displaystyle {\vec {v}}_{\paralelo }}$es el vector de R a X a partir del cual se puede calcular la posición de X.

Específicamente, si c es una parametrización de la curva, entonces

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

Parametriza la curva del pedal (ignorando los puntos donde c' es cero o no está definido).

Para una curva definida paramétricamente, su curva de pedal con punto de pedal (0;0) se define como

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

La curva contrapedal viene dada por:

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

Con el mismo punto pedal, la curva contrapedal es la curva pedal de la evoluta de la curva dada.

Cuando C es un círculo, la discusión anterior muestra que las siguientes definiciones de limaçon son equivalentes:

• Es el pedal de un círculo.
• Es la envoltura de círculos cuyos diámetros tienen un extremo en un punto fijo y el otro extremo sigue una circunferencia.
• Es la envoltura de círculos que pasan por un punto fijo y cuyos centros siguen una circunferencia.
• Es la ruleta formada por un círculo que rueda alrededor de otro círculo con el mismo radio.

También hemos demostrado que la catacáustica de un círculo es la evoluta de un limaçon.