Cáustica (matemáticas)

En geometría diferencial , una cáustica es la envolvente de los rayos reflejados o refractados por una variedad . Está relacionada con el concepto de cáusticas en óptica geométrica . La fuente del rayo puede ser un punto (llamado radiante) o rayos paralelos que parten de un punto en el infinito, en cuyo caso debe especificarse un vector de dirección de los rayos.

De forma más general, especialmente en lo que respecta a la geometría simpléctica y la teoría de singularidades , una cáustica es el conjunto de valores críticos de una aplicación lagrangiana ( π ○ i )  : L ↪ M ↠ B ; donde i  : L ↪ M es una inmersión lagrangiana de una subvariedad lagrangiana L en una variedad simpléctica M , y π  : M ↠ B es una fibración lagrangiana de la variedad simpléctica M . La cáustica es un subconjunto del espacio base B de la fibración lagrangiana . ^{[ 1 ]}

La concentración de luz, especialmente la luz solar , puede causar quemaduras. De hecho, la palabra cáustico proviene del griego καυστός, que significa quemado, a través del latín causticus , que significa ardiente.

Una situación común donde se observan cáusticas es cuando la luz incide sobre un vaso. El vaso proyecta una sombra, pero también produce una región curva de luz brillante. En circunstancias ideales (incluyendo rayos perfectamente paralelos, como si provinieran de una fuente puntual en el infinito), se puede producir una mancha de luz con forma de nefroide . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Las cáusticas ondulantes se forman comúnmente cuando la luz atraviesa las olas en una masa de agua.

Otro ejemplo conocido de cáustica es el arco iris . ^{[ 4 ] [ 5 ]} La dispersión de la luz por las gotas de lluvia hace que diferentes longitudes de onda de luz se refracten en arcos de radio diferente, produciendo el arco.

Un catacáustico es el caso reflectante.

Con un radiante, es la evoluta de la ortotómica del radiante.

El caso de rayos fuente paralelos y planos: supongamos que el vector de dirección es${\displaystyle (a,b)}$y la curva del espejo se parametriza como${\displaystyle (u(t),v(t))}$. El vector normal en un punto es${\displaystyle (-v'(t),u'(t))}$; la reflexión del vector de dirección es (normal necesita una normalización especial)

${\displaystyle 2{\mbox{proj}}_{n}dd={\frac {2n}{\sqrt {n\cdot n}}}{\frac {n\cdot d}{\sqrt {n\cdot n}}}-d=2n{\frac {n\cdot d}{n\cdot n}}-d={\frac {(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2},bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})}{v'^{2}+u'^{2}}}}$

Al tener componentes del vector reflejado encontrado, trátelo como una tangente.

${\displaystyle (xu)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})=(yv)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2}).}$

Utilizando el formulario de sobre más sencillo

${\displaystyle F(x,y,t)=(x-u)(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-(y-v)(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})}$

${\displaystyle =x(bu'^{2}-2au'v'-bv'^{2})-y(av'^{2}-2bu'v'-au'^{2})+b(uv'^{2}-uu'^{2}-2vu'v')+a(-vu'^{2}+vv'^{2}+2uu'v')}$

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x(bu'u''-a(u'v''+u''v')-bv'v'')-2y(av'v''-b(u''v'+u'v'')-au'u'')}$

${\displaystyle +b(u'v'^{2}+2uv'v''-u'^{3}-2uu'u''-2u'v'^{2}-2u''vv'-2u'vv'')+a(-v'u'^{2}-2vu'u''+v'^{3}+2vv'v''+2v'u'^{2}+2v''uu'+2v'uu'')}$

lo cual puede ser antiestético, pero${\displaystyle F=F_{t}=0}$da un sistema lineal en${\displaystyle (x,y)}$Por lo tanto, es elemental obtener una parametrización de la catacáustica. La regla de Cramer sería útil.

• El problema de Alhazen
• Lugar geométrico de corte (variedad riemanniana)
• Última declaración geométrica de Jacobi
• Cáustico nefroide

• Weisstein, Eric W. "Cáustico" . MathWorld .