Teoría de la oscilación

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , una solución no trivial a una ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle F(x,y,y',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}\quad x\in [0,+\infty )}$

Se denomina oscilante si tiene un número infinito de raíces ; de lo contrario, se denomina no oscilante . La ecuación diferencial se denomina oscilante si tiene una solución oscilante. El número de raíces también proporciona información sobre el espectro de problemas de contorno asociados .

La ecuación diferencial

${\displaystyle y''+y=0}$

está oscilando ya que sin( x ) es una solución.

La teoría de la oscilación fue iniciada por Jacques Charles François Sturm en sus investigaciones sobre los problemas de Sturm-Liouville a partir de 1836. En ellas demostró que la n-ésima autofunción de un problema de Sturm-Liouville tiene precisamente n-1 raíces. Para la ecuación de Schrödinger unidimensional, la cuestión de la oscilación/no oscilación responde a la pregunta de si los autovalores se acumulan en el fondo del espectro continuo.

En 1996, Gesztesy , Simon y Teschl demostraron que el número de raíces del determinante de Wronski de dos autofunciones de un problema de Sturm-Liouville proporciona el número de autovalores entre los autovalores correspondientes. Posteriormente, Krüger y Teschl generalizaron este resultado al caso de dos autofunciones de dos problemas de Sturm-Liouville diferentes. El estudio del número de raíces del determinante de Wronski de dos soluciones se conoce como teoría de oscilaciones relativas.

Los resultados clásicos en la teoría de oscilaciones son:

• Teorema de Kneser (ecuaciones diferenciales)
• Teorema de comparación de Sturm-Picone
• Teorema de separación de Sturm

• Atkinson, FV (1964). Problemas de frontera discretos y continuos . Academic Press. ISBN 978-0-08-095516-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
• Gesztesy, F.; Simon, B.; Teschl, G. (1996). "Ceros del Wronskiano y teoría de oscilación renormalizada" (PDF) . Am. J. Math . 118 (3): 571– 594. doi : 10.1353/ajm.1996.0024 . S2CID 14430688 . 
• Kreith, K. (1973). Teoría de la oscilación . Notas de clase en matemáticas. Vol.  324. Springer. doi : 10.1007/BFb0067537 . ISBN 978-3-540-40005-9.
• Krüger, H.; Teschl, G. (2009). "Teoría de oscilación relativa, ceros ponderados del Wronskiano y la función de desplazamiento espectral". Commun. Math. Phys . 287 (2): 613– 640. arXiv : math/0703574 . Bibcode : 2009CMaPh.287..613K . doi : 10.1007/s00220-008-0600-8 . S2CID 881636 . 
• Sturm, JCF (1836). "Mémoire Sur les Equations différentielles linéaires du second ordre" . J. Matemáticas. Pures Appl . 1 : 106-186 .Reimpreso en Pont, Jean-Claude, ed. (2009). Obras completas de Charles François Sturm . Springer. pp. 392– 472. doi : 10.1007/978-3-7643-7990-2_30 . 
• Swanson, CA (2016) [1968]. Comparación y teoría de oscilación de ecuaciones diferenciales lineales . Elsevier. ISBN 978-1-4832-6667-1.
• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Weidmann, J. (1987). Teoría espectral de operadores diferenciales ordinarios . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1258. Springer. doi : 10.1007/BFb0077960 . ISBN 978-3-540-47912-3.