Teorema de separación de Sturm

En matemáticas , en el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de separación de Sturm , que lleva el nombre de Jacques Charles François Sturm , describe la ubicación de las raíces de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden . Básicamente, el teorema establece que, dadas dos soluciones linealmente independientes de dicha ecuación, los ceros de ambas soluciones se alternan.

Si u ( x ) y v ( x ) son dos soluciones continuas linealmente independientes no triviales de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, con x ₀ y x ₁ como raíces sucesivas de u ( x ), entonces v ( x ) tiene exactamente una raíz en el intervalo abierto ( x ₀ , x ₁ ). Este es un caso especial del teorema de comparación de Sturm-Picone .

Desde${\displaystyle \displaystyle u}$y${\displaystyle \displaystyle v}$son linealmente independientes, por lo tanto, el Wronskiano${\displaystyle \displaystyle W[u,v]}$debe satisfacer${\displaystyle W[u,v](x)\equiv W(x)\neq 0}$a pesar de${\displaystyle \displaystyle x}$donde se define la ecuación diferencial, por ejemplo${\displaystyle \displaystyle I}$Sin pérdida de generalidad, supongamos que${\displaystyle W(x)<0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in I}$. Entonces $${\displaystyle u(x)v'(x)-u'(x)v(x)\neq 0.}$$ Entonces en${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$$${\displaystyle W(x_{0})=-u'\left(x_{0}\right)v\left(x_{0}\right)}$$ y cualquiera${\displaystyle u'\left(x_{0}\right)}$y${\displaystyle v\left(x_{0}\right)}$son ambos positivos o ambos negativos. Sin pérdida de generalidad, supongamos que ambos son positivos. Ahora, en${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$$${\displaystyle W(x_{1})=-u'\left(x_{1}\right)v\left(x_{1}\right)}$$ y desde${\displaystyle \displaystyle x=x_{0}}$y${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$son ceros sucesivos de${\displaystyle \displaystyle u(x)}$causa${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)<0}$Por lo tanto, para mantener${\displaystyle \displaystyle W(x)<0}$debemos tener${\displaystyle v\left(x_{1}\right)<0}$. Lo vemos al observar que si${\displaystyle \displaystyle u'(x)>0{\mbox{ }}\forall {\mbox{ }}x\in \left(x_{0},x_{1}\right]}$entonces${\displaystyle \displaystyle u(x)}$estaría aumentando (alejándose del${\displaystyle \displaystyle x}$eje), lo que nunca conduciría a un cero en${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$. Entonces, para que ocurra un cero en${\displaystyle \displaystyle x=x_{1}}$a lo sumo${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)=0}$(es decir,${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)\leq 0}$y resulta que, según nuestro resultado del Wronskiano ,${\displaystyle u'\left(x_{1}\right)\leq 0}$). Así que en algún punto del intervalo${\displaystyle \left(x_{0},x_{1}\right)}$el signo de${\displaystyle \displaystyle v(x)}$cambiado. Por el Teorema del Valor Intermedio existe${\displaystyle x^{*}\in \left(x_{0},x_{1}\right)}$de tal manera que${\displaystyle v\left(x^{*}\right)=0}$.

Por otro lado, solo puede haber un cero en${\displaystyle \left(x_{0},x_{1}\right)}$porque de lo contrario${\displaystyle v}$tendría dos ceros y no habría ceros de${\displaystyle u}$En el medio, y se acaba de demostrar que esto es imposible.

• Teschl, G. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence : American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.