Ecuaciones de Oseen

En dinámica de fluidos , las ecuaciones de Oseen (o flujo de Oseen ) describen el flujo de un fluido viscoso e incompresible a números de Reynolds pequeños , tal como las formuló Carl Wilhelm Oseen en 1910. El flujo de Oseen es una descripción mejorada de estos flujos, en comparación con el flujo de Stokes , con la inclusión (parcial) de la aceleración convectiva . ^{[ 1 ]}

El trabajo de Oseen se basa en los experimentos de G. G. Stokes , quien estudió la caída de una esfera a través de un fluido viscoso . Desarrolló un término de corrección, que incluía factores de inercia , para la velocidad del flujo utilizada en los cálculos de Stokes, con el fin de resolver el problema conocido como la paradoja de Stokes . Su aproximación mejora los cálculos de Stokes.

Las ecuaciones de Oseen son, en el caso de un objeto que se mueve con una velocidad de flujo constante U a través del fluido —que está en reposo lejos del objeto— y en un sistema de referencia unido al objeto: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}-\rho \mathbf {U} \cdot \nabla \mathbf {u} &=-\nabla p\,+\,\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} ,\\\nabla \cdot \mathbf {u} &=0,\end{aligned}}}$$ dónde

• u es la perturbación en la velocidad del flujo inducida por el objeto en movimiento, es decir, la velocidad total del flujo en el marco de referencia que se mueve con el objeto es − U + u ,
• p es la presión ,
• ρ es la densidad del fluido,
• μ es la viscosidad dinámica ,
• ∇ es el operador gradiente , y
• ∇ ² es el operador de Laplace .

Las condiciones de contorno para el flujo de Oseen alrededor de un objeto rígido son: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\mathbf {U} &&{\text{en la superficie del objeto}},\\\mathbf {u} &\to 0&&{\text{y}}\quad p\to p_{\infty }\quad {\text{para}}\quad r\to \infty ,\end{aligned}}}$$ donde r es la distancia desde el centro del objeto y p _∞ es la presión no perturbada lejos del objeto.

Fuente: ^{[ 2 ]}

Una propiedad fundamental de la ecuación de Oseen es que la solución general se puede dividir en ondas longitudinales y transversales .

Una solución${\displaystyle \left(\mathbf {u} _{\text{L}},p'\right)}$es una onda longitudinal si la velocidad es irrotacional y, por lo tanto, el término viscoso desaparece. Las ecuaciones se convierten en $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{L}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{L}}}_{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p=0,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} _{\text{L}}=0,\quad \nabla \times \mathbf {u} _{\text{L}}=0}$$

En consecuencia $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{L}}=\nabla \phi ,\quad \nabla ^{2}\phi =0,\quad p'=p-p_{\infty }=-\rho U\mathbf {u} _{\text{L}}}$$

La velocidad se deriva de la teoría del potencial y la presión de las ecuaciones linealizadas de Bernoulli.

Una solución${\displaystyle (\mathbf {u} _{\text{T}},0)}$es una onda transversal si la presión${\displaystyle p'}$es idénticamente cero y el campo de velocidad es solenoidal. Las ecuaciones son $${\displaystyle {\mathbf {u} _{\text{T}}}_{t}+U{\mathbf {u} _{\text{T}}}_{x}=\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} _{\text{T}},\quad \nabla \cdot \mathbf {u_{T}} =0.}$$

Entonces, la solución completa de Oseen viene dada por $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}}$$

un teorema de descomposición debido a Horace Lamb . ^{[ 3 ]} La descomposición es única si se cumplen las condiciones en el infinito (por ejemplo,${\displaystyle \mathbf {u} =0,\ p=p_{\infty }}$) se especifican.

Para ciertos flujos de Oseen, es posible una mayor división de la onda transversal en componentes irrotacionales y rotacionales.${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}.}$Dejar${\displaystyle \chi }$Sea la función escalar que satisface${\displaystyle U\chi _{x}=\nu \nabla ^{2}\chi }$y se desvanece en el infinito y, a la inversa, dejemos${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=(u_{\text{T}},v_{\text{T}})}$ser dado de tal manera que${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }v_{\text{T}}\,dy=0}$, entonces la onda transversal es $${\displaystyle \mathbf {u} _{\text{T}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi +\chi \mathbf {i} ,\quad \mathbf {u} _{\text{1}}=-{\frac {\nu }{U}}\nabla \chi ,\quad \mathbf {u} _{\text{2}}=\chi \mathbf{i}.}$$ dónde${\displaystyle \chi }$se determina a partir de${\textstyle \chi ={\frac {U}{\nu }}\int _{y}^{\infty }v_{T}\,dy}$y${\displaystyle \mathbf {i} }$es el vector unitario .${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$o${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$son transversales por sí mismas, pero${\displaystyle \mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$es transversal. Por lo tanto, $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{\text{T}}=\mathbf {u} _{\text{L}}+\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}}$$

El único componente rotacional es ser${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$.

Fuente: ^{[ 2 ]}

La solución fundamental debida a una fuerza puntual singular incrustada en un flujo de Oseen es el Oseenlet . Se han derivado soluciones fundamentales en forma cerrada para los flujos generalizados no estacionarios de Stokes y Oseen asociados con movimientos de traslación y rotación arbitrarios dependientes del tiempo para fluidos newtonianos ^{[ 4 ]} y micropolares ^{[ 5 ]} .

Utilizando la ecuación de Oseen, Horace Lamb logró derivar expresiones mejoradas para el flujo viscoso alrededor de una esfera en 1911, perfeccionando la ley de Stokes para números de Reynolds algo mayores. ^{[ 1 ]} Además, Lamb derivó —por primera vez— una solución para el flujo viscoso alrededor de un cilindro circular. ^{[ 1 ]}

La solución a la respuesta de una fuerza singular${\displaystyle \mathbf {f} }$cuando no hay límites externos se escribirá como $${\displaystyle U\mathbf {u} _{x}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\mathbf {f} ,\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$$

Si${\displaystyle \mathbf {f} =\delta (q,q_{o})\mathbf {a} }$, dónde${\displaystyle \delta (q,q_{o})}$es la fuerza singular concentrada en el punto${\displaystyle q_{o}}$y${\displaystyle q}$es un punto arbitrario y${\displaystyle \mathbf {a} }$es el vector dado, que da la dirección de la fuerza singular, entonces en ausencia de límites, la velocidad y la presión se derivan del tensor fundamental${\displaystyle \Gamma (q,q_{o})}$y el vector fundamental${\displaystyle \Pi (q,q_{o})}$$${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\Gamma (q,q_{o})\mathbf {a} ,\quad p'=p-p_{\infty }=\Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {a} }$$

Ahora bien, si${\displaystyle \mathbf {f} }$es una función arbitraria del espacio, la solución para un dominio no acotado es $${\displaystyle \mathbf {u} (q)=\int \Gamma (q,q_{o})\mathbf {f} (q_{o})dq_{o},\quad p'(q)=\int \Pi (q,q_{o})\cdot \mathbf {f} (q_{o})dq_{o}}$$ dónde${\displaystyle dq_{o}}$es el elemento de volumen/área infinitesimal alrededor del punto${\displaystyle q_{o}}$.

Oseen consideró que la esfera estaba estacionaria y que el fluido fluía con una velocidad de flujo (${\displaystyle U}$) a una distancia infinita de la esfera. Los términos inerciales se despreciaron en los cálculos de Stokes. ^{[ 6 ]} Es una solución límite cuando el número de Reynolds tiende a cero. Cuando el número de Reynolds es pequeño y finito, como 0,1, se necesita una corrección para el término inercial. Oseen sustituyó los siguientes valores de velocidad de flujo en las ecuaciones de Navier-Stokes . $${\displaystyle u_{1}=u+u_{1}',\qquad u_{2}=u_{2}',\qquad u_{3}=u_{3}'.}$$

Al insertar estos términos en las ecuaciones de Navier-Stokes y despreciar los términos cuadráticos en las cantidades primadas, se obtiene la aproximación de Oseen: $${\displaystyle u{\partial u_{1}' \over \partial x_{1}}=-{1 \over \rho }{\partial p \over \partial x_{1}}+\nu \nabla ^{2}u_{i}'\qquad \left({i=1,2,3}\right).}$$

Dado que el movimiento es simétrico con respecto a${\displaystyle x}$Si el eje y la divergencia del vector de vorticidad es siempre cero, obtenemos: $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{U \over 2v}{\partial \over \partial x}\right)\chi =G(x)=0}$$ la función${\displaystyle G(x)}$puede eliminarse agregando a una función adecuada en${\displaystyle x}$, es la función de vorticidad, y la función anterior se puede escribir como: $${\displaystyle {U \over v}{\partial u' \over \partial x}=\nabla ^{2}u'}$$ y mediante cierta integración la solución para${\displaystyle \chi }$es: $${\displaystyle e^{-Ux \over 2v}\chi ={{Ce^{-U\operatorname {Re} \over 2v}} \over \operatorname {Re} }}$$ así, al dejar${\displaystyle x}$sea ​​la "dirección privilegiada" que produce: $${\displaystyle \varphi ={A_{0} \over \operatorname {Re} }+A_{1}{\partial \over \partial x}{1 \over \operatorname {Re} }+A_{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{1 \over \operatorname {Re} }+\ldots }$$

Luego, aplicando las tres condiciones de contorno, obtenemos $${\displaystyle C=-{3 \over 2}Ua,\ A_{0}=-{3 \over 2}va,\ A_{1}={1 \over 4}Ua^{3}\ {\text{, etc.}}}$$ El nuevo coeficiente de arrastre mejorado ahora es: $${\displaystyle C_{\text{d}}={12 \over \operatorname {Re} }\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right)}$$ y finalmente, cuando la solución de Stokes se resolvió sobre la base de la aproximación de Oseen, se demostró que la fuerza de arrastre resultante viene dada por $${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,au\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} \right),}$$

dónde:

• ${\displaystyle \mathrm {Re} =\rho ua/\mu }$es el número de Reynolds basado en el radio de la esfera,${\displaystyle a}$
• ${\displaystyle F}$es la fuerza hidrodinámica
• ${\displaystyle u}$es la velocidad del flujo
• ${\displaystyle \mu \,}$es la viscosidad del fluido

La fuerza de la ecuación de Oseen difiere de la de Stokes por un factor de $${\displaystyle 1+{3 \over 8}\mathrm {Re} .}$$

Las ecuaciones para la perturbación son: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla u'&~=0\\u\cdot \nabla u'&~=-\nabla p+\nu \nabla ^{2}u',\end{aligned}}}$$ pero cuando el campo de velocidad es: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{y}&=u\cos \theta \left({1+{a^{3} \over 2r^{3}}-{3a \over 2r}}\right)\\u_{z}&=-u\sin \theta \left({1-{a^{3} \over 4r^{3}}-{3a \over 4r}}\right).\end{aligned}}}$$

En el campo lejano${\displaystyle {r \over a}}$Si ≫ 1, la tensión viscosa está dominada por el último término. Es decir: $${\displaystyle \nabla ^{2}u'=O\left({a^{3} \over r^{3}}\right).}$$

El término de inercia está dominado por el término: $${\displaystyle u{\partial u' \over \partial z_{1}}\sim O\left({a^{2} \over r^{2}}\right).}$$

El error viene dado entonces por la razón: $${\displaystyle u{{\partial u' \over \partial z_{1}} \over {\nu \nabla ^{2}u'}}=O\left({r \over a}\right).}$$

Esto se vuelve ilimitado para${\displaystyle {r \over a}}$≫ 1, por lo tanto, la inercia no puede ignorarse en el campo lejano. Tomando el rotacional, la ecuación de Stokes da${\displaystyle \nabla ^{2}\zeta \,=0.}$ Dado que el cuerpo es una fuente de vorticidad ,${\displaystyle \zeta \,}$se volvería ilimitado logarítmicamente para grandes${\displaystyle {r \over a}.}$Esto es ciertamente irreal y se conoce como la paradoja de Stokes .

Consideremos el caso de una esfera sólida que se mueve en un líquido estacionario con velocidad constante. El líquido se modela como un fluido incompresible (es decir, con densidad constante ), y el hecho de que esté estacionario significa que su velocidad tiende a cero a medida que la distancia a la esfera se aproxima al infinito.

En el caso de un cuerpo real, se producirá un efecto transitorio debido a su aceleración al comenzar su movimiento; sin embargo, después de un tiempo suficiente, tenderá a cero, de modo que la velocidad del fluido en todas partes se aproximará a la obtenida en el caso hipotético en el que el cuerpo ya se está moviendo durante un tiempo infinito.

Así pues, suponemos una esfera de radio a que se mueve a velocidad constante.${\displaystyle {\vec {U}}}$, en un fluido incompresible que está en reposo en el infinito. Trabajaremos en coordenadas${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$que se mueven junto con la esfera con el centro de coordenadas ubicado en el centro de la esfera. Tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|=a\right)&={\vec {U}}\\{\vec {u}}\left(\left\|{{\vec {x}}_{m}}\right\|\rightarrow \infty \right)&\rightarrow 0\end{aligned}}}$$

Dado que estas condiciones de contorno, así como la ecuación de movimientos, son invariantes en el tiempo (es decir, no cambian al desplazar el tiempo).${\displaystyle t\rightarrow t+\Delta t}$) cuando se expresa en el${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$coordenadas, la solución depende del tiempo solo a través de estas coordenadas.

Las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Navier-Stokes definidas en las coordenadas del sistema de referencia en reposo.${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {x}}_{m}-{\vec {U}}\cdot t}$Si bien las derivadas espaciales son iguales en ambos sistemas de coordenadas, la derivada temporal que aparece en las ecuaciones satisface: $${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)}{\partial t}}=\sum _{i}{{\frac {d{x_{m}}_{i}}{dt}}{\frac {\partial {\vec {u}}\left({\vec {x}}_{m}\right)}{\partial {x_{m}}_{i}}}}=-\left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}_{m}\right){\vec {u}}}$$ donde la derivada${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{m}}$es con respecto a las coordenadas móviles${\displaystyle {\vec {x}}_{m}}$. De ahora en adelante omitiremos el subíndice m .

La aproximación de Oseen se resume a descuidar el término no lineal en${\displaystyle {\vec {u}}}$De este modo, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles se convierten en: $${\displaystyle \left({\vec {U}}\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {u}}+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}={\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p}$$ para un fluido con densidad ρ y viscosidad cinemática ν = μ / ρ ( siendo μ la viscosidad dinámica ). p es la presión .

Debido a la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0}$La solución se puede expresar mediante un potencial vectorial .${\displaystyle {\vec {\psi }}}$. Esto resulta estar dirigido a la${\displaystyle {\vec {\varphi }}}$La dirección y su magnitud son equivalentes a la función de corriente utilizada en problemas bidimensionales. Resulta ser: $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=Ua^{2}\left(-{\frac {a}{4r^{2}}}\sin \theta +3{\frac {1-\cos \theta }{r\sin \theta }}{\frac {1-e^{-{\frac {Rr}{4a}}(1+\cos \theta )}}{R}}\right)\\{\vec {u}}&={\vec {\nabla }}\times (\psi {\hat {\varphi }})={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\psi \sin \theta \right){\hat {r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\psi \right){\hat {\theta }}\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle R=2aU/\nu }$es el número de Reynolds para el flujo cerca de la esfera.

Tenga en cuenta que en algunas notaciones${\displaystyle \psi }$es reemplazado por${\displaystyle \Psi =\psi \cdot r\sin \theta }$para que la derivación de${\displaystyle {\vec {u}}}$de${\displaystyle \Psi }$es más similar a su derivación de la función de corriente en el caso bidimensional (en coordenadas polares).

Cabe preguntarse, sin embargo, si el término de corrección se eligió al azar, ya que en un sistema de referencia que se mueve con la esfera, el fluido cerca de ella está casi en reposo, y en esa región la fuerza de inercia es despreciable y la ecuación de Stokes está bien justificada. ^{[ 6 ]} Lejos de la esfera, la velocidad del flujo se aproxima a u y la aproximación de Oseen es más precisa. ^{[ 6 ]} Pero la ecuación de Oseen se obtuvo aplicando la ecuación a todo el campo de flujo. Esta cuestión fue respondida por Proudman y Pearson en 1957, ^{[ 8 ]} quienes resolvieron las ecuaciones de Navier-Stokes y dieron una solución de Stokes mejorada en las proximidades de la esfera y una solución de Oseen mejorada en el infinito, e igualaron las dos soluciones en una supuesta región común de su validez. Obtuvieron:

$${\displaystyle F=6\pi \,\mu \,aU\left(1+{3 \over 8}\operatorname {Re} +{9 \over 40}\operatorname {Re} ^{2}\ln \operatorname {Re} +{\mathcal {O}}\left(\operatorname {Re} ^{2}\right)\right).}$$

El método y la formulación para el análisis del flujo a un número de Reynolds muy bajo son importantes. El movimiento lento de partículas pequeñas en un fluido es común en bioingeniería . La formulación de arrastre de Oseen se puede utilizar en relación con el flujo de fluidos bajo diversas condiciones especiales, tales como: contención de partículas, sedimentación de partículas, centrifugación o ultracentrifugación de suspensiones, coloides y sangre mediante el aislamiento de tumores y antígenos. ^{[ 6 ]} El fluido ni siquiera tiene que ser líquido, y las partículas no necesitan ser sólidas. Puede utilizarse en varias aplicaciones, como la formación de smog y la atomización de líquidos.

El flujo sanguíneo en vasos pequeños, como los capilares , se caracteriza por números de Reynolds y Womersley bajos . Un vaso de 10 µm de diámetro con un flujo de 1 milímetro/segundo , una viscosidad sanguínea de 0,02 poise , una densidad de 1 g/cm³ ^y una frecuencia cardíaca de 2 Hz , tendrá un número de Reynolds de 0,005 y un número de Womersley de 0,0126. Con estos bajos números de Reynolds y Womersley, los efectos viscosos del fluido se vuelven predominantes. Comprender el movimiento de estas partículas es esencial para la administración de fármacos y el estudio de la metástasis del cáncer.