Teorema de división

En el campo matemático de la geometría diferencial , existen varios teoremas de descomposición que determinan cuándo una variedad pseudoriemanniana puede expresarse como un producto métrico. El más conocido es el teorema de descomposición de Cheeger-Gromoll para variedades riemannianas, aunque también se ha investigado la descomposición de variedades lorentzianas .

Cualquier variedad riemanniana conexa M posee una estructura de espacio métrico subyacente , lo que permite definir una línea geodésica como una aplicación c : ℝ → M tal que la distancia de c ( s ) a c ( t ) es igual a | t − s | para valores arbitrarios de s y t . Esto significa que la restricción de c a cualquier intervalo acotado es una curva de longitud mínima que conecta sus extremos. ^{[ 1 ]}

En 1971, Jeff Cheeger y Detlef Gromoll demostraron que si una variedad riemanniana geodésicamente completa y conexa de curvatura de Ricci no negativa contiene alguna línea geodésica, entonces debe dividirse isométricamente como el producto de una variedad riemanniana completa con ℝ . La demostración fue posteriormente simplificada por Jost Eschenburg y Ernst Heintze. En 1936, Stefan Cohn-Vossen había formulado y demostrado originalmente el teorema en el caso de variedades bidimensionales, y Victor Toponogov había extendido el trabajo de Cohn-Vossen a dimensiones superiores, bajo la condición especial de curvatura seccional no negativa . ^{[ 2 ]}

La demostración se puede resumir de la siguiente manera. ^{[ 3 ]} La condición de una línea geodésica permite definir dos funciones de Busemann . Estas pueden considerarse una función de distancia riemanniana normalizada a los dos extremos de la línea. A partir del teorema fundamental de comparación laplaciana demostrado previamente por Eugenio Calabi , estas funciones son ambas superarmónicas bajo la hipótesis de curvatura de Ricci. Cualquiera de estas funciones podría ser negativa en algunos puntos, pero la desigualdad triangular implica que su suma es no negativa. El principio del máximo fuerte implica que la suma es idénticamente cero y, por lo tanto, que cada función de Busemann es, de hecho, (débilmente) una función armónica . El lema de Weyl implica la diferenciabilidad infinita de las funciones de Busemann. Entonces, la demostración puede completarse utilizando la fórmula de Bochner para construir campos vectoriales paralelos , estableciendo el teorema de descomposición de de Rham . ^{[ 4 ]} Alternativamente, se puede invocar la teoría de las submersiones riemannianas . ^{[ 5 ]}

Como consecuencia de su teorema de escisión, Cheeger y Gromoll pudieron demostrar que el recubrimiento universal de cualquier variedad cerrada de curvatura de Ricci no negativa debe escindirse isométricamente como el producto de una variedad cerrada con un espacio euclidiano . Si el recubrimiento universal es topológicamente contraíble , entonces se deduce que todas las métricas involucradas deben ser planas . ^{[ 6 ]}

En 1982, Shing-Tung Yau conjeturó que una versión lorentziana particular del teorema de Cheeger y Gromoll debería ser válida. ^{[ 7 ]} Jost Eschenburg, Gregory Galloway y Richard Newman hallaron demostraciones con distintos niveles de generalidad. En estos resultados, el papel de la completitud geodésica se sustituye por la condición de hiperbolicidad global o de completitud geodésica temporal . La no negatividad de la curvatura de Ricci se sustituye por la condición de convergencia temporal de que la curvatura de Ricci sea no negativa en todas las direcciones temporales. Se requiere que la línea geodésica sea temporal. ^{[ 8 ]}

Notas.

Historical articles.

Libros de texto.