Colector de Osserman

En matemáticas , particularmente en geometría diferencial , una variedad de Osserman es una variedad riemanniana en la que el polinomio característico del operador de Jacobi de vectores tangentes unitarios es una constante en el fibrado tangente unitario . ^{[ 1 ]} Recibe su nombre del matemático estadounidense Robert Osserman .

Dejar${\displaystyle M^{n}}$sea ​​una variedad riemanniana . Para un punto${\displaystyle p\in M^{n}}$y un vector unitario${\displaystyle X\in T_{p}M^{n}}$, el operador Jacobi${\displaystyle R_{X}}$se define por${\displaystyle R_{X}=R(X,\cdot )X}$, dónde${\displaystyle R}$es el tensor de curvatura de Riemann . ^{[ 2 ]} Una variedad${\displaystyle M^{n}}$se denomina Osserman puntual si, para cada${\displaystyle p\in M^{n}}$El espectro del operador de Jacobi no depende de la elección del vector unitario.${\displaystyle X}$. La variedad se denomina globalmente Osserman si el espectro no depende ni de${\displaystyle X}$ni en${\displaystyle p}$Todos los espacios homogéneos de dos puntos son globalmente Osserman, incluidos los espacios euclidianos .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$espacios proyectivos reales${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$, esferas${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$espacios hiperbólicos${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$espacios proyectivos complejos${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$espacios hiperbólicos complejos${\displaystyle \mathbb {CH} ^{n}}$espacios proyectivos cuaterniónicos${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$espacios hiperbólicos cuaterniónicos${\displaystyle \mathbb {HH} ^{n}}$, el plano proyectivo de Cayley${\displaystyle \mathbb {C} ayP^{2}}$y el plano hiperbólico de Cayley${\displaystyle \mathbb {C} síH^{2}}$. ^{[ 2 ]}

Las estructuras de Clifford son fundamentales para el estudio de las variedades de Osserman. Un tensor de curvatura algebraico${\displaystyle R}$en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$tiene un${\displaystyle {\text{Acantilado}}(\nu )}$-estructura si se puede expresar como

${\displaystyle R(X,Y)Z=\lambda _ {0}(\langle X,Z\rangle Y-\langle Y,Z\rangle X)+\sum _ {i=1}^{\nu }{\frac {1}{3}}(\lambda _ {i}-\lambda _ {0})(2\langle J_ {i}X,Y\rangle J_ {i}Z+\langle J_{i}Z,Y\rangle J_{i}X-\langle J_{i}Z,X\rangle J_{i}Y)}$

dónde${\displaystyle J_{i}}$son operadores ortogonales antisimétricos que satisfacen las relaciones de Hurwitz${\displaystyle J_{i}J_{j}+J_{j}J_{i}=-2\delta _{ij}I}$. ^{[ 3 ]} Se dice que una variedad riemanniana tiene${\displaystyle {\text{Acantilado}}(\nu )}$-estructura si su tensor de curvatura también lo hace. Estas estructuras surgen naturalmente de representaciones unitarias de álgebras de Clifford y proporcionan una forma de construir ejemplos de variedades de Osserman. El estudio de las variedades de Osserman tiene conexiones con la geometría isoespectral , las variedades de Einstein , los operadores de curvatura en geometría diferencial y la clasificación de espacios simétricos . ^{[ 2 ]}

La conjetura de Osserman pregunta si toda variedad de Osserman es una variedad plana o localmente un espacio simétrico de rango uno . ^{[ 4 ]}

Se ha avanzado considerablemente en esta conjetura, estableciéndose pruebas para variedades de dimensión${\displaystyle n}$dónde${\displaystyle n}$no es divisible por 4 o${\displaystyle n=4}$Para variedades de Osserman puntuales, la conjetura se cumple en dimensiones${\displaystyle n\neq 2}$no divisible por 4. El caso de variedades con exactamente dos autovalores del operador de Jacobi ha sido estudiado extensamente, y la conjetura ha sido demostrada excepto para casos específicos en dimensión 16. ^{[ 2 ]}

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