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Producto externo

En álgebra lineal , el producto exterior de dos vectores de coordenadas es la matriz cuyas entradas son todos productos de un elemento del primer vector con un elemento del segu...

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En álgebra lineal , el producto exterior de dos vectores de coordenadas es la matriz cuyas entradas son todos productos de un elemento del primer vector con un elemento del segundo. Si los dos vectores de coordenadas tienen dimensiones m y n , su producto exterior es una matriz m × n . De forma más general, dados dos tensores (matrices multidimensionales de números), su producto exterior es un tensor. El producto exterior de tensores también se denomina producto tensorial y puede utilizarse para definir el álgebra tensorial .

El producto exterior contrasta con:

Definición

Dados dos vectores columna ,tú{\displaystyle \mathbf {u} }de tamañometro×1{\displaystyle m\times 1}y​v{\displaystyle \mathbf {v} }de tamañonorte×1{\displaystyle n\times 1},tú=[tú1tú2⋮túmetro],v=[v1v2⋮vnorte]{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}} su producto exteriortúvT{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}, [ 1 ] [ 2 ] a veces denotadotú⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }, es el producto matricial del vector columna ⁠tú{\displaystyle \mathbf {u} }⁠ veces el vector fila ⁠vT{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}⁠ . Esto es unmetro×norte{\displaystyle m\times n}matriz cuyas entradas son cada una un posible producto de un elemento detú{\displaystyle \mathbf {u} }⁠ veces un elemento de ⁠v{\displaystyle \mathbf {v} }: [ 3 ]​tú⊗v=túvT=[tú1tú2…túmetro][v1v2…vnorte]=[tú1v1tú1v2…tú1vnortetú2v1tú2v2…tú2vnorte⋮⋮⋱⋮túmetrov1túmetrov2…túmetrovnorte].{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\dots \\u_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\dots &v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}.} O, en notación de índice, (tú⊗v)ij=túivj.{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}.}

El producto exterior de dos vectores siempre tiene rango ⁠1{\displaystyle 1}⁠ , y a la inversa, toda matriz de rango ⁠1{\displaystyle 1}⁠ se puede escribir como un producto exterior.

Para vectores complejos con valores en , es común definir el producto exterior en términos de la transpuesta conjugada dev{\displaystyle \mathbf {v} }, denotadov†{\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }},vH{\displaystyle \mathbf {v} ^{\textsf {H}}}, ov∗{\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}: tú⊗v=túv†.{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }.} La transpuesta conjugada de una matriz se obtiene al tomar el conjugado complejo de cada elemento de la transpuesta de la matriz.

Contrasta con el producto interno euclidiano.

Simetro=norte,{\displaystyle m=n,}entonces se puede tomar el producto matricial en el orden opuesto, de un vector fila por un vector columna, para obtener un escalar (o1×1{\displaystyle 1\times 1}matriz): ⟨tú,v⟩=túTv=tú1v1+tú2v2+⋯+túnortevnorte.{\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\dots +u_{n}v_{n}.} Este es el producto escalar estándar para el espacio vectorial euclidiano .Rnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}⁠ . [ 2 ] El producto escalar es la traza del producto exterior. [ 4 ] A diferencia del producto escalar, el producto exterior no es conmutativo.

Multiplicación de un vectorw{\displaystyle \mathbf {w} }por la matriztú⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }se puede escribir en términos del producto interno, utilizando la relación(tú⊗v)w=(túvT)w=tú(vTw)=tú⟨v,w⟩{\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =(\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})\mathbf {w} =\mathbf {u} (\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} )=\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }.

El producto exterior de tensores

Dados dos tensorestú,v{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }con dimensiones(k1,k2,…,kmetro){\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}y(l1,l2,…,lnorte){\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}, su producto exteriortú⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }es un tensor con dimensiones(k1,k2,…,kmetro,l1,l2,…,lnorte){\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}y entradas (tú⊗v)i1,i2,…imetro,j1,j2,…,jnorte=túi1,i2,…,imetrovj1,j2,…,jnorte{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}

Por ejemplo, siA{\displaystyle \mathbf {A} }es de orden 3 con dimensiones(3,5,7){\displaystyle (3,5,7)}yB{\displaystyle \mathbf {B} }es de orden 2 con dimensiones(10,100),{\displaystyle (10,100),}luego su producto exteriordo{\displaystyle \mathbf {C} }es de orden 5 con dimensiones(3,5,7,10,100).{\displaystyle (3,5,7,10,100).}SiA{\displaystyle \mathbf {A} }tiene un componente A [2, 2, 4] = 11 yB{\displaystyle \mathbf {B} }tiene un componente B [8, 88] = 13 , entonces el componente dedo{\displaystyle \mathbf {C} }El producto exterior formado es C [2, 2, 4, 8, 88] = 143 .

Conexión con el producto Kronecker

El producto exterior y el producto de Kronecker están estrechamente relacionados; de hecho, se suele utilizar el mismo símbolo para denotar ambas operaciones.

Sitú=[123]T{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}yv=[45]T{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}, tenemos: tú⊗Kronv=[458101215],tú⊗exteriorv=[458101215]{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

En el caso de vectores columna, el producto de Kronecker puede verse como una forma de vectorización (o aplanamiento) del producto exterior. En particular, para dos vectores columnatú{\displaystyle \mathbf {u} }yv{\displaystyle \mathbf {v} }, podemos escribir: tú⊗Kronv=vector⁡(v⊗exteriortú){\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}

(El orden de los vectores se invierte en el lado derecho de la ecuación).

Otra identidad similar que resalta aún más la similitud entre las operaciones es tú⊗KronvT=túvT=tú⊗exteriorv{\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }

donde no es necesario invertir el orden de los vectores. La expresión intermedia utiliza la multiplicación de matrices, donde los vectores se consideran matrices columna/fila.

Conexión con el producto de la matriz

Dado un par de matricesA{\displaystyle \mathbf {A} }de tamañometro×pag{\displaystyle m\times p}yB{\displaystyle \mathbf {B} }de tamañopag×norte{\displaystyle p\times n}, consideremos el producto matricialdo=AB{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }definida como de costumbre como una matriz de tamañometro×norte{\displaystyle m\times n}.

Ahora dejemosakcolumna{\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}ser elk{\displaystyle k}-ésimo vector columna deA{\displaystyle \mathbf {A} }y dejarbkfila{\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}ser elk{\displaystyle k}-ésimo vector fila deB{\displaystyle \mathbf {B} }. Entoncesdo{\displaystyle \mathbf {C} }se puede expresar como una suma de productos externos columna por fila: do=AB=(∑k=1pagAikBkj)1≤i≤metro1≤j≤norte=[a1columna⋯apagcolumna][b1fila⋮bpagfila]=∑k=1pagakcolumnabkfila{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}Esta expresión tiene dualidad con la más común como una matriz construida con entradas de producto interno fila por columna (o producto escalar ):doij=⟨aifila,bjcolumna⟩{\displaystyle C_{ij}=\langle {\mathbf {a} _{i}^{\text{row}},\,\mathbf {b} _{j}^{\text{col}}}\rangle }

Esta relación es relevante [ 5 ] en la aplicación de la Descomposición en Valores Singulares (SVD) (y la Descomposición Espectral como un caso especial). En particular, la descomposición puede interpretarse como la suma de productos externos de cada izquierda (túk{\displaystyle \mathbf {u} _{k}}) y derecha (vk{\displaystyle \mathbf {v} _{k}}) vectores singulares, escalados por el valor singular no nulo correspondienteσk{\displaystyle \sigma _{k}}: A=UΣVT=∑k=1rango⁡(A)(túk⊗vk)σk{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U\Sigma V^{T}} =\sum _{k=1}^{\operatorname {rank} (A)}(\mathbf {u} _{k}\otimes \mathbf {v} _{k})\,\sigma _{k}}

Este resultado implica queA{\displaystyle \mathbf {A} }puede expresarse como una suma de matrices de rango 1 con norma espectralσk{\displaystyle \sigma _{k}}en orden decreciente. Esto explica por qué, en general, los últimos términos contribuyen menos, lo que motiva el uso de la SVD truncada como aproximación. El primer término es el ajuste por mínimos cuadrados de una matriz a un producto exterior de vectores.

Propiedades

El producto exterior de vectores satisface las siguientes propiedades: (tú⊗v)T=(v⊗tú)(v+w)⊗tú=v⊗tú+w⊗tútú⊗(v+w)=tú⊗v+tú⊗wdo(v⊗tú)=(dov)⊗tú=v⊗(dotú){\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}

El producto exterior de tensores satisface la propiedad de asociatividad adicional:(tú⊗v)⊗w=tú⊗(v⊗w){\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}

Clasificación de un producto externo

Si u y v son ambos distintos de cero, entonces la matriz de producto exterior uv T siempre tiene rango 1. En efecto, todas las columnas del producto exterior son proporcionales a u . Por lo tanto, todas dependen linealmente de esa columna, de ahí que la matriz tenga rango uno.

(El "rango de la matriz" no debe confundirse con el " orden del tensor " o el "grado del tensor", que a veces se denomina "rango").

Definición (resumen)

Sean V y W dos espacios vectoriales . El producto exterior dev∈V{\displaystyle \mathbf {v} \in V}yw∈W{\displaystyle \mathbf {w} \in W}es el elementov⊗w∈V⊗W{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \in V\otimes W}.

Si W es un espacio con producto interno , entonces es posible definir el producto externo como una aplicación lineal W → V. En este caso, la aplicación linealincógnita↦⟨w,incógnita⟩{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \rangle }es un elemento del espacio dual de W , ya que este mapea linealmente un vector en su campo subyacente, del cual⟨w,incógnita⟩{\displaystyle \langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \rangle }es un elemento. El producto exterior W → V viene dado entonces por (v⊗w)(incógnita)=⟨w,incógnita⟩v.{\displaystyle (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )(\mathbf {x} )=\left\langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \right\rangle \mathbf {v} .}

Esto demuestra por qué en el caso complejo se suele tomar la transpuesta conjugada de w .

En lenguajes de programación

En algunos lenguajes de programación, dada una función de dos argumentos f(o un operador binario), el producto exterior, f, de dos matrices unidimensionales, Ay B, es una matriz bidimensional Ctal que C[i, j] = f(A[i], B[j]). Esto se representa sintácticamente de varias maneras: en APL , como el operador binario infijo ; en J , como el adverbio posfijo ; en R , como la función o el operador especial ; [ 6 ] en Mathematica , como . En MATLAB , se utiliza la función para este producto. Estos a menudo se generalizan a argumentos multidimensionales y a más de dos argumentos.∘.ff/outer(A,B,f)%o%Outer[f,A,B]kron(A,B)

En la biblioteca NumPy de Python , el producto exterior se puede calcular con la función . [ 7 ] En contraste, da como resultado una matriz plana. El producto exterior de matrices multidimensionales se puede calcular usando .np.outer()np.kronnp.multiply.outer

Aplicaciones

Dado que el producto exterior está estrechamente relacionado con el producto de Kronecker , algunas de las aplicaciones de este último utilizan productos exteriores. Estas aplicaciones se encuentran en la teoría cuántica, el procesamiento de señales y la compresión de imágenes . [ 8 ]

Espinas

Supongamos que s , t , w , z ∈ C de modo que ( s , t ) y ( w , z ) están en C2 . Entonces, el producto exterior de estos 2-vectores complejos es un elemento de M(2, C ) , las matrices complejas de 2 × 2: (swtwsztz).{\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.} El determinante de esta matriz es swtz − sztw = 0 debido a la propiedad conmutativa de C.

En la teoría de espinores en tres dimensiones , estas matrices están asociadas con vectores isotrópicos debido a esta propiedad nula. Élie Cartan describió esta construcción en 1937, [ 9 ] pero fue introducida por Wolfgang Pauli en 1927 [ 10 ] de modo que M(2, C ) ha llegado a ser llamada álgebra de Pauli .

Conceptos

La representación en bloques de los productos externos es útil para la clasificación. El análisis conceptual es un estudio que depende de ciertos productos externos:

Cuando un vector tiene solo ceros y unos como entradas, se denomina vector lógico , un caso especial de matriz lógica . La operación lógica y toma el lugar de la multiplicación. El producto exterior de dos vectores lógicos ( u i ) y ( v j ) viene dado por la matriz lógica.(aij)=(túi∧vj){\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}Este tipo de matriz se utiliza en el estudio de relaciones binarias y se denomina relación rectangular o vector cruzado . [ 11 ]

Véase también

Productos

Duality

References

  1. ↑Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Linear Algebra. Schaum’s Outlines (4th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. 12Keller, Frank (February 23, 2020). "Algebraic Properties of Matrices; Transpose; Inner and Outer Product"(PDF). inf.ed.ac.uk. Archived(PDF) from the original on 2017-12-15. Retrieved September 6, 2020.
  3. ↑Lerner, R. G.; Trigg, G. L. (1991). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 0-89573-752-3.
  4. ↑Stengel, Robert F. (1994). Optimal Control and Estimation. New York: Dover Publications. p. 26. ISBN 0-486-68200-5.
  5. ↑Trefethen, Lloyd N.; Bau III, David (1997). Numerical linear algebra. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 978-0-89871-361-9.
  6. ↑"outer function | R Documentation". rdocumentation.org. Retrieved 2020-09-07.
  7. ↑"numpy.outer — NumPy v1.19 Manual". numpy.org. Retrieved 2020-09-07.
  8. ↑Steeb, Willi-Hans; Hardy, Yorick (2011). "Applications (Chapter 3)". Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and Multilinear Algebra (2 ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4335-31-7.
  9. ↑Élie Cartan (1937) Lecons sur la theorie des spineurs, translated 1966: The Theory of Spinors, Hermann, Paris
  10. ↑Pertti Lounesto (1997) Clifford Algebras and Spinors, page 51, Cambridge University PressISBN 0-521-59916-4
  11. ↑Ki-Hang Kim (1982) Boolean Matrix Theory and Applications, page 37, Marcel DekkerISBN 0-8247-1788-0

Further reading

  • Carlen, Eric; Canceicao Carvalho, Maria (2006). "Outer Products and Orthogonal Projections". Linear Algebra: From the Beginning. Macmillan. pp. 217–218. ISBN 9780716748946.