Medida de radón

En lo que sigue, X denota un espacio topológico localmente compacto. Las funciones continuas de valor real con soporte compacto en X forman un espacio vectorial K ( X ) = C _c ( X ) , al que se le puede dar una topología localmente convexa natural. En efecto, K ( X ) es la unión de los espacios K ( X , K ) de funciones continuas con soporte contenido en conjuntos compactos K . Cada uno de los espacios K ( X , K ) posee naturalmente la topología de convergencia uniforme , lo que lo convierte en un espacio de Banach . Pero como la unión de espacios topológicos es un caso especial de un límite directo de espacios topológicos, el espacio K ( X ) puede dotarse de la topología localmente convexa de límite directo inducida por los espacios K ( X , K ) ; esta topología es más fina que la topología de convergencia uniforme.

Si m es una medida de Radon en${\displaystyle X,}$luego el mapeo ^{[ 3 ]}$${\displaystyle I:f\mapsto \int f(x)\,m(dx)}$$

es una aplicación lineal positiva continua de K ( X ) a R . La positividad significa que I ( f ) ≥ 0 siempre que f sea una función no negativa. La continuidad con respecto a la topología de límite directo definida anteriormente es equivalente a la siguiente condición: para cada subconjunto compacto K de X existe una constante M _K tal que, para cada función continua de valor real f en X con soporte contenido en K , $${\displaystyle |I(f)|\leq M_{K}\sup _{x\in X}|f(x)|.}$$

Por el contrario, según el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani , cada forma lineal positiva en K ( X ) surge como una integración con respecto a una medida de Borel regular única.

Una medida de Radon de valor real se define como cualquier forma lineal continua en K ( X ) ; son precisamente las diferencias de dos medidas de Radon. Esto permite identificar las medidas de Radon de valor real con el espacio dual del espacio localmente convexo K ( X ) . Estas medidas de Radon de valor real no tienen por qué ser medidas con signo . Por ejemplo, sin( x ) dx es una medida de Radon de valor real, pero ni siquiera es una medida con signo extendida, ya que no puede expresarse como la diferencia de dos medidas, al menos una de las cuales es finita.

Algunos autores utilizan el enfoque anterior para definir las medidas de Radon positivas como las formas lineales positivas en K ( X ) . ^{[ 4 ]} En esta configuración es común utilizar una terminología en la que las medidas de Radon en el sentido anterior se denominan medidas positivas y las medidas de Radon de valor real como las anteriores se denominan medidas (reales).

Para completar el desarrollo de la teoría de la medida para espacios localmente compactos desde el punto de vista del análisis funcional, es necesario extender la medida (integral) a partir de funciones continuas con soporte compacto. Esto se puede hacer para funciones de valores reales o complejos en varios pasos, como se indica a continuación:

1. Definición de la integral superior μ *( g ) de una función positiva (de valor real) semicontinua inferior g como el supremo (posiblemente infinito) de los números positivos μ ( h ) para funciones continuas con soporte compacto h ≤ g ;
2. Definición de la integral superior μ *( f ) para una función positiva (de valor real) arbitraria f como el ínfimo de las integrales superiores μ *( g ) para funciones semicontinuas inferiores g ≥ f ;
3. Definición del espacio vectorial F = F ( X , μ ) como el espacio de todas las funciones f en X para las cuales la integral superior μ *( | f | ) del valor absoluto es finita; la integral superior del valor absoluto define una seminorma en F , y F es un espacio completo con respecto a la topología definida por la seminorma;
4. Definición del espacio L ¹ ( X , μ ) de funciones integrables como la clausura dentro de F del espacio de funciones continuas con soporte compacto.
5. Definición de la integral para funciones en L ¹ ( X , μ ) como extensión por continuidad (después de verificar que μ es continua con respecto a la topología de L ¹ ( X , μ ) );
6. Definición de la medida de un conjunto como la integral (cuando existe) de la función indicadora del conjunto.

Es posible verificar que estos pasos producen una teoría idéntica a la que parte de una medida de Radon definida como una función que asigna un número a cada conjunto de Borel de X.

La medida de Lebesgue en R puede introducirse de varias maneras en este marco funcional-analítico. Primero, es posible recurrir a una integral "elemental" como la integral de Daniell o la integral de Riemann para integrales de funciones continuas con soporte compacto, ya que estas son integrables para todas las definiciones elementales de integrales. La medida (en el sentido definido anteriormente) definida por la integración elemental es precisamente la medida de Lebesgue. Segundo, si se quiere evitar depender de la integral de Riemann o de Daniell u otras teorías similares, es posible desarrollar primero la teoría general de las medidas de Haar y definir la medida de Lebesgue como la medida de Haar λ en R que satisface la condición de normalización λ ([0, 1]) = 1 .

Dada una medida de Radon m en un espacio X , podemos definir otra medida M (en los conjuntos de Borel) poniendo

$${\displaystyle M(B)=\inf\{m(V)\mid V{\text{ es un conjunto abierto con }}B\subseteq V\subseteq X\}.}$$

La medida M es regular externa, localmente finita e interna para conjuntos abiertos. Coincide con m en conjuntos compactos y abiertos, y m puede reconstruirse a partir de M como la única medida regular interna que es igual a M en conjuntos compactos. La medida m se denomina moderada si M es σ -finita; en este caso, las medidas m y M son iguales. (Si m es σ- finita, esto no implica que M también lo sea, por lo que ser moderada es más fuerte que ser σ- finita).

En un espacio Lindelöf hereditario, cada medida de radón está moderada.

Un ejemplo de una medida m que es σ -finita pero no moderada es el siguiente. ^{[ 9 ]} El espacio topológico X tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje y de los puntos (0, y ) junto con los puntos (1/ n , m / n ² ) con m , n enteros positivos. La topología se da como sigue. Los puntos individuales (1/ n , m / n ² ) son todos conjuntos abiertos. Una base de vecindades del punto (0, y ) está dada por cuñas que consisten en todos los puntos en X de la forma ( u , v ) con | v − y | ≤ | u | ≤ 1/ n para un entero positivo n . Este espacio X es localmente compacto. La medida m está dada haciendo que el eje y tenga medida 0 y haciendo que el punto (1/ n , m / n ² ) tenga medida 1/ n ³ . Esta medida es internamente regular y localmente finita, pero no externamente regular, ya que cualquier conjunto abierto que contenga el eje y tiene medida infinita. En particular, el eje y tiene medida m igual a 0 , pero medida M igual a infinito.

Un espacio topológico se denomina espacio de Radon si toda medida de Borel finita es una medida de Radon, y fuertemente de Radon si toda medida de Borel localmente finita es una medida de Radon. Cualquier espacio de Suslin es fuertemente de Radon, y además, toda medida de Radon es moderada.

En un espacio de Hausdorff localmente compacto, las medidas de Radon corresponden a funcionales lineales positivos en el espacio de funciones continuas con soporte compacto. Esto no es sorprendente, ya que esta propiedad es la principal motivación para la definición de la medida de Radon.

El cono puntiagudo M ₊ ( X ) de todas las medidas de Radon (positivas) en X puede tener la estructura de un espacio métrico completo definiendo la distancia de Radon entre dos medidas m ₁ , m ₂ ∈ M ₊ ( X ) como $${\displaystyle \rho (m_{1},m_{2})=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)(m_{1}-m_{2})(dx)\ \right|\mathrm {continuo\,} f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.}$$

Esta métrica tiene algunas limitaciones. Por ejemplo, el espacio de medidas de probabilidad de Radon en X , $${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\},}$$ No es secuencialmente compacto con respecto a la métrica de Radon; es decir, no se garantiza que cualquier secuencia de medidas de probabilidad tenga una subsecuencia convergente con respecto a la métrica de Radon, lo que presenta dificultades en ciertas aplicaciones. Por otro lado, si X es un espacio métrico compacto, entonces la métrica de Wasserstein convierte P ( X ) en un espacio métrico compacto.

La convergencia en la métrica de Radon implica una convergencia débil de las medidas : $${\displaystyle \rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,}$$ pero la implicación inversa es falsa en general. La convergencia de medidas en la métrica de Radon se conoce a veces como convergencia fuerte , en contraposición a la convergencia débil.