Hipopódano

Hipopede (rojo) dado como la curva pedal de una elipse (negro). La ecuación de este hipopede es: $4x^{2}+y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}$

{\displaystyle 4x^{2}+y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}} — Hipopede (rojo) dado como la curva pedal de una elipse (negro). La ecuación de este hipopede es: $4x^{2}+y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}$

En geometría , una hipopedia ( del griego antiguo ἱπποπέδη (hippopédē) ' grillete de caballo ' ) es una curva plana determinada por una ecuación de la forma

(x^{2}+y^{2})^{2}=cx^{2}+dy^{2},

donde se asume que $c > 0$ y $c > d$ ya que los casos restantes se reducen a un solo punto o pueden expresarse en la forma dada mediante una rotación. Las hipopedias son curvas bicirculares , racionales y algebraicas de grado 4, simétricas con respecto a los ejes $x$ e $y$ .

Casos especiales

Cuando d > 0 la curva tiene forma ovalada y se la conoce a menudo como óvalo de Booth , y cuando d < 0 la curva se asemeja a un ocho de lado, o lemniscata , y se la conoce a menudo como lemniscata de Booth , en honor al matemático del siglo XIX James Booth, quien las estudió. Las hipopedas también fueron investigadas por Proclo (por quien a veces se las llama Hipopedes de Proclo ) y Eudoxo . Para d = − c , la hipopeda corresponde a la lemniscata de Bernoulli .

Definición como secciones espirales

Hipopedes con a = 1, b = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 y 2,0.

Hipopedes con b = 1, a = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 y 2,0.

La hipopédesis se define como la curva formada por la intersección de un toroide y un plano, donde el plano es paralelo al eje del toroide y tangente a él en el círculo interior. Por lo tanto, es una sección espiral que, a su vez, es un tipo de sección tórica .

Si un círculo de radio a gira alrededor de un eje situado a una distancia b de su centro, entonces la ecuación del hipopedio resultante en coordenadas polares es:

r^{2}=4b(ab\sin ^{2}\!\theta )

o en coordenadas cartesianas

(x^{2}+y^{2})^{2}+4b(ba)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}

.

Nótese que cuando a > b el toro se interseca a sí mismo, por lo que no se parece a la imagen habitual de un toro.

Véase también

Lista de curvas

Referencias

Lawrence JD. (1972) Catálogo de curvas planas especiales , Dover Publications. Págs. 145 – 146.
Booth J. Un tratado sobre algunos nuevos métodos geométricos , Longmans, Green, Reader y Dyer, Londres, vol. I (1873) y vol. II (1877).
Weisstein, Eric W. "Hipopede" . MathWorld .
"Hipopede" en 2dcurves.com
"Courbes de Booth" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Enlaces externos

"El Hipopedo de Proclo" en el National Curve Bank.