Anillo de sobreanillo

En matemáticas, un sobreanillo de un dominio de integridad contiene el dominio de integridad, y el cuerpo de fracciones del dominio de integridad contiene el sobreanillo. Los sobreanillos proporcionan una mejor comprensión de los diferentes tipos de anillos y dominios .

Definición

En este artículo, todos los anillos son anillos conmutativos , y el anillo y el sobreanillo comparten el mismo elemento identidad .

Dejar ${\textstyle Q(A)}$ representan el campo de fracciones de un dominio integral ${\textstyle A}$ . Anillo ${\textstyle B}$ es un anillo superior de dominio integral ${\textstyle A}$ si ${\textstyle A}$ es un subanillo de ${\textstyle B}$ y ${\textstyle B}$ es un subanillo del campo de fracciones ${\textstyle Q(A)}$ ; ^{[ 1 ]}^{: 167} la relación es ${\textstyle A\subseteq B\subseteq Q(A)}$ . ^{[ 2 ]}^{: 373}

Propiedades

Anillo de fracciones

Los anillos ${\textstyle R_{A},S_{A},T_{A}}$ son los anillos de fracciones de anillos ${\textstyle R,S,T}$ por conjunto multiplicativo ${\textstyle A}$ . ^{[ 3 ]}^{: 46} Suponga que ${\textstyle T}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ y ${\textstyle A}$ es un conjunto multiplicativo en ${\textstyle R}$ El anillo ${\textstyle T_{A}}$ es un anillo superior de ${\textstyle R_{A}}$ El anillo ${\textstyle T_{A}}$ es el anillo total de fracciones de ${\textstyle R_{A}}$ si cada elemento no unitario de ${\textstyle T_{A}}$ es un divisor de cero. ^{[ 4 ]}^{: 52–53} Todo sobreanillo de ${\textstyle R_{A}}$ contenido en ${\textstyle T_{A}}$ es un anillo ${\textstyle S_{A}}$ , y ${\textstyle S}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ . ^{[ 4 ]}^{: 52–53} Anillo ${\textstyle R_{A}}$ está integralmente cerrado en ${\textstyle T_{A}}$ si ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado en ${\textstyle T}$ [ ⁴^]^:^52–53

dominio noetheriano

Definiciones

Un anillo noetheriano satisface las 3 condiciones de finitud equivalentes : i) toda cadena ascendente de ideales es finita, ii) toda familia no vacía de ideales tiene un elemento maximal y iii) todo ideal tiene una base finita . ^{[ 3 ]}^{: 199}

Un dominio integral es un dominio de Dedekind si cada ideal del dominio es un producto finito de ideales primos . ^{[ 3 ]}^{: 270}

La dimensión restringida de un anillo es el rango máximo entre los rangos de todos los ideales primos que contienen un elemento regular. ^{[ 4 ]}^{: 52}

Un anillo ${\textstyle R}$ es localmente libre de nilpotente si cada anillo ${\textstyle R_{M}}$ con el máximo ideal ${\textstyle M}$ está libre de elementos nilpotentes o es un anillo donde cada no-unidad es un divisor de cero . ^{[ 4 ]}^{: 52}

Un anillo afín es la imagen homomórfica de un anillo de polinomios (un álgebra finitamente generada ) sobre un cuerpo . ^[⁴^]^:⁵⁸

Propiedades

Cada anillo superior de un anillo de Dedekind es un anillo de Dedekind. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Todo anillo superpuesto de una suma directa de anillos cuyos elementos no unitarios son todos divisores de cero es un anillo noetheriano. ^{[ 4 ]}^{: 53}

Todo sobreanillo de un dominio noetheriano unidimensional de Krull es un anillo noetheriano. ^{[ 4 ]}^{: 53}

Estas afirmaciones son equivalentes para el anillo noetheriano. ${\textstyle R}$ con cierre integral ${\textstyle {\bar {R}}}$ . ^{[ 4 ]}^{: 57}

Cada anillo de sobrecarga ${\textstyle R}$ es un anillo noetheriano.
Para cada ideal máximo ${\textstyle M}$ de ${\textstyle R}$ , cada sobreanillo de ${\textstyle R_{M}}$ es un anillo noetheriano.
Anillo ${\textstyle R}$ es localmente nilpotente libre con dimensión restringida 1 o menos.
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es noetheriano y anillo ${\textstyle R}$ tiene dimensión restringida 1 o menos.
Cada anillo de sobrecarga ${\textstyle {\bar {R}}}$ está integralmente cerrado.

Estas afirmaciones son equivalentes para anillos afines. ${\textstyle R}$ con cierre integral ${\textstyle {\bar {R}}}$ . ^{[ 4 ]}^{: 58}

Anillo ${\textstyle R}$ es localmente libre de nilpotentes.
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es un finito ${\textstyle R}$ - módulo .
Anillo ${\textstyle {\bar {R}}}$ es noetheriano.

Un anillo local cerrado integralmente ${\textstyle R}$ es un dominio de integridad o un anillo cuyos elementos distintos de la unidad son todos divisores de cero. ^{[ 4 ]}^{: 58}

Un dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind si todo sobreanillo del anillo noetheriano es integralmente cerrado. ^{[ 7 ]}^{: 198}

Todo sobreanillo de un dominio integral noetheriano es un anillo de fracciones si el dominio integral noetheriano es un anillo de Dedekind con un grupo de clases de torsión. ^{[ 7 ]}^{: 200}

Anillos coherentes

Definiciones

Un anillo coherente es un anillo conmutativo con cada ideal finitamente generado finitamente presentado . ^{[ 2 ]}^{: 373} Los dominios noetherianos y los dominios de Prüfer son coherentes. ^{[ 8 ]}^{: 137}

Un par ${\textstyle (R,T)}$ indica una extensión de dominio integral de ${\textstyle T}$ encima ${\textstyle R}$ . ^{[ 9 ]}^{: 331}

Anillo ${\textstyle S}$ es un dominio intermedio para pares ${\textstyle (R,T)}$ si ${\textstyle R}$ es un subdominio de ${\textstyle S}$ y ${\textstyle S}$ es un subdominio de ${\textstyle T}$ . ^{[ 9 ]}^{: 331}

Propiedades

La dimensión de Krull de un anillo noetheriano es 1 o menor si cada anillo superior es coherente. ^{[ 2 ]}^{: 373}

Para pares de dominios integrales ${\textstyle (R,T)}$ , ${\textstyle T}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ si cada dominio integral intermedio es integralmente cerrado en ${\textstyle T}$ . ^{[ 9 ]}^{: 332}^{[ 10 ]}^{: 175}

El cierre integral de ${\textstyle R}$ es un dominio de Prüfer si cada anillo superior propio de ${\textstyle R}$ es coherente. ^{[ 8 ]}^{: 137}

Los anillos superiores de los dominios de Prüfer y los dominios noetherianos unidimensionales de Krull son coherentes. ^{[ 8 ]}^{: 138}

Dominios de prueba

Propiedades

Un anillo tiene la propiedad QR si todo sobreanillo es una localización con un conjunto multiplicativo. ^{[ 11 ]}^{: 196} Los dominios QR son dominios de Prüfer. ^{[ 11 ]}^{: 196} Un dominio de Prüfer con un grupo de Picard de torsión es un dominio QR. ^{[ 11 ]}^{: 196} Un dominio de Prüfer es un dominio QR si el radical de todo ideal finitamente generado es igual al radical generado por un ideal principal . ^{[ 12 ]}^{: 500}

La declaración ${\textstyle R}$ un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[ 13 ]}^{: 56}

Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es la intersección de localizaciones de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es la intersección de anillos de fracciones de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ tiene ideales primordiales que son extensiones de los ideales primordiales de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ tiene como máximo 1 ideal primo que se encuentra sobre cualquier ideal primo de ${\textstyle R}$ , y ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ está integralmente cerrado.
Cada anillo superior de ${\textstyle R}$ es coherente.

La declaración ${\textstyle R}$ un dominio de Prüfer es equivalente a: ^{[ 1 ]}^{: 167}

Cada anillo superior $S$ de ${\textstyle R}$ es plano como un $S$ -módulo.
Cada valoración sobreanillo de ${\textstyle R}$ es un anillo de fracciones.

Mínimo exceso de anillo

Definiciones

Un homomorfismo de anillo mínimo ${\textstyle f}$ es un homomorfismo inyectivo no sobreyectivo , y si el homomorfismo ${\textstyle f}$ es una composición de homomorfismos ${\textstyle g}$ y ${\textstyle h}$ entonces ${\textstyle g}$ o ${\textstyle h}$ es un isomorfismo. ^{[ 14 ]}^{: 461}

Una extensión de anillo mínima adecuada ${\textstyle T}$ de subanillo ${\textstyle R}$ ocurre si la inclusión del anillo de ${\textstyle R}$ en ${\textstyle T}$ es un homomorfismo de anillos mínimo. Esto implica el par de anillos. ${\textstyle (R,T)}$ no tiene un anillo intermedio propio. ^{[ 15 ]}^{: 186}

Un anillo de sobreanillo mínimo ${\textstyle T}$ del anillo ${\textstyle R}$ ocurre si ${\textstyle T}$ contiene ${\textstyle R}$ como un subanillo y el par de anillos ${\textstyle (R,T)}$ no tiene un anillo intermedio propio. ^{[ 16 ]}^{: 60}

La transformada ideal de Kaplansky ( transformada de Hayes , transformada S ) de un ideal ${\textstyle I}$ con respecto al dominio integral ${\textstyle R}$ es un subconjunto del campo de fracciones ${\textstyle Q(R)}$ Este subconjunto contiene elementos ${\textstyle x}$ de tal manera que para cada elemento ${\textstyle y}$ del ideal ${\textstyle I}$ hay un número entero positivo ${\textstyle n}$ con el producto ${\textstyle x\cdot y^{n}}$ contenido en el dominio integral ${\textstyle R}$ . ^{[ 17 ]}^{[ 16 ]}^{: 60}

Propiedades

Cualquier dominio generado a partir de una extensión de anillo mínima de dominio ${\textstyle R}$ es un anillo superior de ${\textstyle R}$ si ${\textstyle R}$ no es un campo. ^{[ 17 ]}^{[ 15 ]}^{: 186}

El campo de fracciones de ${\textstyle R}$ contiene un mínimo exceso de anillo ${\textstyle T}$ de ${\textstyle R}$ cuando ${\textstyle R}$ no es un campo. ^{[ 16 ]}^{: 60}

Supongamos un dominio integral cerrado. ${\textstyle R}$ no es un campo, si un anillo máximo mínimo de dominio integral ${\textstyle R}$ existe, este anillo máximo mínimo ocurre como la transformación de Kaplansky de un ideal máximo de ${\textstyle R}$ . ^{[ 16 ]}^{: 60}

Ejemplos

El dominio integral de Bézout es un tipo de dominio de Prüfer; la propiedad definitoria del dominio de Bézout es que todo ideal finitamente generado es un ideal principal. El dominio de Bézout comparte todas las propiedades de sobreanillo de un dominio de Prüfer. ^{[ 1 ]}^{: 168}

El anillo de enteros es un anillo de Prüfer, y todos los sobreanillos son anillos de cocientes. ^{[ 7 ]}^{: 196} El racional diádico es una fracción con numerador entero y denominadores potencia de 2. El anillo racional diádico es la localización de los enteros por potencias de dos y un sobreanillo del anillo de enteros.

Véase también

Categoría de anillos – Categoría cuyos objetos son anillos y cuyos morfismos son homomorfismos de anillos.
Glosario de teoría de anillos
Localización (álgebra conmutativa)
Subanillo – Subconjunto de un anillo que forma un anillo en sí mismo.
Anillo total de fracciones : construcción dentro del álgebra abstracta

Notas

1 2 3 Fontana y Papick 2002 .
1 2 3 Papick 1978 .
1 2 3 Zariski y Samuel 1965 .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Davis 1962 .
↑ Cohen 1950 .
↑ Lane y Schilling 1939 .
1 2 3 Davis 1964 .
1 2 3 Papick 1980 .
1 2 3 Papick 1979 .
↑ Davis 1973 .
1 2 3 Fuchs, Heinzer y Olberding 2004 .
↑ Pendleton 1966 .
↑ Bazzoni y Glaz 2006 .
↑ Ferrand y Olivier 1970 .
1 2 Dobbs y Shapiro 2006 .
1 2 3 4 Dobbs y Shapiro 2007 .
^ Sato , Sugatani y Yoshida 1992 .

Referencias

Bazzoni, Silvana; Glaz, Sarah (2006). «Anillos de Prüfer». En Anillos de Brewer, James W.; Glaz, Sarah; Heinzer, William J.; Olberding, Bruce M. (eds.). Teoría de ideales multiplicativos en álgebra conmutativa: un homenaje a la obra de Robert Gilmer . Nueva York, NY: Springer. pp. 54–72 . doi : 10.1007/978-0-387-36717-0 . ISBN 978-0-387-24600-0.
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Lecturas adicionales

Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-40751-8.

[FOOTNOTEFontanaPapick2002-1] 1 2 3 Fontana y Papick 2002 .

[FOOTNOTEPapick1978-2] 1 2 3 Papick 1978 .

[FOOTNOTEZariskiSamuel1965-3] 1 2 3 Zariski y Samuel 1965 .

[FOOTNOTEDavis1962-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Davis 1962 .

[FOOTNOTECohen1950-5] Cohen 1950 .

[FOOTNOTELaneSchilling1939-6] Lane y Schilling 1939 .

[FOOTNOTEDavis1964-7] 1 2 3 Davis 1964 .

[FOOTNOTEPapick1980-8] 1 2 3 Papick 1980 .

[FOOTNOTEPapick1979-9] 1 2 3 Papick 1979 .

[FOOTNOTEDavis1973-10] Davis 1973 .

[FOOTNOTEFuchsHeinzerOlberding2004-11] 1 2 3 Fuchs, Heinzer y Olberding 2004 .

[FOOTNOTEPendleton1966-12] Pendleton 1966 .

[FOOTNOTEBazzoniGlaz2006-13] Bazzoni y Glaz 2006 .

[FOOTNOTEFerrandOlivier1970-14] Ferrand y Olivier 1970 .

[FOOTNOTEDobbsShapiro2006-15] 1 2 Dobbs y Shapiro 2006 .

[FOOTNOTEDobbsShapiro2007-16] 1 2 3 4 Dobbs y Shapiro 2007 .

[FOOTNOTESatoSugataniYoshida1992-17] Sato , Sugatani y Yoshida 1992 .

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