valoración p -ádica

La valoración p -ádica de un número entero${\displaystyle n}$se define como

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0,\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) y${\displaystyle m\mid n}$denota divisibilidad de${\displaystyle n}$por${\displaystyle m}$. En particular,${\displaystyle \nu _{p}}$es una función${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo,${\displaystyle \nu _ {2}(-12)=2}$,${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$, y${\displaystyle \nu _ {5}(-12)=0}$desde${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$.

La notación${\displaystyle p^{k}\paralelo n}$a veces se usa para significar${\displaystyle k=\nu _{p}(n)}$. ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle n}$es un número entero positivo, entonces${\displaystyle \nu _{p}(n)\leq \log _{p}n}$; esto se deduce directamente de${\displaystyle n\geq p^{\nu _ {p}(n)}}$.

La valuación p -ádica puede extenderse a los números racionales como la función

${\displaystyle \nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

definido por

${\displaystyle \nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).}$

Por ejemplo,${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$y${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$desde${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$.

Algunas propiedades son:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Además, si${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$, entonces

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

dónde${\displaystyle \min }$es el mínimo (es decir, el menor de los dos).

La fórmula de Legendre demuestra que${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}}}$.

Para cualquier entero positivo n ,${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$y entonces${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$.

Por lo tanto,${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$.

Esta suma infinita se puede reducir a${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$.

Esta fórmula se puede extender a valores enteros negativos para obtener:

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\left\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\right\rfloor {}-\left\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\right\rfloor {}{\bigg )}}}$

La elección de la base p en la exponenciación${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$No supone ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto:

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

donde el producto se toma sobre todos los primos p y el valor absoluto usual, denotado${\displaystyle |r|_{0}}$Esto se deduce simplemente de tomar la factorización prima : cada factor de potencia prima${\displaystyle p^{k}}$aporta su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto arquimediano usual los cancela todos.

Según el teorema de Ostrowski , los valores absolutos usuales y p -ádicos que aparecen en la fórmula son todos los valores absolutos de los números racionales salvo equivalencia. Una fórmula de producto análoga puede utilizarse para definir axiomáticamente campos globales , de los cuales los números racionales son el ejemplo más sencillo.

Se puede formar un espacio métrico sobre el conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} }$con una métrica ( no arquimediana , invariante a la traslación )

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

La finalización de${\displaystyle \mathbb {Q} }$Con respecto a esta métrica se llega al conjunto${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$de números p -ádicos. Al igual que los racionales, forman un cuerpo , y la valoración p -ádica y el valor absoluto pueden extenderse a${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, convirtiéndolo en un campo de valor completo .