campo p -ádicamente cerrado

En matemáticas , un cuerpo p -ádicamente cerrado es un cuerpo que posee una propiedad de cierre que es un análogo cercano, para cuerpos p -ádicos , a lo que el cierre real es para el cuerpo real . Fueron introducidos por James Ax y Simon B. Kochen en 1965. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle K}$ser el campo${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales y${\displaystyle v}$ser su habitual${\displaystyle p}$valoración -ádica (con${\displaystyle v(p)=1}$). Si${\displaystyle F}$es un campo de extensión (no necesariamente algebraico ) de${\displaystyle K}$, equipado a su vez con una valoración${\displaystyle w}$, decimos que${\displaystyle (F,w)}$es formalmente p -ádico cuando se cumplen las siguientes condiciones:

• ${\displaystyle w}$extiende${\displaystyle v}$(eso es,${\displaystyle w(x)=v(x)}$a pesar de${\displaystyle x\in K}$),
• el campo residual de${\displaystyle w}$coincide con el campo residual de${\displaystyle v}$(el campo residual es el cociente del anillo de valoración${\displaystyle \{x\in F:w(x)\geq 0\}}$por su ideal máximo${\displaystyle \{x\in F:w(x)>0\}}$),
• el valor positivo más pequeño de${\displaystyle w}$coincide con el valor positivo más pequeño de${\displaystyle v}$(es decir, 1, ya que${\displaystyle v}$se asumió que estaba normalizado): en otras palabras, un uniformizador para${\displaystyle K}$sigue siendo un uniformador para${\displaystyle F}$.

Tenga en cuenta que el grupo de valores de${\displaystyle K}$puede ser más grande que el de${\displaystyle F}$ya que puede contener elementos infinitamente grandes sobre este último.

Así, el formalmente${\displaystyle p}$Los campos -ádicos pueden verse como un análogo de los campos formalmente reales .

Por ejemplo, el campo${\displaystyle \mathbb {Q} (i)}$de racionales gaussianos , si están equipados con la valoración${\displaystyle w}$dado por${\displaystyle w(2+i)=1}$(y${\displaystyle w(2-i)=0}$) es formalmente 5-ádico (el lugar${\displaystyle v=5}$de los racionales se divide en dos lugares de los racionales gaussianos ya que${\displaystyle x^{2}+1}$factores sobre el campo residual con 5 elementos, y${\displaystyle w}$es uno de estos lugares). El campo de los números 5-ádicos (que contiene tanto los racionales como los racionales gaussianos incrustados según el lugar${\displaystyle w}$) también es formalmente 5-ádico. Por otro lado, el campo de los racionales gaussianos no es formalmente 3-ádico para ninguna valoración, porque la única valoración${\displaystyle w}$sobre ella que extiende la valoración 3-ádica viene dada por${\displaystyle w(3)=1}$y su campo residual tiene 9 elementos.

Cuando${\displaystyle F}$formalmente es${\displaystyle p}$-ádico pero que no existe ninguna formalidad algebraica propia${\displaystyle p}$-extensión ádica de${\displaystyle F}$, entonces${\displaystyle F}$Se dice que es p -ádicamente cerrado . Por ejemplo, el campo de${\displaystyle p}$Los números -ádicos son${\displaystyle p}$-ádicamente cerrado, y también lo es el cierre algebraico de los racionales dentro de él (el campo de${\displaystyle p}$números algebraicos -ádicos).

Si${\displaystyle F}$es${\displaystyle p}$-cerrado ádicamente, entonces ^{[ 2 ]}

• Existe una valoración única${\displaystyle w}$en${\displaystyle F}$lo cual hace${\displaystyle F}$${\displaystyle p}$-cerrado ádicamente (por lo que es legítimo decir que${\displaystyle F}$, en lugar de la pareja${\displaystyle (F,w)}$, es${\displaystyle p}$-cerrado ádicamente),
• ${\displaystyle F}$es henseliano con respecto a este lugar (es decir, su anillo de valoración es así),
• el anillo de valoración de${\displaystyle F}$es exactamente la imagen del operador de Kochen (ver abajo ),
• el grupo de valores de${\displaystyle F}$es una extensión de${\displaystyle \mathbb {Z} }$(el grupo de valores de${\displaystyle K}$) de un grupo divisible, con el orden lexicográfico .

La primera afirmación es análoga al hecho de que el orden de un cuerpo real cerrado está determinado unívocamente por la estructura algebraica.

Las definiciones dadas anteriormente se pueden copiar a un contexto más general: si${\displaystyle K}$es un campo equipado con una valoración${\displaystyle v}$de tal manera que

• el campo residual de${\displaystyle K}$es finito (llamar${\displaystyle q}$su cardinalidad y${\displaystyle p}$su característica),
• el grupo de valores de${\displaystyle v}$admite un elemento positivo más pequeño (llamémoslo 1, y digamos${\displaystyle \pi }$es un uniformizador, es decir${\displaystyle v(\pi )=1}$),
• ${\displaystyle K}$tiene ramificación absoluta finita, es decir,${\displaystyle v(p)}$es finito (es decir, un múltiplo finito de${\displaystyle v(\pi )=1}$),

entonces podemos hablar formalmente${\displaystyle v}$campos -ádicos (o${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-ádico si${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es el ideal correspondiente a${\displaystyle v}$) y${\displaystyle v}$-cuerpos ádicamente completos. Estas hipótesis se satisfacen notablemente para el cuerpo de los racionales, con el número primo${\displaystyle q=\pi =p}$teniendo valoración 1.

Si${\displaystyle K}$es un campo equipado con una valoración${\displaystyle v}$Satisfaciendo la hipótesis y con las notaciones introducidas en el párrafo anterior, defina el operador de Kochen mediante:

${\displaystyle \gamma (z)={\frac {1}{\pi }}\,{\frac {z^{q}-z}{(z^{q}-z)^{2}-1}}}$

(cuando${\displaystyle z^{q}-z\neq \pm 1}$). Es fácil comprobar que${\displaystyle \gamma (z)}$siempre tiene una valoración no negativa. El operador de Kochen puede ser considerado como un${\displaystyle p}$-ádico (o${\displaystyle v}$-ádico) análogo de la función cuadrática en el caso real.

Un campo de extensión${\displaystyle F}$de${\displaystyle K}$formalmente es${\displaystyle v}$-ádico si y solo si${\displaystyle 1/\pi }$no pertenece al subanillo generado sobre el anillo de valores de${\displaystyle K}$por la imagen del operador de Kochen en${\displaystyle F}$. Esto es análogo a la afirmación de que un campo es formalmente real cuando${\displaystyle -1}$no es una suma de cuadrados.

La teoría de primer orden de${\displaystyle p}$-campos cerrados arbitrariamente (aquí nos restringimos a los${\displaystyle p}$caso -ádico, es decir,${\displaystyle K}$es el campo de los racionales y${\displaystyle v}$es el${\displaystyle p}$La valuación -ádica) es completa y modelo completo , y si enriquecemos ligeramente el lenguaje admite la eliminación de cuantificadores . Por lo tanto, se puede definir${\displaystyle p}$campos -ádicamente cerrados como aquellos cuya teoría de primer orden es elementalmente equivalente a la de${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$.