La conjetura de correlación de pares de Montgomery

En matemáticas , la conjetura de correlación de pares de Montgomery es una conjetura hecha por Hugh Montgomery ( 1973 ) que afirma que la correlación de pares entre pares de ceros de la función zeta de Riemann (normalizada para tener un espaciado promedio unitario) es 

${\displaystyle 1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{\!2},}$

que, como Freeman Dyson le señaló, es lo mismo que la función de correlación de pares de matrices hermíticas aleatorias .

Bajo el supuesto de que la hipótesis de Riemann es verdadera. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \alpha \leq \beta }$Si se fija, entonces la conjetura afirma:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{T\to \infty }{\frac {\#\{(\gamma ,\gamma '):0<\gamma ,\gamma '\leq T{\text{ y }}2\pi \alpha /\log(T)\leq \gamma -\gamma '\leq 2\pi \beta /\log(T)\}}{{\frac {T}{2\pi }}\log {T}}}\\=\int \limits _{\alpha }^{\beta }1-\left({\frac {\sin(\pi u)}{\pi u}}\right)^{2}\mathrm {d} u+\delta (\alpha ,\beta ),\end{aligned}}}$

donde cada${\displaystyle \gamma ,\gamma '}$es la parte imaginaria de los ceros no triviales de la función zeta de Riemann , es decir${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$, y${\displaystyle \delta (\alpha,\beta)=1}$si${\displaystyle 0\in [\alpha ,\beta ]}$y${\displaystyle \delta (\alpha,\beta)=0}$de lo contrario.

De manera informal, esto significa que la probabilidad de encontrar un cero en un intervalo muy corto de longitud 2π L /log( T ) a una distancia 2π u /log( T ) de un cero 1/2+ iT es aproximadamente L veces la expresión anterior. (El factor 2π/log( T ) es un factor de normalización que puede considerarse informalmente como el espaciado promedio entre ceros con parte imaginaria alrededor de T ). Andrew Odlyzko ( 1987 ) demostró que la conjetura estaba respaldada por cálculos computacionales a gran escala de los ceros. La conjetura se ha extendido a correlaciones de más de dos ceros, y también a funciones zeta de representaciones automórficas ( Rudnick y Sarnak 1996 ) . En 1982, un estudiante de Montgomery, Ali Erhan Özlük, demostró la conjetura de correlación de pares para algunas de las funciones L de Dirichlet ( AE Ozluk ( 1982 ) ).  

La conexión con matrices unitarias aleatorias podría conducir a una demostración de la hipótesis de Riemann (HR). La conjetura de Hilbert-Pólya afirma que los ceros de la función zeta de Riemann corresponden a los valores propios de un operador lineal , lo que implica la HR. Algunos consideran que este es un enfoque prometedor ( Andrew Odlyzko ( 1987 ) ). 

Montgomery estudiaba la transformada de Fourier F ( x ) de la función de correlación de pares y demostró (asumiendo la hipótesis de Riemann) que era igual a | x | para | x | < 1. Sus métodos no permitieron determinarla para | x | ≥ 1, pero conjeturó que era igual a 1 para estos valores de x , lo que implica que la función de correlación de pares es la descrita anteriormente. También lo motivó la idea de que la hipótesis de Riemann no es una barrera infranqueable y que se pueden formular conjeturas más contundentes .

Dejemos que vuelva a suceder${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma }$y${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\gamma '}$representan los ceros no triviales de la función zeta de Riemann. Montgomery introdujo la función

${\displaystyle F(\alpha ):=F_{T}(\alpha )=\left({\frac {T}{2\pi }}\log(T)\right)^{-1}\sum \limits _{0<\gamma ,\gamma '\leq T}T^{i\alpha (\gamma -\gamma ')}w(\gamma -\gamma ')}$

para${\displaystyle T>2,\;\alpha \in \mathbb {R} }$y alguna función de peso${\displaystyle w(u):={\tfrac {4}{(4+u^{2})}}}$.

Montgomery y Goldston ^{[ 2 ]} demostraron bajo la hipótesis de Riemann que para${\displaystyle |\alpha |\leq 1}$Esta función converge uniformemente.

${\displaystyle F(\alpha )=T^{-2|\alpha |}\log(T)(1+{\mathcal {o}}(1))+|\alpha |+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty .}$

Montgomery conjeturó, lo que ahora se conoce como la conjetura F(α) o conjetura de correlación de pares fuerte , que para${\displaystyle |\alpha |>1}$tenemos convergencia uniforme ^{[ 3 ]}

${\displaystyle F(\alpha )=1+{\mathcal {o}}(1),\quad T\to \infty }$

para${\displaystyle \alpha }$en un intervalo acotado.

En la década de 1980, motivado por la conjetura de Montgomery, Odlyzko inició un estudio numérico intensivo de la estadística de los ceros de ζ( s ). Confirmó la distribución de los espaciamientos entre ceros no triviales mediante cálculos numéricos detallados y demostró que la conjetura de Montgomery sería cierta y que la distribución coincidiría con la distribución de los espaciamientos de los autovalores de matrices aleatorias GUE utilizando Cray X-MP . En 1987 publicó los cálculos en el artículo Andrew Odlyzko ( 1987 ) . 

Para cero no trivial, 1/2 + i γ _n , sean los espaciamientos normalizados

${\displaystyle \delta _{n}={\frac {\gamma _{n+1}-\gamma _{n}}{2\pi }}\,{\log {\frac {\gamma _{n}}{2\pi }}}.}$

Entonces esperaríamos la siguiente fórmula como límite para${\displaystyle M,N\to \infty }$:

${\displaystyle {\frac {1}{M}}\{(n,k)\mid N\leq n\leq N+M,\,k\geq 0,\,\delta _{n}+\delta _{n+1}+\cdots +\delta _{n+k}\in [\alpha ,\beta ]\}\sim \int _{\alpha }^{\beta }\left(1-{\biggl (}{\frac {\sin {\pi u}}{\pi u}}{\biggr )}^{2}\right)du}$

Basándose en un nuevo algoritmo desarrollado por Odlyzko y Arnold Schönhage que les permitió calcular un valor de ζ(1/2 + i t ) en un tiempo promedio de t ^ε pasos, Odlyzko calculó millones de ceros a alturas alrededor de 10 ²⁰ y proporcionó algunas evidencias para la conjetura GUE. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La figura contiene los primeros 10⁵ ^ceros no triviales de la función zeta de Riemann. A medida que se muestrean más ceros, su distribución se aproxima más a la forma de la matriz aleatoria GUE.

• Movimiento browniano y función zeta de Riemann
• Par de Lehmer

• Ozluk, AE (1982), Correlación de pares de ceros de funciones L de Dirichlet , Tesis doctoral, Ann Arbor: Univ. de Michigan, MR 2632180 
• Katz, Nicholas M.; Sarnak , Peter (1999), "Ceros de funciones zeta y simetría", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , Nueva Serie, 36 (1): 1–26 , doi : 10.1090/S0273-0979-99-00766-1 , ISSN 0002-9904 , MR 1640151  
• Montgomery, Hugh L. (1973), "La correlación de pares de ceros de la función zeta", Analytic number theory , Proc. Sympos. Pure Math., vol.  XXIV, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 181–193 , MR 0337821  
• Odlyzko, AM (1987), "Sobre la distribución de espaciamientos entre ceros de la función zeta", Mathematics of Computation , 48 (177): 273–308 , doi : 10.2307/2007890 , ISSN 0025-5718 , JSTOR 2007890 , MR 0866115   
• Rudnick, Zeév; Sarnak, Peter (1996), "Ceros de las funciones L principales y teoría de matrices aleatorias", Duke Mathematical Journal , 81 (2): 269–322 , doi : 10.1215/S0012-7094-96-08115-6 , ISSN 0012-7094 , MR 1395406