Horóptero

En ciencias de la visión , el horóptero se definió originalmente en términos geométricos como el lugar geométrico de los puntos en el espacio que forman el mismo ángulo en cada ojo con el punto de fijación , aunque más recientemente, en estudios de visión binocular, se considera el lugar geométrico de los puntos en el espacio que tienen la misma disparidad que la fijación. Esto se puede definir teóricamente como los puntos en el espacio que se proyectan sobre puntos correspondientes en ambas retinas , es decir, sobre puntos anatómicamente idénticos. El horóptero se puede medir empíricamente definiéndolo mediante algún criterio.

El concepto de horóptero puede entonces extenderse como un lugar geométrico de puntos en el espacio donde se cumple una condición específica:

• El horóptero binocular es el lugar geométrico de los puntos de isodisparidad en el espacio;
• El horóptero oculomotor es el lugar geométrico de los puntos de isovergencia en el espacio.

Al igual que otras magnitudes que describen los principios funcionales del sistema visual, es posible proporcionar una descripción teórica del fenómeno. La medición mediante experimentos psicofísicos suele ofrecer una definición empírica que se desvía ligeramente de la teórica. La teoría subyacente es que esta desviación representa una adaptación del sistema visual a las regularidades que se pueden encontrar en entornos naturales. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El horóptero, como conjunto especial de puntos de visión única, fue mencionado por primera vez en el siglo XI por Ibn al-Haytham , conocido en Occidente como "Alhazen". ^{[ 3 ]} Se basó en el trabajo de Ptolomeo sobre la visión binocular ^{[ 4 ]} y descubrió que los objetos situados sobre una línea horizontal que pasa por el punto de fijación producían imágenes únicas, mientras que los objetos a una distancia razonable de esta línea producían imágenes dobles. Así, Alhazen notó la importancia de algunos puntos en el campo visual , pero no determinó la forma exacta del horóptero y utilizó la visión única como criterio.

El término horóptero fue introducido por Franciscus Aguilonius en el segundo de sus seis libros sobre óptica en 1613. ^{[ 5 ]} En 1818, Gerhard Vieth argumentó, a partir de la geometría euclidiana , que el horóptero debía ser un círculo que pasara por el punto de fijación y el nodo de ambos ojos. Unos años más tarde, Johannes Müller llegó a una conclusión similar para el plano horizontal que contiene el punto de fijación, aunque esperaba que el horóptero fuera una superficie en el espacio (es decir, no restringida al plano horizontal). El horóptero teórico/geométrico en el plano horizontal se conoció como el círculo de Vieth-Müller . Sin embargo, véase la siguiente sección, Horóptero teórico, donde se afirma que esto ha sido un caso de identidad errónea durante unos 200 años.

En 1838, Charles Wheatstone inventó el estereoscopio , lo que le permitió explorar el horóptero empírico. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Descubrió que había muchos puntos en el espacio que producían una visión única; esto es muy diferente del horóptero teórico, y autores posteriores han encontrado de manera similar que el horóptero empírico se desvía de la forma esperada en base a la geometría simple. Recientemente, se ha proporcionado una explicación plausible a esta desviación, mostrando que el horóptero empírico está adaptado a las estadísticas de disparidades retinianas que normalmente se experimentan en entornos naturales. ^{[ 1 ] [ 2 ]} De esta manera, el sistema visual puede optimizar sus recursos a los estímulos que tienen más probabilidades de ser experimentados.

Más tarde, Hermann von Helmholtz y Ewald Hering determinaron la forma exacta del horóptero casi simultáneamente. Sus descripciones identificaron dos componentes para el horóptero en el caso de una fijación simétrica más cercana al infinito. El primero se encuentra en el plano que contiene el punto de fijación (dondequiera que esté) y los dos nodos del ojo. Históricamente, el lugar geométrico de los puntos horópteros en este plano se consideraba un círculo (el círculo de Vieth-Müller ) que iba de un nodo al otro en el espacio y pasaba por el punto de fijación, hasta que Howarth (2011) ^{[ 8 ]} observó que solo la porción del círculo que contenía el punto de fijación formaba el mismo ángulo en ambos ojos. El segundo componente es una línea (la línea de Prévost-Burckhardt ) que es perpendicular a este arco en el plano medio , cortándolo en el punto medio entre los dos ojos (que puede ser, o no, el punto de fijación). ^{[ 8 ]} Esta geometría de horóptero de un arco en el plano de fijación y una línea perpendicular permanece aproximadamente fija con respecto a los centros de los ojos mientras los ojos se fijan en algún punto de estas dos líneas. Cuando los ojos se fijan en cualquier punto fuera de estas dos líneas, el horóptero teórico toma la forma de un cubo retorcido que pasa por el punto de fijación y se aproxima asintóticamente a las dos líneas en sus extremos. ^{[ 9 ]} (Bajo ninguna circunstancia el horóptero se convierte en un cilindro que pasa por el círculo de Vieth-Müller o en un toro centrado en los puntos nodales de los dos ojos, como se suele suponer popularmente). Si los ojos se fijan en cualquier punto del infinito, el círculo de Vieth-Müller tiene radio infinito y el horóptero se convierte en el plano bidimensional que pasa por las dos líneas rectas del horóptero.

^{En detalle, la identificación del horóptero teórico/geométrico con el círculo de Vieth-Müller es solo una aproximación. Gulick y Lawson (1976) [ 10 ]} señalaron que la aproximación anatómica de Müller, según la cual el punto nodal y el centro de rotación del ojo coinciden, debería refinarse. Desafortunadamente, su intento de corregir esta suposición fue erróneo, como se demuestra en Turski (2016) ^{[ 11 ]} . Este análisis muestra que, para un punto de fijación dado, se obtiene un círculo horóptero ligeramente diferente para cada elección distinta de la ubicación del punto nodal. Además, si se cambia el punto de fijación a lo largo de un círculo de Vieth-Müller dado, de manera que el valor de la vergencia permanezca constante, se obtiene una familia infinita de tales horópteros, en la medida en que el punto nodal se desvíe del centro de rotación del ojo. Estas afirmaciones se derivan del Teorema del Ángulo Central y del hecho de que tres puntos no colineales dan un círculo único. También se puede demostrar que, para fijaciones a lo largo de un círculo de Vieth-Müller dado, todos los círculos horópteros correspondientes se intersecan en el punto de convergencia simétrica. ^{[ 11 ]} Este resultado implica que cada miembro de la familia infinita de horópteros también está compuesto por un círculo en el plano de fijación y una línea recta perpendicular que pasa por el punto de convergencia simétrica ^{[ 8 ]} (ubicado en el círculo) siempre que los ojos estén en posición primaria o secundaria.

Cuando los ojos se encuentran en posición terciaria, alejados de las dos líneas básicas del horóptero, deben tenerse en cuenta las disparidades verticales debidas a la magnificación diferencial de la distancia por encima o por debajo del círculo de Vieth-Müller, tal como lo calculó Helmholtz. En este caso, el horóptero se convierte en una espiral de un solo bucle que pasa por el punto de fijación y converge hacia el horóptero vertical en los extremos superior e inferior, pasando por el punto nodal de ambos ojos. ^{[ 9 ] [ 12 ]} Esta forma fue predicha por Helmholtz y posteriormente confirmada por Solomons. ^{[ 13 ] [ 14 ]} En el caso general que incluye el hecho de que los ojos ciclorrotan al mirar por encima o por debajo del círculo del horóptero primario, los componentes teóricos del horóptero (círculo y línea recta) giran verticalmente alrededor del eje de los puntos nodales de los ojos. ^{[ 9 ] [ 15 ]}

Como observó Wheatstone (1838), ^{[ 7 ]} el horóptero empírico, definido por la unicidad de la visión, es mucho mayor que el horóptero teórico. Esto fue estudiado por Peter Ludvig Panum en 1858. Propuso que cualquier punto en una retina podría producir una unicidad de visión con cualquier punto dentro de una región circular centrada en el punto correspondiente en la otra retina. Esto se ha conocido como el área de fusión de Panum , ^{[ 16 ]} o simplemente área de Panum , ^{[ 17 ]} aunque recientemente se ha tomado que se refiera al área en el plano horizontal, alrededor del círculo de Vieth-Müller, donde cualquier punto aparece único.

Estas primeras investigaciones empíricas utilizaron el criterio de visión única, o ausencia de diplopía, para determinar el horóptero. Actualmente, el horóptero se define generalmente por el criterio de direcciones visuales idénticas (similar en principio al horóptero de movimiento aparente , ya que las direcciones visuales idénticas no producen movimiento aparente). Otros criterios utilizados a lo largo de los años incluyen el horóptero del plano frontal-paralelo aparente , el horóptero de equidistancia , el horóptero de la prueba de la caída o el horóptero de la plomada . Si bien estos diversos horópteros se miden utilizando diferentes técnicas y tienen diferentes motivaciones teóricas, la forma del horóptero permanece idéntica independientemente del criterio utilizado para su determinación.

Se ha observado consistentemente que la forma del horóptero empírico se desvía del horóptero geométrico. Para el horóptero horizontal, esto se conoce como la desviación de Hering-Hillebrand . El horóptero empírico es más plano de lo predicho por la geometría a distancias de fijación cortas y se vuelve convexo a distancias de fijación mayores. Además, se ha observado consistentemente que el horóptero vertical presenta una inclinación hacia atrás de aproximadamente 2 grados con respecto a su orientación predicha (perpendicular al plano de fijación). La teoría subyacente a estas desviaciones es que el sistema visual binocular está adaptado a las irregularidades que se pueden encontrar en entornos naturales. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

En visión por computadora , el horóptero se define como la curva de puntos en el espacio 3D que tienen proyecciones de coordenadas idénticas con respecto a dos cámaras con los mismos parámetros intrínsecos. ^{[ 18 ]} Generalmente es un cúbico retorcido . ^{[ 19 ]} Un cúbico retorcido se puede representar paramétricamente como x  = x (θ), y = y (θ), z = z (θ) donde x (θ), y (θ), z (θ) son tres polinomios independientes de tercer grado . ^{[ 20 ]} En algunas configuraciones degeneradas, el horóptero se reduce a una curva cónica. ^{[ 19 ]}