Paraestadística

En mecánica cuántica y mecánica estadística , la paraestadística es una alternativa hipotética ^{[ 1 ]} a los modelos de estadística de partículas establecidos ( estadística de Bose-Einstein , estadística de Fermi-Dirac y estadística de Maxwell-Boltzmann ). Otras alternativas incluyen la estadística aniónica y la estadística de trenzas , ambas involucrando dimensiones espaciotemporales inferiores. A Herbert S. Green ^{[ 2 ]} se le atribuye la creación de la paraestadística en 1953. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Las partículas predichas por la paraestadística no han sido observadas experimentalmente.

Consideremos el álgebra de operadores de un sistema de${\displaystyle N}$partículas idénticas. Esto es un *-álgebra . Hay una${\displaystyle S_{N}}$grupo ( grupo simétrico de orden)${\displaystyle N}$) actuando sobre el álgebra de operadores con la interpretación prevista de permutar el${\displaystyle N}$partículas. La mecánica cuántica requiere centrarse en observables que tengan un significado físico, y los observables tendrían que ser invariantes bajo todas las permutaciones posibles de las partículas.${\displaystyle N}$partículas. Por ejemplo, en el caso${\displaystyle N=2,\,R_{2}-R_{1}}$no puede ser un observable porque cambia de signo si intercambiamos las dos partículas, pero la distancia${\displaystyle |R_{2}-R_{1}|}$La relación entre las dos partículas es una magnitud observable legítima.

En otras palabras, el álgebra observable tendría que ser una *- subálgebra invariante bajo la acción de${\displaystyle S_{N}}$(teniendo en cuenta que esto no significa que cada elemento del álgebra de operadores sea invariante bajo${\displaystyle S_{N}}$es un observable). Esto permite diferentes sectores de superselección , cada uno parametrizado por un diagrama de Young de${\displaystyle S_{N}}$.

En particular:

• Para${\displaystyle N}$parabosones idénticos de orden${\displaystyle p}$(dónde${\displaystyle p}$es un entero positivo), los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con${\displaystyle p}$o menos filas.
• Para${\displaystyle N}$parafermiones idénticos de orden${\displaystyle p}$, los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con${\displaystyle p}$o menos columnas.
• Si${\displaystyle p=1}$, esto se reduce a las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac respectivamente .
• Si${\displaystyle p}$Si es arbitrariamente grande (infinito), esto se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann.

Hay operadores de creación y aniquilación que satisfacen las relaciones de conmutación trilineales ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m},}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l},a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}[a_{k},a_{l}]_{\mp }=0.}$

Un campo de parabosones de orden p ,${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$donde si x e y son puntos separados espacialmente ,${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$y${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$si${\displaystyle i\neq j}$donde [⋅,  ⋅] es el conmutador y {⋅,  ⋅} es el anticonmutador . Nótese que esto contradice el teorema de espín-estadística , que se aplica a bosones y no a parabosones. Podría existir un grupo como el grupo simétrico S _p que actúe sobre los φ ^{( i )} s. Los observables tendrían que ser operadores invariantes bajo el grupo en cuestión. Sin embargo, la existencia de tal simetría no es esencial.

Un campo de parafermiones${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$de orden p , donde si x e y son puntos separados espacialmente ,${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$y${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$si${\displaystyle i\neq j}$. El mismo comentario sobre los observables se aplicaría junto con el requisito de que tengan una graduación par bajo la graduación donde los ψ tienen una graduación impar.

Las álgebras parafermiónica y parabosónica se generan mediante elementos que cumplen las relaciones de conmutación y anticonmutación. Generalizan el álgebra fermiónica usual y el álgebra bosónica de la mecánica cuántica. ^{[ 5 ]} El álgebra de Dirac y el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau aparecen como casos especiales del álgebra parafermiónica para los órdenes p  =  1 y p  =  2, respectivamente. ^{[ 6 ]}

• Transformación de Klein sobre cómo convertir entre paraestadística y estadística más convencional. ^{[ 1 ]}