ecuación diferencial parcial parabólica

Una ecuación diferencial parcial parabólica es un tipo de ecuación diferencial parcial (EDP). Las EDP parabólicas se utilizan para describir una amplia variedad de fenómenos dependientes del tiempo en, por ejemplo, la ingeniería , la mecánica cuántica y las matemáticas financieras . Algunos ejemplos son la ecuación del calor , la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y la ecuación de Black-Scholes .

Para definir el tipo más simple de EDP parabólica, consideremos una función de valor real.${\displaystyle u(x,y)}$de dos variables reales independientes,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. Una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden con coeficientes constantes para${\displaystyle u}$toma la forma

${\displaystyle Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,}$

donde los subíndices denotan las derivadas parciales de primer y segundo orden con respecto a${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$. La EDP se clasifica como parabólica si los coeficientes de la parte principal (es decir, los términos que contienen las segundas derivadas de${\displaystyle u}$) satisfacen la condición ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B^{2}-AC=0.}$

Generalmente${\displaystyle x}$representa una posición unidimensional y${\displaystyle y}$representa el tiempo, y la EDP se resuelve sujeta a condiciones iniciales y de contorno prescritas . Ecuaciones con${\displaystyle B^{2}-AC<0}$se denominan elípticas mientras que aquellas con${\displaystyle B^{2}-AC>0}$son hiperbólicas . El nombre "parabólica" se usa porque la suposición sobre los coeficientes es la misma que la condición para la ecuación de geometría analítica.${\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$para definir una parábola plana .

El ejemplo básico de una ecuación diferencial parcial parabólica es la ecuación del calor unidimensional.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,u_{xx},}$

dónde${\displaystyle u(x,t)}$es la temperatura en la posición${\displaystyle x}$a lo largo de una varilla delgada en el tiempo${\displaystyle t}$y${\displaystyle \alpha }$es una constante positiva llamada difusividad térmica .

La ecuación del calor dice, aproximadamente, que la temperatura en un momento y punto dados aumenta o disminuye a una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura en ese punto y la temperatura promedio cerca de ese punto. La cantidad${\displaystyle u_{xx}}$mide qué tan lejos está la temperatura de satisfacer la propiedad del valor medio de las funciones armónicas .

El concepto de una ecuación diferencial parcial parabólica se puede generalizar de varias maneras. Por ejemplo, el flujo de calor a través de un cuerpo material se rige por la ecuación de calor tridimensional.

${\displaystyle u_{t}=\alpha \,\Delta u,}$

dónde

${\displaystyle \Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}},}$

denota el operador de Laplace que actúa sobre${\displaystyle u}$Esta ecuación es el prototipo de una EDP parabólica multidimensional . ^{[ 2 ]}

Observando que${\displaystyle -\Delta }$es un operador elíptico sugiere una definición más amplia de una EDP parabólica:

${\displaystyle u_{t}=-Lu,}$

dónde${\displaystyle L}$es un operador elíptico de segundo orden (lo que implica que${\displaystyle L}$debe ser positivo ; un caso donde${\displaystyle u_{t}=+Lu}$se considera a continuación).

Un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para un vector${\displaystyle u}$También puede ser parabólico. Por ejemplo, dicho sistema está oculto en una ecuación de la forma

${\displaystyle \nabla \cdot (a(x)\nabla u(x))+b(x)^{\text{T}}\nabla u(x)+cu(x)=f(x)}$

si la función con valores matriciales${\displaystyle a(x)}$tiene un núcleo de dimensión 1.

Bajo supuestos generales, un problema de valores iniciales/de contorno para una EDP parabólica lineal tiene una solución para todo tiempo. La solución${\displaystyle u(x,t)}$, en función de${\displaystyle x}$por un tiempo fijo${\displaystyle t>0}$, generalmente es más suave que los datos iniciales${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}$, según la teoría de la regularidad parabólica .

Para una ecuación diferencial parcial parabólica no lineal, la solución de un problema de valores iniciales y de contorno puede divergir en una singularidad en un tiempo finito. Resulta difícil determinar si existe una solución para todo tiempo o comprender las singularidades que surgen. Estas interesantes cuestiones se plantean al resolver la conjetura de Poincaré mediante el flujo de Ricci .

En ocasiones uno se encuentra con una denominada EDP parabólica hacia atrás , que toma la forma${\displaystyle u_{t}=Lu}$(nótese la ausencia de un signo menos).

Un problema de valor inicial para la ecuación del calor hacia atrás,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=-\Delta u&{\textrm {en}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {en}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {en}}\ \ \Omega \times \left\{0\right\}.\end{cases}}}$

es equivalente a un problema de valor final para la ecuación del calor ordinaria,

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=\Delta u&{\textrm {en}}\ \ \Omega \times (0,T),\\u=0&{\textrm {en}}\ \ \partial \Omega \times (0,T),\\u=f&{\textrm {en}}\ \ \Omega \times \left\{T\right\}.\end{cases}}}$

De forma similar a un problema de valor final para una EDP parabólica, un problema de valor inicial para una EDP parabólica regresiva generalmente no está bien planteado (las soluciones a menudo crecen sin límite en un tiempo finito, o incluso no existen). No obstante, estos problemas son importantes para el estudio de la reflexión de singularidades de soluciones de otras EDP. ^{[ 3 ]}

• ecuación diferencial parcial elíptica
• ecuación diferencial parcial hiperbólica

• Taylor, Michael E. (1975). "Reflexión de singularidades de soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales". Communications on Pure and Applied Mathematics . 28 (4): 457– 478. CiteSeerX 10.1.1.697.9255 . doi : 10.1002/cpa.3160280403 . ISSN 0010-3640 .  
• Zauderer, Erich (2006). Ecuaciones diferenciales parciales de matemáticas aplicadas . Hoboken, NJ: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-69073-3OCLC 70158521​​ 

• Perthame, Benoît (2015), Ecuaciones parabólicas en biología  : crecimiento, reacción, movimiento y difusión , Springer, ISBN 978-3-319-19499-8
• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Ecuaciones diferenciales parciales , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  19 (2.ª  ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/019 , ISBN 978-0-8218-4974-3, MR 2597943 
• "Ecuación diferencial parcial parabólica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Ecuación diferencial parcial parabólica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]