Parábola

En coordenadas cartesianas , si el vértice${\displaystyle V}$es el origen y la directriz tiene la ecuación${\displaystyle y=-f}$, entonces, al examinar el caso${\displaystyle x=0}$, el enfoque${\displaystyle F}$es positivo​${\displaystyle y}$-eje , con${\displaystyle F=(0,f)}$, donde${\displaystyle f}$es la distancia focal.

La caracterización geométrica anterior implica que un punto ${\displaystyle P=(x,y)}$está en la parábola si y solo si $${\displaystyle x^{2}+(yf)^{2}=(y+f)^{2}.}$$Resolver para${\displaystyle y}$rendimientos $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

Esta parábola tiene forma de U ( se abre hacia arriba ).

La cuerda horizontal que pasa por el foco está sobre la línea de la ecuación .${\displaystyle y=f}$( ver imagen en la sección inicial); se llama lado recto ; una mitad del mismo es el semilado recto . El lado recto es paralelo a la directriz. El semilado recto se denota por${\displaystyle p}$De la ecuación que satisfacen los extremos del lado recto, se obtiene $${\displaystyle p=2f.}$$ Por lo tanto, el semi-lacto recto es la distancia desde el foco hasta la directriz. Usando el parámetro${\displaystyle p}$, la ecuación de la parábola se puede reescribir como $${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

De manera más general, si el vértice es${\ Displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$, el enfoque${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$y la directora${\displaystyle y=v_{2}-f}$, se obtiene la ecuación $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

Observaciones :

• Si${\displaystyle f<0}$En las ecuaciones anteriores se obtiene una parábola con una abertura hacia abajo.
• La hipótesis de que el eje es paralelo al ⁠${\displaystyle y}$El eje x implica que la parábola es la gráfica de una función cuadrática . Recíprocamente, la gráfica de una función cuadrática arbitraria es una parábola (véase la siguiente sección).
• Si uno intercambia${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, se obtienen ecuaciones de la forma${\displaystyle y^{2}=2px}$Estas parábolas se abren hacia la izquierda (si${\displaystyle p<0}$) o a la derecha (si${\displaystyle p>0}$).

Si el enfoque es${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$y la directora${\displaystyle ax+by+c=0}$, entonces se obtiene la ecuación $${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(el lado izquierdo de la ecuación utiliza la forma normal de Hesse de una línea para calcular la distancia${\displaystyle |Pl|}$).

Para una ecuación paramétrica de una parábola en posición general , véase §  Como la imagen afín de la parábola unitaria .

La ecuación implícita de una parábola se define mediante un polinomio irreducible de grado dos: $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$ de tal manera que${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$o, equivalentemente, de tal manera que${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$es el cuadrado de un polinomio lineal .

El diagrama representa un cono con su eje AV . El punto A es su vértice . Una sección transversal inclinada del cono, mostrada en rosa, forma un ángulo θ con el eje , igual que el lado del cono. Según la definición de parábola como sección cónica, el límite de esta sección transversal EPD rosa es una parábola.

Una sección transversal perpendicular al eje del cono pasa por el vértice P de la parábola. Esta sección transversal es circular, pero parece elíptica cuando se observa oblicuamente, como se muestra en el diagrama. Su centro es V, y PK es un diámetro. Llamaremos a su radio r . 

Otra sección transversal circular del cono, perpendicular al eje, se encuentra más alejada del vértice A que la descrita anteriormente. Posee una cuerda DE , que une los puntos donde la parábola interseca la circunferencia. Otra cuerda BC es la mediatriz de DE y, por consiguiente, un diámetro de la circunferencia. Estas dos cuerdas y el eje de simetría de la parábola PM se intersecan en el punto  M.

Todos los puntos etiquetados, excepto D y E, son coplanares . Se encuentran en el plano de simetría de la figura completa. Esto incluye el punto F, que no se menciona anteriormente. Se define y se analiza más adelante, en la sección «  Posición del foco» .

Llamemos x a la longitud de DM y de EM , y y a la longitud de PM . 

Las longitudes de BM y CM son:

Utilizando el teorema de las cuerdas secantes en las cuerdas BC y DE , obtenemos $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

Sustituyendo: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

Reorganizando: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

Para cualquier cono y parábola dados, r y θ son constantes, pero x e y son variables que dependen de la altura arbitraria a la que se realiza la sección transversal horizontal BECD. Esta última ecuación muestra la relación entre estas variables. Se pueden interpretar como coordenadas cartesianas de los puntos D y E, en un sistema en el plano rosa con P como origen. Dado que x está al cuadrado en la ecuación, el hecho de que D y E estén en lados opuestos del eje y es irrelevante. Si la sección transversal horizontal se mueve hacia arriba o hacia abajo, hacia o lejos del vértice del cono, D y E se mueven a lo largo de la parábola, manteniendo siempre la relación entre x e y mostrada en la ecuación. Por lo tanto, la curva parabólica es el lugar geométrico de los puntos donde se satisface la ecuación, lo que la convierte en una gráfica cartesiana de la función cuadrática en la ecuación.

En una sección anterior se demuestra que si una parábola tiene su vértice en el origen y se abre en la dirección positiva del eje y , entonces su ecuación es y = ⁠ x ² / 4 f ⁠ , donde f es su distancia focal. ^{[ b ]} Comparando esto con la última ecuación anterior se muestra que la distancia focal de la parábola en el cono es r cos θ .

En el diagrama anterior, el punto  V es el pie de la perpendicular desde el vértice de la parábola al eje del cono. El punto  F es el pie de la perpendicular desde el punto  V al plano de la parábola. ^{[ c ]} Por simetría, F está en el eje de simetría de la parábola. El ángulo VPF es complementario a θ , y el ángulo PVF es complementario al ángulo VPF, por lo tanto, el ángulo PVF es θ . Como la longitud de PV es r , la distancia de F al vértice de la parábola es r sen θ . Se muestra arriba que esta distancia es igual a la distancia focal de la parábola, que es la distancia desde el vértice al foco.  Por lo tanto, el foco y el punto F están a la misma distancia del vértice, a lo largo de la misma línea, lo que implica que son el mismo punto. Por lo tanto, el punto  F, definido arriba, es el foco de la parábola .

Esta discusión partió de la definición de parábola como sección cónica, pero ha derivado en su descripción como gráfica de una función cuadrática. Esto demuestra que ambas descripciones son equivalentes, ya que definen curvas con la misma forma.

Se puede realizar una demostración alternativa utilizando esferas de Dandelin . Funciona sin cálculos y solo utiliza consideraciones geométricas elementales (véase la deducción a continuación).

La intersección de un cono vertical por un plano${\displaystyle \pi }$, cuya inclinación con respecto a la vertical es la misma que la de una generatriz (también conocida como línea generadora, una línea que contiene el vértice y un punto en la superficie del cono).${\displaystyle m_{0}}$La curva del cono es una parábola (curva roja en el diagrama).

Esta generatriz${\displaystyle m_{0}}$es la única generatriz del cono que es paralela al plano${\displaystyle \pi }$En caso contrario, si existen dos generatrices paralelas al plano de intersección, la curva de intersección será una hipérbola (o una hipérbola degenerada , si las dos generatrices se encuentran en el plano de intersección). Si no existe ninguna generatriz paralela al plano de intersección, la curva de intersección será una elipse o un círculo (o un punto ).

Dejen volar${\displaystyle \sigma }$sea ​​el plano que contiene el eje vertical del cono y la línea${\displaystyle m_{0}}$. La inclinación del plano${\displaystyle \pi }$desde vertical es lo mismo que línea${\displaystyle m_{0}}$significa que, visto desde el lado (es decir, el plano)${\displaystyle \pi }$es perpendicular al plano${\displaystyle \sigma }$),${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$.

Para demostrar la propiedad directriz de una parábola (véase la sección «  Definición como lugar geométrico de puntos » más arriba), se utiliza una esfera de Dandelin.${\displaystyle d}$, que es una esfera que toca el cono a lo largo de un círculo${\displaystyle c}$y avión${\displaystyle \pi }$en el punto${\displaystyle F}$. El plano que contiene el círculo${\displaystyle c}$interseca con el plano${\displaystyle \pi }$en la línea${\displaystyle l}$Existe una simetría especular en el sistema que consta de planos .${\displaystyle \pi }$, esfera de diente de león${\displaystyle d}$y el cono (el plano de simetría es${\displaystyle \sigma }$).

Dado que el plano contiene el círculo${\displaystyle c}$es perpendicular al plano${\displaystyle \sigma }$, y${\displaystyle \pi \perp \sigma }$su línea de intersección${\displaystyle l}$También debe ser perpendicular al plano.${\displaystyle \sigma }$Desde la línea .${\displaystyle m_{0}}$está en el avión${\displaystyle \sigma }$,${\displaystyle l\perp m_{0}}$.

Resulta que${\displaystyle F}$es el foco de la parábola, y${\displaystyle l}$es la directriz de la parábola.

1. Dejar${\displaystyle P}$sea ​​un punto arbitrario de la curva de intersección.
2. La generatriz del cono que contiene${\displaystyle P}$interseca el círculo${\displaystyle c}$en el punto${\displaystyle A}$.
3. Los segmentos de línea${\displaystyle {\overline {PF}}}$y${\displaystyle {\overline {PA}}}$son tangentes a la esfera${\displaystyle d}$y por lo tanto tienen la misma longitud.
4. Generatriz${\displaystyle m_{0}}$interseca el círculo${\displaystyle c}$en el punto${\displaystyle D}$. Los segmentos de línea${\displaystyle {\overline {ZD}}}$y${\displaystyle {\overline {ZA}}}$son tangentes a la esfera${\displaystyle d}$y por lo tanto tienen la misma longitud.
5. Dejemos que la línea${\displaystyle q}$sea ​​la línea paralela a${\displaystyle m_{0}}$y pasando por el punto${\displaystyle P}$. Desde${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$y apuntar${\displaystyle P}$está en el avión${\displaystyle \pi }$, línea${\displaystyle q}$debe estar en el avión${\displaystyle \pi }$. Desde${\displaystyle m_{0}\perp l}$, sabemos que${\displaystyle q\perp l}$también.
6. Dejemos que el punto${\displaystyle B}$sea ​​el pie de la perpendicular desde el punto${\displaystyle P}$a la línea${\displaystyle l}$, eso es,${\displaystyle {\overline {PB}}}$es un segmento de línea${\displaystyle q}$y por lo tanto${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$.
7. Del teorema de la intersección y${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$sabemos que${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$. Desde${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$, sabemos que${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$, lo que significa que la distancia desde${\displaystyle P}$al enfoque${\displaystyle F}$es igual a la distancia desde${\displaystyle P}$a la directora${\displaystyle l}$.

El punto E es un punto arbitrario en la parábola. El foco es F, el vértice es A (el origen) y la recta FA es el eje de simetría. La recta EC es paralela al eje de simetría, interseca el eje x en D e interseca la directriz en C. El punto B es el punto medio del segmento de recta FC .

El vértice A es equidistante del foco F y de la directriz. Como C está en la directriz, las coordenadas y de F y C son iguales en valor absoluto y de signo opuesto. B es el punto medio de FC . Su coordenada x es la mitad de ^{la de D, es decir, x²/2. La pendiente de la recta BE es el cociente de las longitudes de ED y BD, que es x²} /x² = 2x . Pero 2x también es la pendiente ( primera derivada ) de la parábola en E. Por lo tanto, la recta BE es tangente a la parábola en E.

Las distancias EF y EC son iguales porque E está en la parábola, F es el foco y C está en la directriz. Por lo tanto, como B es el punto medio de FC , los triángulos △FEB y △CEB son congruentes (tres lados), lo que implica que los ángulos marcados con α son congruentes. (El ángulo sobre E es opuesto por el vértice al ángulo ∠BEC). Esto significa que un rayo de luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralelo al eje de simetría se reflejará en la línea BE , viajando así a lo largo de la línea EF , como se muestra en rojo en el diagrama (suponiendo que las líneas pueden reflejar la luz de alguna manera). Como BE es la tangente a la parábola en E, la misma reflexión se producirá en un arco infinitesimal de la parábola en E. Por lo tanto, la luz que entra en la parábola y llega a E viajando paralela al eje de simetría de la parábola se refleja en la parábola hacia su foco.

Esta conclusión sobre la luz reflejada se aplica a todos los puntos de la parábola, como se muestra en el lado izquierdo del diagrama. Esta es la propiedad reflectante.

Existen otros teoremas que pueden deducirse simplemente del argumento anterior.

Intersección de una tangente y una perpendicular desde el foco.

Dado que los triángulos △FBE y △CBE son congruentes, FB es perpendicular a la tangente BE . Como B está sobre el eje x , que es la tangente a la parábola en su vértice, se deduce que el punto de intersección entre cualquier tangente a una parábola y la perpendicular desde el foco a dicha tangente se encuentra sobre la recta tangente a la parábola en su vértice. Véase el diagrama animado ^{[ 8 ]} y la curva pedal .

Las demostraciones anteriores de las propiedades de bisección reflectiva y tangente utilizan una línea de cálculo. Aquí se presenta una demostración geométrica.

En este diagrama, F es el foco de la parábola, y T y U se encuentran en su directriz. P es un punto arbitrario en la parábola. PT es perpendicular a la directriz, y la línea MP biseca el ángulo ∠FPT. Q es otro punto en la parábola, con QU perpendicular a la directriz. Sabemos que FP  = PT y FQ = QU . Claramente, QT > QU , por lo que QT > FQ . Todos los puntos en la bisectriz MP son equidistantes de F y T, pero Q está más cerca de F que de T. Esto significa que Q está a la izquierda de MP , es decir, en el mismo lado que el foco. Lo mismo ocurriría si Q estuviera ubicado en cualquier otro lugar de la parábola (excepto en el punto P), por lo que toda la parábola, excepto el punto P, está en el lado del foco de MP . Por lo tanto, MP es la tangente a la parábola en P. Dado que biseca el ángulo ∠FPT, esto demuestra la propiedad de bisección de la tangente.       

La lógica del último párrafo puede aplicarse para modificar la demostración anterior de la propiedad reflectante. Demuestra que la recta BE es tangente a la parábola en E si los ángulos α son iguales. La propiedad reflectante se deduce como se mostró anteriormente.

Cualquier parábola puede describirse en un sistema de coordenadas adecuado mediante una ecuación.${\displaystyle y=ax^{2}}$.

Dejar${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$sean cuatro puntos de la parábola${\displaystyle y=ax^{2}}$, y${\displaystyle Q_{2}}$la intersección de la línea secante${\displaystyle P_{1}P_{4}}$con la línea${\displaystyle x=x_{2},}$y dejar${\displaystyle Q_{1}}$sea ​​la intersección de la línea secante${\displaystyle P_{2}P_{3}}$con la línea${\displaystyle x=x_{1}}$(ver imagen). Luego la línea secante${\displaystyle P_{3}P_{4}}$es paralela a la línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$. (Las líneas${\displaystyle x=x_{1}}$y${\displaystyle x=x_{2}}$son paralelas al eje de la parábola.)

Demostración: cálculo sencillo para la parábola unitaria${\displaystyle y=x^{2}}$.

Aplicación: La propiedad de 4 puntos de una parábola se puede utilizar para la construcción de puntos${\displaystyle P_{4}}$, mientras${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$y${\displaystyle Q_{2}}$se dan.

Nota: la propiedad de 4 puntos de una parábola es una versión afín de la degeneración de 5 puntos del teorema de Pascal.

Dejar${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$sean tres puntos de la parábola con ecuación${\displaystyle y=ax^{2}}$y${\displaystyle Q_{2}}$la intersección de la línea secante${\displaystyle P_{0}P_{1}}$con la línea${\displaystyle x=x_{2}}$y${\displaystyle Q_{1}}$la intersección de la línea secante${\displaystyle P_{0}P_{2}}$con la línea${\displaystyle x=x_{1}}$(ver imagen). Entonces la tangente en el punto${\displaystyle P_{0}}$es paralela a la línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$. (Las líneas${\displaystyle x=x_{1}}$y${\displaystyle x=x_{2}}$son paralelas al eje de la parábola.)

Demostración: se puede realizar para la parábola unitaria${\displaystyle y=x^{2}}$Un cálculo breve muestra: línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$tiene pendiente${\displaystyle 2x_{0}}$que es la pendiente de la tangente en el punto${\displaystyle P_{0}}$.

Aplicación: La propiedad de 3 puntos y 1 tangente de una parábola se puede utilizar para la construcción de la tangente en el punto${\displaystyle P_{0}}$, mientras${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$se dan.

Nota: La propiedad de 3 puntos y 1 tangente de una parábola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal.

Dejar${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$sean dos puntos de la parábola con ecuación${\displaystyle y=ax^{2}}$, y${\displaystyle Q_{2}}$la intersección de la tangente en el punto${\displaystyle P_{1}}$con la línea${\displaystyle x=x_{2}}$, y${\displaystyle Q_{1}}$la intersección de la tangente en el punto${\displaystyle P_{2}}$con la línea${\displaystyle x=x_{1}}$(ver imagen). Luego la secante${\displaystyle P_{1}P_{2}}$es paralela a la línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$. (Las líneas${\displaystyle x=x_{1}}$y${\displaystyle x=x_{2}}$son paralelas al eje de la parábola.)

Demostración: cálculo directo para la parábola unitaria${\displaystyle y=x^{2}}$.

Aplicación: La propiedad de 2 puntos y 2 tangentes se puede utilizar para la construcción de la tangente de una parábola en el punto${\displaystyle P_{2}}$, si${\displaystyle P_{1},P_{2}}$y la tangente en${\displaystyle P_{1}}$se dan.

Observación 1: La propiedad de dos puntos y dos tangentes de una parábola es una versión afín de la degeneración de tres puntos del teorema de Pascal.

Nota 2: La propiedad de 2 puntos y 2 tangentes no debe confundirse con la siguiente propiedad de una parábola, que también trata sobre 2 puntos y 2 tangentes, pero no está relacionada con el teorema de Pascal.

Las afirmaciones anteriores presuponen el conocimiento de la dirección del eje de la parábola, para poder construir los puntos.${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$La siguiente propiedad determina los puntos${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$por dos puntos dados y sus tangentes solamente, y el resultado es que la línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$es paralela al eje de la parábola.

Dejar

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$sean dos puntos de la parábola${\displaystyle y=ax^{2}}$, y${\displaystyle t_{1},t_{2}}$sean sus tangentes;
2. ${\displaystyle Q_{1}}$sea ​​la intersección de las tangentes${\displaystyle t_{1},t_{2}}$,
3. ${\displaystyle Q_{2}}$ser la intersección de la línea paralela a${\displaystyle t_{1}}$a través de${\displaystyle P_{2}}$con la línea paralela a${\displaystyle t_{2}}$a través de${\displaystyle P_{1}}$(Ver imagen).

Luego la línea${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$es paralela al eje de la parábola y tiene la ecuación${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

Demostración: se puede hacer (como las propiedades anteriores) para la parábola unitaria.${\displaystyle y=x^{2}}$.

Aplicación: Esta propiedad puede utilizarse para determinar la dirección del eje de una parábola, si se conocen dos puntos y sus tangentes. Otra forma es determinar los puntos medios de dos cuerdas paralelas; véase la sección sobre cuerdas paralelas .

Nota: Esta propiedad es una versión afín del teorema de dos triángulos de perspectiva de una cónica no degenerada. ^{[ 10 ]}

Relacionado: Acorde${\displaystyle P_{1}P_{2}}$tiene dos propiedades adicionales:

1. Su pendiente es el promedio armónico de las pendientes de las tangentes.${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$.
2. Es paralela a la tangente en la intersección de${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$con la parábola.

Steiner estableció el siguiente procedimiento para la construcción de una cónica no degenerada (véase cónica de Steiner ):

Dados dos lápices${\displaystyle B(U),B(V)}$de líneas en dos puntos${\displaystyle U,V}$(todas las líneas que contienen${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle B(U)}$sobre${\displaystyle B(V)}$Los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.

Este procedimiento puede utilizarse para una construcción sencilla de puntos en la parábola.${\displaystyle y=ax^{2}}$:

• Consideremos el lápiz en el vértice.${\displaystyle S(0,0)}$y el conjunto de líneas${\displaystyle \Pi _{y}}$que son paralelas al eje y .
  1. Dejar${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ser un punto en la parábola, y${\displaystyle A=(0,y_{0})}$,${\displaystyle B=(x_{0},0)}$.
  2. El segmento de línea${\displaystyle {\overline {BP}}}$se divide en n segmentos igualmente espaciados, y esta división se proyecta (en la dirección${\displaystyle BA}$) sobre el segmento de línea${\displaystyle {\overline {AP}}}$(véase la figura). Esta proyección da lugar a una aplicación proyectiva.${\displaystyle \pi }$de lápiz${\displaystyle S}$sobre el lápiz${\displaystyle \Pi _{y}}$.
  3. La intersección de la línea${\displaystyle SB_{i}}$y el i -ésimo paralelo al eje y es un punto de la parábola.

Prueba: cálculo sencillo.

Nota: La generación de Steiner también está disponible para elipses e hipérbolas .

Una parábola dual consiste en el conjunto de tangentes de una parábola ordinaria.

La generación de una cónica según Steiner puede aplicarse a la generación de una cónica dual cambiando el significado de los puntos y las líneas:

Sean dados dos conjuntos de puntos en dos líneas.${\displaystyle u,v}$y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva${\displaystyle \pi }$Entre estos conjuntos de puntos, las líneas que conectan los puntos correspondientes forman una cónica dual no degenerada.

Para generar elementos de una parábola dual, se comienza con

1. tres puntos${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$no en una línea,
2. divide las secciones de la línea${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$y${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$cada uno en${\displaystyle n}$Segmentos de línea igualmente espaciados y suma números como se muestra en la imagen.
3. Luego las líneas${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$son tangentes de una parábola, por lo tanto, elementos de una parábola dual.
4. La parábola es una curva de Bézier de grado 2 con los puntos de control.${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$.

La demostración es consecuencia del algoritmo de De Casteljau para una curva de Bézier de grado 2.

Sea Q el eje de simetría que interseca la parábola, y denotemos el foco como F y su distancia a Q como f . Sea T la perpendicular al eje de simetría que pasa por el foco y que interseca la parábola. Entonces (1) la distancia de F a T es 2f , y (2) una tangente a la parábola en T interseca el eje de simetría en un ángulo de 45° . ^{[ 13 ] : 26}

Si dos tangentes a una parábola son perpendiculares entre sí, se intersecan en la directriz. Recíprocamente, dos tangentes que se intersecan en la directriz son perpendiculares. En otras palabras, en cualquier punto de la directriz, la parábola forma un ángulo recto.

Sean tres tangentes a una parábola que formen un triángulo. Entonces, el teorema de Lambert establece que el foco de la parábola se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo. ^{[ 14 ] [ 8 ] : Corolario 20}

El teorema recíproco de Tsukerman al teorema de Lambert establece que, dadas tres líneas que delimitan un triángulo, si dos de las líneas son tangentes a una parábola cuyo foco se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo, entonces la tercera línea también es tangente a la parábola. ^{[ 15 ]}

Supongamos que una cuerda cruza una parábola perpendicularmente a su eje de simetría. Sea c la longitud de la cuerda entre los puntos donde interseca la parábola y d la distancia desde el vértice de la parábola hasta la cuerda, medida a lo largo del eje de simetría . La distancia focal, f , de la parábola viene dada por $${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

El área encerrada entre una parábola y una cuerda (véase el diagrama) es dos tercios del área del paralelogramo que la rodea. Un lado del paralelogramo es la cuerda y el lado opuesto es tangente a la parábola. ^{[ 16 ] [ 17 ]} La pendiente de los otros lados paralelos es irrelevante para el área. A menudo, como en este caso, se dibujan paralelos al eje de simetría de la parábola, pero esto es arbitrario.

Un teorema equivalente a este, pero con detalles diferentes, fue derivado por Arquímedes en el siglo III a. C. Utilizó las áreas de triángulos, en lugar de la del paralelogramo. ^{[ d ]} Véase La cuadratura de la parábola .

Si la cuerda tiene longitud b y es perpendicular al eje de simetría de la parábola, y si la distancia perpendicular desde el vértice de la parábola a la cuerda es h , el paralelogramo es un rectángulo con lados de longitud b y h . Por lo tanto, el área A del segmento parabólico encerrado por la parábola y la cuerda es $${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

Esta fórmula se puede comparar con el área de un triángulo: ⁠ 1 / 2 ⁠ bh .

En general, el área encerrada se puede calcular de la siguiente manera. Primero, localice el punto de la parábola donde su pendiente es igual a la de la cuerda. Esto se puede hacer con cálculo o usando una línea paralela al eje de simetría de la parábola que pasa por el punto medio de la cuerda. El punto requerido es donde esta línea interseca la parábola. ^{[ e ]} Luego, usando la fórmula dada en Distancia de un punto a una línea , calcule la distancia perpendicular desde este punto a la cuerda. Multiplique esto por la longitud de la cuerda para obtener el área del paralelogramo, luego por 2/3 para obtener el área encerrada requerida.

Una consecuencia de lo anterior es que si una parábola tiene varias cuerdas paralelas, sus puntos medios se encuentran todos sobre una línea paralela al eje de simetría. Si se trazan tangentes a la parábola a través de los extremos de cualquiera de estas cuerdas, las dos tangentes se intersecan en esta misma línea paralela al eje de simetría (véase Dirección del eje de una parábola ). ^{[ f ]}

Si un punto X se encuentra en una parábola con distancia focal f , y si p es la distancia perpendicular desde X al eje de simetría de la parábola, entonces las longitudes de los arcos de la parábola que terminan en X se pueden calcular a partir de f y p de la siguiente manera, suponiendo que todas se expresan en las mismas unidades. ^{[ g ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

Esta cantidad s es la longitud del arco entre X y el vértice de la parábola.

La longitud del arco entre X y el punto simétricamente opuesto en el otro lado de la parábola es 2 s .

La distancia perpendicular p puede tomar un signo positivo o negativo para indicar en qué lado del eje de simetría X se encuentra. Invertir el signo de p invierte los signos de h y s sin cambiar sus valores absolutos. Si estas cantidades tienen signo, la longitud del arco entre dos puntos cualesquiera de la parábola siempre se representa mediante la diferencia entre sus valores de s . El cálculo se puede simplificar utilizando las propiedades de los logaritmos. $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

Esto puede resultar útil, por ejemplo, para calcular el tamaño del material necesario para fabricar un reflector parabólico o un colector parabólico .

Este cálculo puede utilizarse para una parábola en cualquier orientación. No se limita al caso en que el eje de simetría sea paralelo al eje y .

Una transformación afín del plano euclidiano tiene la forma${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$, dónde${\displaystyle A}$es una matriz regular ( el determinante no es 0), y${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es un vector arbitrario. Si${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$son los vectores columna de la matriz${\displaystyle A}$, la parábola unitaria${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$se proyecta sobre la parábola $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$ dónde

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$es un punto de la parábola,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$es un vector tangente en el punto${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$,
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$es paralela al eje de la parábola (eje de simetría que pasa por el vértice).

En general, los dos vectores${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$no son perpendiculares y${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$no es el vértice, a menos que la transformación afín sea una similitud .