subgrupo Borel

En la teoría de grupos algebraicos , un subgrupo de Borel de un grupo algebraico G es un subgrupo algebraico resoluble , cerrado y conexo de Zariski maximal . Por ejemplo, en el grupo lineal general GL _n ( matrices invertibles nxn ), el subgrupo de matrices triangulares superiores invertibles es un subgrupo de Borel.

Para grupos realizados sobre cuerpos algebraicamente cerrados , existe una única clase de conjugación de subgrupos de Borel.

Los subgrupos de Borel son uno de los dos ingredientes clave para comprender la estructura de los grupos algebraicos simples (o, más generalmente, reductivos ), en la teoría de grupos con un par ( B , N ) de Jacques Tits . Aquí , el grupo B es un subgrupo de Borel y N es el normalizador de un toro maximal contenido en B.

Este concepto fue introducido por Armand Borel , quien desempeñó un papel fundamental en el desarrollo de la teoría de los grupos algebraicos.

Los subgrupos entre un subgrupo de Borel B y el grupo ambiente G se denominan subgrupos parabólicos . Los subgrupos parabólicos P también se caracterizan, entre los subgrupos algebraicos, por la condición de que G / P sea una variedad completa . Al trabajar sobre cuerpos algebraicamente cerrados, los subgrupos de Borel resultan ser los subgrupos parabólicos mínimos en este sentido. Así, B es un subgrupo de Borel cuando el espacio homogéneo G/B es una variedad completa que es "lo más grande posible".

Para un grupo algebraico simple G , el conjunto de clases de conjugación de subgrupos parabólicos está en biyección con el conjunto de todos los subconjuntos de nodos del diagrama de Dynkin correspondiente ; el subgrupo de Borel corresponde al conjunto vacío y G mismo corresponde al conjunto de todos los nodos. (En general, cada nodo del diagrama de Dynkin determina una raíz negativa simple y, por lo tanto, un "grupo raíz" unidimensional de G. Un subconjunto de los nodos produce así un subgrupo parabólico, generado por B y los grupos raíz negativos correspondientes. Además, cualquier subgrupo parabólico es conjugado a dicho subgrupo parabólico). Los subgrupos correspondientes del grupo de Weyl de G también se denominan subgrupos parabólicos, véase Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión .

Dejar${\displaystyle G=GL_{4}(\mathbb {C} )}$Un subgrupo de Borel${\displaystyle B}$de${\displaystyle G}$es el conjunto de matrices triangulares superiores

${\displaystyle \left\{A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:\det(A)\neq 0\right\}}$

y los subgrupos parabólicos propios máximos de${\displaystyle G}$que contiene${\displaystyle B}$son

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\0&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\0&0&a_{33}&a_{34}\\0&0&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}\right\},{\text{ }}\left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}\right\}}$

Además, un toro maximal en${\displaystyle B}$es

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}a_{11}&0&0&0\\0&a_{22}&0&0\\0&0&a_{33}&0\\0&0&0&a_{44}\end{bmatrix}}:a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdot a_{44}\neq 0\right\}}$

Esto es isomorfo al toro algebraico.${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*})^{4}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x^{\pm 1},y^{\pm 1},z^{\pm 1},w^{\pm 1}])}$. ^{[ 1 ]}

Para el caso especial de un álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con una subálgebra de Cartan${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, dado un orden de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$, la subálgebra de Borel es la suma directa de${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$y los espacios de peso de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$con peso positivo. Una subálgebra de Lie de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$Una estructura que contiene una subálgebra de Borel se denomina álgebra de Lie parabólica .

• Grupo hiperbólico
• subgrupo de Cartan
• subgrupo milagroso

• A. Borel (2001). Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos . Providence, RI: AMS. ISBN 0-8218-0288-7.
• J. Humphreys (1972). Grupos algebraicos lineales . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90108-6.
• Milne, JS (2017), Grupos algebraicos: La teoría de los esquemas de grupos de tipo finito sobre un cuerpo , Cambridge University Press , doi : 10.1017/9781316711736 , ISBN 978-1107167483, MR 3729270 
• Gary Seitz (1991). "Grupos algebraicos". En B. Hartley; et  al. (eds.). Grupos finitos y localmente finitos . págs. 45–70 . 

Específico

• Popov, VL (2001) [1994], "Subgrupo parabólico" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Platonov, VP (2001) [1994], "Subgrupo de Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press