Grupo Lorentz

Supongamos dos sistemas de referencia inerciales ( t , x , y , z ) y ( t ′, x ′, y ′, z ′) , y dos puntos P ₁ , P ₂ , el grupo de Lorentz es el conjunto de todas las transformaciones entre los dos sistemas de referencia que preservan la velocidad de la luz que se propaga entre los dos puntos:

${\displaystyle c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z')^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2}}$

En forma matricial, estas son todas las transformaciones lineales Λ tales que:

${\displaystyle \Lambda ^{\textsf {T}}\eta \Lambda =\eta \qquad \eta =\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

Estas se denominan entonces transformaciones de Lorentz .

Matemáticamente, el grupo de Lorentz puede describirse como el grupo ortogonal indefinido O(1, 3) , el grupo de Lie matricial que conserva la forma cuadrática.

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

en R ⁴ (el espacio vectorial equipado con esta forma cuadrática a veces se escribe R ^1,3 ). Esta forma cuadrática, cuando se expresa en forma matricial (véase Grupo ortogonal clásico ), se interpreta en física como el tensor métrico del espaciotiempo de Minkowski.

Tanto O(1, 3) como O(3, 1) son de uso común para el grupo de Lorentz. El primero se refiere a matrices que conservan una métrica de signatura con (+−−−), y el segundo se refiere a una métrica de signatura (−+++). Debido a que el signo general de la métrica es irrelevante en la ecuación de definición, los grupos de matrices resultantes son idénticos. Parece haber una tendencia moderna en algunos sectores a adoptar la notación (1, 3) en lugar de (3, 1) , pero esta última todavía se usa mucho en la práctica actual, y gran parte de la literatura histórica la empleó. Todo lo descrito en este artículo también se aplica a la notación O(3, 1) , mutatis mutandis . Estas consideraciones se extienden también a definiciones relacionadas (por ejemplo, SO ⁺ (1, 3) frente a SO ⁺ (3, 1) .

El grupo de Lorentz es un grupo de Lie real no compacto no abeliano de seis dimensiones que no es conexo . Los cuatro componentes conexos no son simplemente conexos . ^{[ 1 ]} El componente identidad (es decir, el componente que contiene el elemento identidad) del grupo de Lorentz es en sí mismo un grupo, y a menudo se le llama grupo de Lorentz restringido , y se denota SO ⁺ (1, 3) . El grupo de Lorentz restringido consta de aquellas transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación del espacio como la dirección del tiempo. Su grupo fundamental tiene orden 2, y su recubrimiento universal, el grupo de espín indefinido Spin(1, 3) , es isomorfo tanto al grupo lineal especial SL(2, C ) como al grupo simpléctico Sp(2, C ) . Estos isomorfismos permiten que el grupo de Lorentz actúe sobre un gran número de estructuras matemáticas importantes para la física, en particular los espinores . Así, en mecánica cuántica relativista y en teoría cuántica de campos , es muy común llamar a SL(2, C ) el grupo de Lorentz, entendiendo que SO ⁺ (1, 3) es una representación específica (la representación vectorial) del mismo. 

Una representación recurrente de la acción del grupo de Lorentz sobre el espacio de Minkowski utiliza biquaterniones , que forman un álgebra de composición . La propiedad de isometría de las transformaciones de Lorentz se cumple según la propiedad de composición .${\displaystyle |pq|=|p|\times |q|}$⁠ .

Otra propiedad del grupo de Lorentz es la conformabilidad o conservación de ángulos. Las transformaciones de Lorentz actúan mediante la rotación hiperbólica de un plano espaciotemporal, y dichas rotaciones conservan el ángulo hiperbólico , la medida de rapidez utilizada en la relatividad. Por lo tanto, el grupo de Lorentz es un subgrupo del grupo conforme del espaciotiempo .

Cabe señalar que este artículo se refiere a O(1, 3) como el "grupo de Lorentz", a SO(1, 3) como el "grupo de Lorentz propiamente dicho" y a SO ⁺ (1, 3) como el "grupo de Lorentz restringido". Muchos autores (especialmente en física) utilizan el término "grupo de Lorentz" para SO(1, 3) (o a veces incluso SO ⁺ (1, 3) ) en lugar de O(1, 3) . Al leer a estos autores, es importante tener claro a qué se refieren exactamente.

Debido a que es un grupo de Lie , el grupo de Lorentz O(1, 3) es un grupo y también tiene una descripción topológica como una variedad diferenciable . Como variedad, tiene cuatro componentes conexas. Intuitivamente, esto significa que consta de cuatro partes topológicamente separadas.

Los cuatro componentes conectados se pueden clasificar según dos propiedades de transformación que poseen sus elementos:

• Algunos elementos se invierten bajo transformaciones de Lorentz de inversión temporal; por ejemplo, un vector temporal que apunta hacia el futuro se invertiría en un vector que apunta hacia el pasado.
• Algunos elementos tienen la orientación invertida por transformaciones de Lorentz impropias , por ejemplo, ciertos vierbein (tétradas).

Las transformaciones de Lorentz que preservan la dirección del tiempo se llamanortócronas . El subgrupo de transformaciones ortócronas se suele denotarO ⁺ (1, 3). Aquellas que preservan la orientación se denominanpropiasy, como transformaciones lineales, tienen determinante+1. (Las transformaciones de Lorentz impropias tienen determinante−1). El subgrupo de transformaciones de Lorentz propias se denotaSO(1, 3).

El subgrupo de todas las transformaciones de Lorentz que preservan tanto la orientación como la dirección del tiempo se denomina grupo de Lorentz propio, ortócrono o restringido , y se denota por SO ⁺ (1, 3) . ^{[ a ]}

El conjunto de los cuatro componentes conexos puede tener una estructura de grupo como el grupo cociente O(1, 3) / SO ⁺ (1, 3) , que es isomorfo al grupo de Klein de cuatro componentes . Cada elemento en O(1, 3) puede escribirse como el producto semidirecto de una transformación propia y ortócrona y un elemento del grupo discreto.

{1, P , T , PT }

donde P y T son los operadores de paridad e inversión temporal :

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(−1, 1, 1, 1) .

De este modo, una transformación de Lorentz arbitraria puede especificarse como una transformación de Lorentz propia y ortócrona, junto con dos bits de información adicionales que permiten seleccionar una de las cuatro componentes conexas. Este patrón es típico de los grupos de Lie de dimensión finita.

Hiperboloide de una hoja

Superficie cónica común

Hiperboloide de dos hojas

Si un grupo G actúa sobre un espacio V , entonces una superficie S ⊂ V es una superficie de transitividad si S es invariante bajo G (es decir, ∀ g ∈ G , ∀ s ∈ S : gs ∈ S ) y para cualesquiera dos puntos s ₁ , s ₂ ∈ S existe un g ∈ G tal que gs ₁ = s ₂ . Por definición del grupo de Lorentz, conserva la forma cuadrática.

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

Las superficies de transitividad del grupo de Lorentz ortócrono O ⁺ (1, 3) , Q ( x ) = const. que actúa sobre el espaciotiempo plano R ^1,3 son las siguientes: ^{[ 3 ]}

• Q ( x ) > 0, x ₀ > 0 es la rama superior de un hiperboloide de dos hojas. Los puntos de esta hoja están separados del origen por unvector de tipo tiempo futuro.
• Q ( x ) > 0, x ₀ < 0 es la rama inferior de este hiperboloide. Los puntos en esta hoja son losvectores de tipo tiempo pasado.
• Q ( x ) = 0, x ₀ > 0 es la rama superior del cono de luz , el futuro cono de luz.
• Q ( x ) = 0, x ₀ < 0 es la rama inferior del cono de luz, el cono de luz pasado.
• Q ( x ) < 0 es un hiperboloide de una hoja. Los puntos en esta hoja estánseparados del origen como en el espacio .
• El origen x ₀ = x ₁ = x ₂ = x ₃ = 0 .

Estas superficies son tridimensionales , por lo que las imágenes no son fieles, pero sí lo son en cuanto a los hechos correspondientes sobre O ⁺ (1, 2) . Para el grupo de Lorentz completo, las superficies de transitividad son solo cuatro , ya que la transformación T transforma una rama superior de un hiperboloide (cono) en una inferior y viceversa.

Estas observaciones constituyen un buen punto de partida para encontrar todas las representaciones unitarias de dimensión infinita del grupo de Lorentz, de hecho, del grupo de Poincaré, utilizando el método de representaciones inducidas . ^{[ 4 ]} Se comienza con un "vector estándar", uno para cada superficie de transitividad, y luego se pregunta qué subgrupo conserva estos vectores. Estos subgrupos son llamados grupos pequeños por los físicos. El problema se reduce entonces esencialmente al problema más sencillo de encontrar representaciones de los grupos pequeños. Por ejemplo, un vector estándar en una de las hipérbolas de dos hojas podría elegirse adecuadamente como ( m , 0, 0, 0) . Para cada m ≠ 0 , el vector atraviesa exactamente una hoja. En este caso, el grupo pequeño es SO(3) , el grupo de rotación , cuyas representaciones son todas conocidas. La representación unitaria precisa de dimensión infinita bajo la cual una partícula se transforma es parte de su clasificación. No todas las representaciones pueden corresponder a partículas físicas (hasta donde se sabe). Los vectores estándar en las hipérbolas de una hoja corresponderían a taquiones . Las partículas en el cono de luz son fotones y, de forma más hipotética, gravitones . La "partícula" correspondiente al origen es el vacío.

La representación de Weyl o mapa espinorial es un par de homomorfismos sobreyectivos de SL(2, C ) a SO ⁺ (1, 3) . Forman un par emparejado bajo transformaciones de paridad, que corresponden a espinores quirales izquierdo y derecho .

Se puede definir una acción de SL(2, C ) sobre el espaciotiempo de Minkowski escribiendo un punto del espaciotiempo como una matriz hermitiana de dos por dos de la forma

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&ct-z\end{bmatrix}}=ct1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=ct1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

en términos de matrices de Pauli .

Esta presentación, la presentación de Weyl, satisface

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Por lo tanto, se ha identificado el espacio de matrices hermíticas (que es de cuatro dimensiones, como un espacio vectorial real ) con el espaciotiempo de Minkowski, de tal manera que el determinante de una matriz hermítica es el cuadrado de la longitud del vector correspondiente en el espaciotiempo de Minkowski. Un elemento S ∈ SL(2, C ) actúa sobre el espacio de matrices hermíticas mediante

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

dónde${\displaystyle S^{\dagger }}$es la transpuesta hermitiana de S. Esta acción preserva el determinante y, por lo tanto, SL(2, C ) actúa sobre el espaciotiempo de Minkowski mediante isometrías (lineales). La forma con paridad invertida de lo anterior es

${\displaystyle X=ct1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

que se transforma como

${\displaystyle X\mapsto \left(S^{-1}\right)^{\dagger }XS^{-1}}$

Que esta es la transformación correcta se deduce al observar que

${\displaystyle {\overline {X}}X=\left(c^{2}t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}\right)1\!\!1=\left(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)1\!\!1}$

permanece invariante bajo el par de transformaciones anterior.

Estos mapas son sobreyectivos , y el núcleo de cualquiera de ellos es el subgrupo de dos elementos ± I. Por el primer teorema de isomorfismo , el grupo cociente PSL(2, C ) = SL(2, C ) / {± I } es isomorfo a SO ⁺ (1, 3) .

El mapa de paridad intercambia estos dos recubrimientos. Corresponde a la conjugación hermitiana siendo un automorfismo de SL(2, C ) . Estos dos recubrimientos distintos corresponden a las dos acciones quirales distintas del grupo de Lorentz sobre espinores . La forma no superpuesta corresponde a espinores diestros que se transforman como ⁠${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}}$⁠ , mientras que la forma de la línea superior corresponde a espinores zurdos que se transforman como ⁠${\displaystyle \psi _{L}\mapsto \left(S^{\dagger }\right)^{-1}\psi _{L}}$⁠ . ^{[ b ]}

Es importante observar que este par de recubrimientos no sobrevive a la cuantización; cuando se cuantiza, esto conduce al peculiar fenómeno de la anomalía quiral . Las simetrías clásicas (es decir, no cuantizadas) del grupo de Lorentz se rompen con la cuantización; este es el contenido del teorema del índice de Atiyah-Singer .

En física, es convencional denotar una transformación de Lorentz Λ ∈ SO ⁺ (1, 3) como ⁠${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }}$⁠ , mostrando así la matriz con índices espaciotemporales μ , ν = 0, 1, 2, 3 . Se puede crearun cuadrivector a partir de las matrices de Pauli de dos maneras diferentes: como${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(Yo,{\vec {\sigma }})}$y como${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=\left(I,-{\vec {\sigma }}\right)}$⁠ . Las dos formas están relacionadas por una transformación de paridad . Nótese que ⁠${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }}$⁠ .

Dada una transformación de Lorentz${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }}$⁠ , el recubrimiento doble del grupo de Lorentz ortócrono por S ∈ SL(2, C ) dado anteriormente se puede escribir como

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Dejando caer el${\displaystyle x^{\mu }}$Esto toma la forma

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

La forma conjugada de paridad es

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=\left(S^{-1}\right)^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

El grupo simpléctico Sp(2, C ) es isomorfo a SL(2, C ) . Este isomorfismo se construye de manera que se preserve una forma bilineal simpléctica en C ² , es decir, que la forma permanezca invariante bajo transformaciones de Lorentz. Esto se puede articular de la siguiente manera. El grupo simpléctico se define como

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbf {C} )=\left\{S\in \operatorname {GL} (2,\mathbf {C} ):S^{\textsf {T}}\omega S=\omega \right\}}$

dónde

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Otras notaciones comunes son${\displaystyle \omega =\epsilon }$para este elemento; a veces se usa J , pero esto invita a la confusión con la idea de estructuras casi complejas , que no son lo mismo, ya que se transforman de manera diferente.

Dado un par de espinores de Weyl (espinores de dos componentes)

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

La forma bilineal invariante se escribe convencionalmente como

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{\textsf {T}}\omega v}$

Esta forma es invariante bajo el grupo de Lorentz, de modo que para S ∈ SL(2, C ) se tiene

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

Esto define una especie de "producto escalar" de espinores, y se usa comúnmente para definir un término de masa invariante de Lorentz en lagrangianos . Hay varias propiedades notables que cabe mencionar que son importantes para la física. Una de ellas es que${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$y entonces${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{\textsf {T}}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

La relación definitoria se puede escribir como

${\displaystyle \omega S^{\textsf {T}}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

que se asemeja mucho a la relación definitoria del grupo de Lorentz

${\displaystyle \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

dónde${\displaystyle \eta =\operatorname {diag} (+1,-1,-1,-1)}$es el tensor métrico para el espacio de Minkowski y por supuesto,${\displaystyle \Lambda \in \operatorname {SO} (1,3)}$como antes.

Un elemento elíptico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Escribiendo la acción como X ↦ P ₁ X P ₁ ^† y agrupando términos, el mapa espinorial convierte esto en la transformación de Lorentz (restringida).

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Esta transformación representa entonces una rotación alrededor del eje z , exp( iθJ _z ). El subgrupo uniparamétrico que genera se obtiene tomando θ como una variable real, el ángulo de rotación, en lugar de una constante.

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos: los polos Norte y Sur. Las transformaciones desplazan todos los demás puntos alrededor de círculos de latitud, de modo que este grupo produce una rotación continua en sentido antihorario alrededor del eje z a medida que θ aumenta. La duplicación del ángulo evidente en el mapa espinorial es una característica de los recubrimientos dobles espinoriales .

Un elemento hiperbólico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. Bajo proyección estereográfica de la esfera de Riemann al plano euclidiano, el efecto de esta transformación de Möbius es una dilatación desde el origen.

El mapa espinorial convierte esto en la transformación de Lorentz.

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Esta transformación representa un impulso a lo largo del eje z con rapidez η . El subgrupo uniparamétrico que genera se obtiene al considerar η como una variable real, en lugar de una constante. Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos puntos fijos (los polos Norte y Sur) y desplazan todos los demás puntos a lo largo de las longitudes alejándolos del polo Sur y acercándolos al polo Norte.

Un elemento loxodrómico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

y tiene puntos fijos ξ = 0, ∞. El mapa espinorial convierte esto en la transformación de Lorentz.

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp {\begin{bmatrix}0&0&0&\eta \\0&0&\theta &0\\0&-\theta &0&0\\\eta &0&0&0\end{bmatrix}}~.}$

El subgrupo uniparamétrico que esto genera se obtiene reemplazando η + i θ por cualquier múltiplo real de esta constante compleja. (Si η y θ varían independientemente, se obtiene un subgrupo abeliano bidimensional , que consiste en rotaciones simultáneas alrededor del eje z y transformaciones de Lorentz a lo largo del eje z ; en cambio, el subgrupo unidimensional que se analiza aquí consta de aquellos elementos de este subgrupo bidimensional tales que la rapidez de la transformación de Lorentz y el ángulo de rotación tienen una relación fija ).

Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la identidad) comparten los mismos dos puntos fijos (los polos Norte y Sur). Aleja todos los demás puntos del polo Sur y los acerca al polo Norte (o viceversa), siguiendo una serie de curvas llamadas loxodromas . Cada loxodroma describe una espiral infinita alrededor de cada polo.

Un elemento parabólico de SL(2, C ) es

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

y tiene un único punto fijo ξ = ∞ en la esfera de Riemann. Bajo proyección estereográfica, aparece como una traslación ordinaria a lo largo del eje real .

El mapa espinorial convierte esto en la matriz (que representa una transformación de Lorentz).

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&-\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

Esto genera un subgrupo abeliano de dos parámetros, que se obtiene al considerar α como una variable compleja en lugar de una constante. Las transformaciones continuas correspondientes de la esfera celeste (excepto la transformación identidad) mueven los puntos a lo largo de una familia de círculos que son tangentes en el Polo Norte a un círculo máximo determinado . Todos los puntos, excepto el Polo Norte, se mueven a lo largo de estos círculos.

Las transformaciones de Lorentz parabólicas suelen denominarse rotaciones nulas . Dado que probablemente sean las menos conocidas de los cuatro tipos de transformaciones de Lorentz no identidad (elípticas, hiperbólicas, loxodrómicas y parabólicas), aquí se ilustra cómo determinar el efecto de un ejemplo de transformación de Lorentz parabólica en el espaciotiempo de Minkowski.

La matriz dada anteriormente produce la transformación

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}-\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

Ahora, sin pérdida de generalidad , elijamos Im( α ) = 0 . Al diferenciar esta transformación con respecto al parámetro de grupo ahora real α y evaluar en α = 0 se obtiene el campo vectorial correspondiente (operador diferencial parcial lineal de primer orden),

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

Aplique esto a una función f ( t , x , y , z ) , y exija que permanezca invariante; es decir, que sea aniquilada por esta transformación. La solución de la ecuación diferencial parcial lineal de primer orden resultante se puede expresar en la forma

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

donde F es una función suave arbitraria . Los argumentos de F dan tres invariantes racionales que describen cómo se mueven los puntos (eventos) bajo esta transformación parabólica, ya que ellos mismos no se mueven,

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

Al elegir valores reales para las constantes del lado derecho, se obtienen tres condiciones, lo que permite definir una curva en el espaciotiempo de Minkowski. Esta curva representa una órbita de la transformación.

La forma de los invariantes racionales muestra que estas líneas de flujo (órbitas) tienen una descripción simple: suprimiendo la coordenada no esencial y , cada órbita es la intersección de un plano nulo , t = z + c² _, con un hiperboloide , t² ⁻ x² − z² ⁼ c³ . El caso c³ = _{0 tiene el hiperboloide degenerado en un cono de luz y las órbitas se convierten en} parábolas que se encuentran en los planos nulos correspondientes ^.

Una línea nula particular que se encuentra en el cono de luz permanece invariante ; esto corresponde al único punto fijo (doble) en la esfera de Riemann mencionado anteriormente. Las demás líneas nulas que pasan por el origen se "desplazan alrededor del cono" mediante la transformación. Seguir el movimiento de una de estas líneas nulas a medida que α aumenta equivale a seguir el movimiento de un punto a lo largo de una de las líneas de flujo circulares en la esfera celeste, como se describió anteriormente.

En cambio, si se elige Re( α ) = 0 , se obtienen órbitas similares, pero con los roles de x e y intercambiados.

Las transformaciones parabólicas conducen a la simetría de gauge de partículas sin masa (como los fotones ) con helicidad | h | ≥ 1. En el ejemplo explícito anterior, una partícula sin masa que se mueve en la dirección z , con un cuadrimomento P = ( p , 0, 0, p ) , no se ve afectada en absoluto por la combinación de impulso x y rotación y _Kx − _Jy definida a continuación, en el "grupo pequeño" de su movimiento. Esto es evidente a partir de la ley de transformación explícita discutida: como cualquier vector de tipo luz, P mismo es ahora invariante; es decir, todas _las trazas o efectos de α han desaparecido. c1 ₌ c2 = _c3 = 0 , en _{el caso especial} discutido. (El otro generador similar, Ky ₊ Jx , así como este y Jz , comprenden en conjunto el grupo pequeño del vector de tipo luz, isomorfo a E ( 2) ).

Este isomorfismo tiene como consecuencia que las transformaciones de Möbius de la esfera de Riemann representan la forma en que las transformaciones de Lorentz cambian la apariencia del cielo nocturno, tal como lo ve un observador que se desplaza a velocidades relativistas con respecto a las "estrellas fijas".

Supongamos que las "estrellas fijas" viven en el espaciotiempo de Minkowski y se modelan mediante puntos en la esfera celeste. Entonces, un punto dado en la esfera celeste puede asociarse con ξ = u + iv , un número complejo que corresponde al punto en la esfera de Riemann , y puede identificarse con un vector nulo (un vector de tipo luz ) en el espacio de Minkowski.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

o, en la representación de Weyl (el mapa espinorial), la matriz hermitiana

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

El conjunto de múltiplos escalares reales de este vector nulo, denominado línea nula que pasa por el origen, representa una línea de visión desde un observador situado en un lugar y momento determinados (un evento arbitrario que podemos identificar con el origen del espaciotiempo de Minkowski) hacia diversos objetos distantes, como las estrellas. Entonces, los puntos de la esfera celeste (o, equivalentemente, las líneas de visión) se identifican con ciertas matrices hermíticas.

Las matrices base estándar se pueden indexar como${\displaystyle M^{\mu \nu }}$dónde${\displaystyle \mu ,\nu }$toman valores en {0, 1, 2, 3} . Estos surgen al tomar solo uno de${\displaystyle a,b,\cdots ,f}$ser uno, y otros cero, por turno. Los componentes se pueden escribir como

${\displaystyle {(M^{\mu \nu })^{\rho }}_{\sigma }=\eta ^{\nu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\mu }-\eta ^{\mu \sigma }{\delta ^{\rho }}_{\nu }}$.

Las relaciones de conmutación son

${\displaystyle [M^{\mu \nu },M^{\rho \sigma }]=M^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-M^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+M^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-M^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

Existen diferentes opciones posibles de convención en uso. En física, es común incluir un factor de${\displaystyle i}$con los elementos base, lo que da un factor de${\displaystyle i}$en las relaciones de conmutación.

Entonces${\displaystyle M^{0i}}$generar impulsos y${\displaystyle M^{ij}}$generar rotaciones.

Las constantes de estructura del álgebra de Lorentz se pueden obtener a partir de las relaciones de conmutación. Cualquier conjunto de elementos base que satisfaga estas relaciones forma una representación del álgebra de Lorentz.

El grupo de Lorentz puede considerarse un subgrupo del grupo de difeomorfismos de R ⁴ y, por lo tanto, su álgebra de Lie puede identificarse con campos vectoriales en R ⁴ . En particular, los vectores que generan isometrías en un espacio son sus vectores de Killing , lo que proporciona una alternativa conveniente al campo vectorial invariante por la izquierda para calcular el álgebra de Lie. Podemos escribir un conjunto de seis generadores :

• Campos vectoriales en R ⁴ que generan tres rotaciones i J ,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• Campos vectoriales en R ⁴ que generan tres impulsos i K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

El factor i parece asegurar que los generadores de rotaciones sean hermíticos.

Puede ser útil recordar brevemente aquí cómo obtener un grupo de un parámetro a partir de un campo vectorial , escrito en forma de un operador diferencial parcial lineal de primer orden como

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

El problema de valor inicial correspondiente (considere${\displaystyle r=(x,y)}$una función de un escalar${\displaystyle \lambda }$y resolver${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\mathcal {L}}r}$con algunas condiciones iniciales) es

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

La solución se puede escribir

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

donde reconocemos fácilmente el grupo matricial de rotaciones de un parámetro exp( iλJ _z ) alrededor del eje z.

Al diferenciar con respecto al parámetro de grupo λ y establecerlo λ = 0 en ese resultado, recuperamos la matriz estándar,

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

que corresponde al campo vectorial con el que comenzamos. Esto ilustra cómo pasar de las representaciones matriciales a las de campo vectorial de los elementos del álgebra de Lie. La aplicación exponencial desempeña este papel especial no solo para el grupo de Lorentz, sino para los grupos de Lie en general.

Invirtiendo el procedimiento de la sección anterior, vemos que las transformaciones de Möbius que corresponden a nuestros seis generadores surgen de exponenciar respectivamente η /2 (para los tres impulsos) o iθ /2 (para las tres rotaciones) por las tres matrices de Pauli.

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Otro conjunto generador surge a través del isomorfismo al grupo de Möbius. La siguiente tabla enumera los seis generadores, en los que

• La primera columna proporciona un generador del flujo bajo la acción de Möbius (después de la proyección estereográfica desde la esfera de Riemann) como un campo vectorial real en el plano euclidiano.
• La segunda columna muestra el subgrupo uniparamétrico correspondiente de transformaciones de Möbius.
• La tercera columna muestra el subgrupo uniparamétrico correspondiente de las transformaciones de Lorentz (la imagen bajo nuestro homomorfismo del subgrupo uniparamétrico precedente).
• La cuarta columna muestra el generador correspondiente del flujo bajo la acción de Lorentz como un campo vectorial real en el espaciotiempo de Minkowski.

Observe que los generadores constan de

• Dos parábolas (rotaciones nulas)
• Un aumento hiperbólico (en el${\displaystyle \partial _{z}}$dirección)
• Tres elípticas (rotaciones alrededor de los ejes x , y , z , respectivamente)